T.P. 3 – Partie 1 Étude de la dispersion

TP 3 – 2006/2007 1/30
T.P. 3 – Partie 1
Étude de la dispersion
Connaissances préalables : Notions de moyenne, TP2, TP1
Buts spécifiques : Comprendre les méthodes d’évaluation de la dispersion, essentiellement la variance et l’écart
type. Pouvoir utiliser et comprendre la notation statistique, principalement le signe sigma et ses
propriétés.
Outils nécessaires : Papier, crayon, éventuellement une machine à calculer.
Consignes : Dites-vous que vous adorez les statistiques ? ! Et pour rappel : les exercices supplémentaires
ne sont pas facultatifs.
1. Voici deux séries statistiques rangées par ordre croissant, avec les i
X représentant les points
obtenus par des étudiants à un examen noté sur 20.
Série A : i i
X Série B : i i X
1 0 1 10
2 2 2 10
3 10 3 10
4 14 4 10
5 20 5 12
6 20 6 14
a) Calculez la moyenne de chacune de ces séries. Indiquez la formule utilisée.
Réponses :
b) Quelle est la place de l’étudiant qui a 14/20 dans le classement par ordre décroissant ?
Réponses : Place dans la série A =
Place dans la série B =
c) Que valent les différences entre la note minimale et la note maximale de chacune des séries ?
Cette mesure s’appelle l’étendue. Indiquez la formule utilisée pour les données rangées par
ordre croissant.
Sachez pour ce faire que de manière générale : =
1
Xminimum de X et que =
N
Xmaximum de X.
Réponses : Etendue de la série A =
Etendue de la série B =

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d) Admettons que l’on ait une série de cent sujets dont le moins bon a 1/20 et le meilleur a 19/20
mais que les 98 autres aient des résultats variant entre 8 et 14/20. Pensez-vous que l’étendue
vous donne une bonne idée de la dispersion des résultats ?
Réponse :
Un autre moyen d’envisager la dispersion est de calculer les écarts de chaque note par rapport à la
moyenne de la série et de prendre la moyenne de ces écarts.
e) Calculez les écarts à la moyenne pour chacune des données de la série A et notez-les dans la
colonne appropriée, puis calculez la moyenne de ces écarts et indiquez la formule utilisée.
i i
X (Série A) Écarts à la moyenne
XXi−
1 0
2 2
3 10
4 14
5 20
6 20
Moyenne des écarts à la moyenne :
Ce résultat sera toujours le même quelle que soit la série. C’est parce que les différences positives
sont annulées par les différences négatives. Dès lors, on ne peut pas prendre conscience des
différences qui existent réellement par rapport à la moyenne. Un moyen de contourner ce problème
est d’élever toutes les différences au carré. Ainsi, tous les termes deviendront positifs. Nous
prendrons ensuite la moyenne du carré des écarts à la moyenne que nous appellerons variance ( 2
X
S).

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f) Calculez donc le carré des écarts à la
X
pour les deux séries, puis la
X
de ces écarts au carré.
i i
X (Série A) Carrés des écarts à la
moyenne
2
)( XXi− (Série A)
1 0
2 2
3 10
4 14
5 20
6 20
Moyenne des carrés des écarts à la
moyenne pour la série A
(Variance de la série A) :
i i
X (Série B) Carrés des écarts à la
moyenne
2
)( XXi− (Série B)
1 10
2 10
3 10
4 10
5 12
6 14
Moyenne des carrés des écarts à la
moyenne pour la série B
(Variance de la série B) :
g) Dans quelle série cette valeur est-elle la plus basse ? Cela est-il en accord avec la dispersion que
vous constatez en comparant les séries ?
Réponse :
Les unités de la variance sont élevées au carré. Si on avait une moyenne en centimètres, on aurait
des cm au carré, si on avait des kg, on aurait des kg au carré, si on avait des degrés, on aurait des
degrés au carré…

TP 3 – 2006/2007 4/30
Donc, pour revenir à des valeurs du même ordre d’unité que la moyenne de départ, on peut prendre
la racine carrée de la moyenne des écarts à la moyenne, c’est-à-dire la racine carré de la variance, et
on obtient ainsi ce que l’on appelle l’écart type
(
)
X
S.
h) Calculez l’écart type pour les deux séries. Notez-en la formule.
Réponse :
Conclusion : La dispersion d’une série statistique se calcule en prenant la moyenne des carrés des
écarts par rapport à la moyenne. Plutôt que de donner ce terme à rallonge, on l’appellera la
VARIANCE (calculée au point f), elle est notée « S2 ». Pour retourner dans des unités semblables à
celles des données de base on prend la racine carrée de cette variance, c’est ce que, plutôt que
l’appeler « racine carrée des carrés des écarts par rapport à la moyenne », on dénommera l’ÉCART
TYPE (calculé au point h), il est noté « S ». Ces deux valeurs sont les indices de dispersion les plus
utilisés en statistique.
Vous avez probablement pu réaliser les différents calculs sans trop de problème. Cependant il n’y
avait que 6 sujets. Certaines études statistiques en comptent plusieurs centaines voire plusieurs
milliers. Les calculs sont exactement identiques à ceux que vous avez réalisés tant pour la moyenne
que pour les indices de dispersion. Cependant, il existe une notation simple qui permet d’écrire en
quelques signes un calcul portant sur des milliers de sujets. Vous devez IMPERATIVEMENT être
parfaitement familiarisés avec cette notation et en connaître les propriétés.
Voici les trois formules (dont, pour rappel, la formule de la moyenne) pour une série statistique :
Moyenne :
∑
=
=N
ii
X
N
X1
1
Variance :
2
1
2)(
1XX
N
SN
iiX−= ∑ =
Écart type :
22
1)(
1X
N
iiXSXX
N
S=−= ∑
=
Pour une distribution statistique non groupée des fréquences absolues, vous devrez appliquer
les formules suivantes :
Moyenne :
∑
=
=J
jjj Xn
N
X1
1
Variance :
2
1
2)(
1XXn
N
SJ
jjjX−= ∑ =
Écart type :
22
1)(
1X
J
jjjXSXXn
N
S=−= ∑
=
Vous appliquerez ces formules en résolvant les exercices supplémentaires correspondants.

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T.P. 3 – Partie 2
Moyenne, variance et écart-type : exercice récapitulatif
Pour que la variance 2
x
Sd'une série statistique simple
{
}
N
XXX ,..., 21 soit nulle, il suffit que la
condition suivante soit remplie.
Condition Vrai Faux
1 0=X
2 Toutes les valeurs de la série sont égales entre elles
3 La série statistique est symétrique par rapport à la moyenne
4 L'écart type est nul