Chapitre 3 Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens

Chapitre 3
Produit scalaire, espaces
vectoriels euclidiens
3.1 Produit scalaire, norme euclidienne
D´efinition 3.1 Soit Eun espace vectoriel r´eel. Un produit scalaire sur
Eest une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive sur E×E. Un espace
vectoriel r´eel de dimension finie muni d’un produit scalaire est appel´e espace
euclidien.
Si (x, y)7→ (x|y)est un produit scalaire sur E, la norme euclidienne
d’un ´el´ement x∈Eest kxk=p(x|x).
Un espace vectoriel r´eel de dimension infinie muni d’un produit scalaire
est couramment appel´e espace pr´ehilbertien r´eel. On notera en g´en´eral (x|y)
le produit scalaire.
Exemples de produit scalaire :
1. Le produit scalaire usuel sur Rn; si x= (x1, . . . , xn) et y= (y1, . . . , yn)
sont deux vecteurs de Rn, on pose (x|y) = Pn
i=1 xiyiOn a bien
kxk2=Pn
i=1 x2
i>0 quand x6= 0.
2. La forme bilin´eaire sym´etrique (A, B)7→ trace(AtB) est un produit
scalaire sur Mn(R). En effet, si A= (ai,j ) n’est pas la matrice nulle,
on a trace(AtA) = Pi,j a2
i,j >0.
3. Soit El’espace vectoriel r´eel (de dimension infinie) des fonctions conti-
nues sur [0,1] `a valeurs dans R. On pose, pour fet g´el´ements de
E,
(f|g) = Z1
0
f(t)g(t)dt .
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16 CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS
Ceci d´efinit bien un produit scalaire car si fn’est pas identiquement
nulle, on a R1
0f(t)2dt > 0.
La norme euclidienne associ´ee `a un produit scalaire v´erifie
kxk= 0 ⇔x= 0 et kλxk=|λ| kxkpour tout r´eel λ. Voici d’autres pro-
pri´et´es.
Proposition 3.2 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz) Soit Eun espace vec-
toriel r´eel muni d’un produit scalaire (· | ·),k·k la norme euclidienne associ´ee.
Alors pour tous xet yde Eon a
|(x|y)| ≤ kxk kyk.
L’´egalit´e a lieu si et seulement si xet ysont colin´eaires.
Proposition 3.3 (In´egalit´e triangulaire) Soit Eun espace vectoriel r´eel
muni d’un produit scalaire (· | ·),k·k la norme euclidienne associ´ee. Alors
pour tous xet yde Eon a
kx+yk ≤ kxk+kyk.
L’´egalit´e a lieu si et seulement si y= 0 ou s’il existe un r´eel t≥0tel que
x=t y.
3.2 Orthogonalit´e, base orthonormale
Un produit scalaire est une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee.
Dans un espace euclidien Eon a donc dim F+ dim F⊥= dim Epour tout
sous-espace E. Mais on a mieux :
Proposition 3.4 Soit Eun espace euclidien, Fun sous-espace de E. L’or-
thogonal F⊥de Fpour le produit scalaire est un suppl´ementaire de Fdans
E. On l’appelle le suppl´ementaire orthogonal de Fdans E.
On reprend la d´efinition de base orthogonale d´ej`a vue pour une forme bi-
lin´eaire sym´etrique et on la compl`ete.
D´efinition 3.5 Soit Eun espace euclidien de dimension n. Une base
(e1, . . . , en)de Eest dite orthogonale quand (ei|ej)=0pour tous i6=j.
Elle est dite orthonormale si en plus keik= 1 pour i= 1, . . . , n.

3.2. ORTHOGONALIT ´ E, BASE ORTHONORMALE 17
La base (e1, . . . , en) est orthonormale si et seulement si la matrice du produit
scalaire dans cette base est la matrice identit´e In, ou encore si et seulement
si le produit scalaire de deux vecteurs x=Pn
i=1 xieiet y=Pn i=1 yieiest
donn´e par (x|y) = Pn
i=1 xiyi.
Un espace euclidien poss`ede toujours une base orthogonale (c’est vrai pour
n’importe quelle forme bilin´eaire sym´etrique, en particulier pour le produit
scalaire). Si (e1, . . . , en) est une base orthogonale de l’espace euclidien E, on
peut en faire une base orthonormale en rempla¸cant eipar 1
keikei. On obtient
donc :
Proposition 3.6 Tout espace euclidien admet une base orthonormale.
Grˆace `a cette proposition, on voit comment l’´etude d’un espace euclidien de
dimension nse ram`ene `a celle de Rnavec son produit scalaire usuel.
On a une fa¸con utile de fabriquer une base orthogonale (ou orthonormale)
`a partir d’une base quelconque d’un espace euclidien.
Proposition 3.7 (Proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt)
Soit (e1, . . . , en)une base quelconque d’un espace euclidien E. Alors on peut
fabriquer par r´ecurrence une base orthogonale (ε1, . . . , εn)de Ede la forme
ε1=e1
ε2=e2−λ1,2ε1
.
.
.
εi=ei−Pi−1
j=1 λj,iεj
.
.
.
εn=en−Pn−1
j=1 λj,nεj
en prenant λj,i =(εj|ei)
kεjk2. On a Vect(e1, . . . , ei) = Vect(ε1, . . . , εi)pour
i= 1, . . . , n.
Proposition 3.8 Soit Eun espace vectoriel r´eel muni d’un produit scalaire
(· | ·), et soit Fun sous-espace de dimension finie de E. Pour tout x∈E, il
existe un unique pF(x)∈Ftel que x−p(x)est orthogonal `a F. L’application
pF:E−→ E
x7−→ pF(x)
est un endomorphisme lin´eaire. Cet endomorphisme pFs’appelle la projec-
tion orthogonale sur F.

18 CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS
Si (e1, . . . , er) est une base orthogonale de F, alors
pF(x) =
r
X
i=1
(ei|x)
keik2ei.
3.3 Endomorphismes d’un espace euclidien
Dans toute cette section, Eest un espace euclidien, (· | ·) son produit
scalaire et k·ksa norme euclidienne.
Proposition 3.9 Soit fun endomorphisme de E. Pour tout x∈E, il existe
un unique f∗(x)∈Etel que, pour tout yde E, on a
(f∗(x)|y) = (x|f(y)) .
L’application f∗:E→Eest un endomorphisme lin´eaire Cet endomorphisme
f∗s’appelle l’adjoint de f. Si Eest une base orthonormale de E, la matrice
de f∗dans la base Eest la transpos´ee de la matrice de fdans la base E.
D´efinition 3.10 Un endomorphisme d’un espace euclidien est dit sym´etri-
que (ou autoadjoint) s’il est ´egal `a son adjoint.
Si Eest une base orthonormale de l’espace euclidien E, un endomor-
phisme de Eest sym´etrique si et seulement si sa matrice dans la base Eest
sym´etrique.
Exemple : une projection orthogonale est un endomorphisme sym´etrique.
Proposition 3.11 Soit fun endomorphisme de E. Les propri´et´es suivantes
sont ´equivalentes :
1. Pour tous x, y de E, on a (f(x)|f(y)) = (x|y).
2. Pour tout xde E, on a kf(x)k=kxk.
3. f∗f= IdE.
Un endomorphisme orthogonal de Eest un endomorphisme qui v´erifie
ces propri´et´es. Les endomorphismes orthogonaux forment un groupe, appel´e
le groupe orthogonal de E.
Exemple : les sym´etries orthogonales.
D´efinition 3.12 Une matrice M∈ Mn(R)est dite orthogonale si tM M =
In. Les matrices orthogonales forment un sous-groupe du groupe lin´eaire,
appel´e groupe orthogonal et not´e O(n, R).

3.3. ENDOMORPHISMES D’UN ESPACE EUCLIDIEN 19
Soit E= (e1, . . . , en) une base orthonormale de E. Alors un endomor-
phisme fde Eest orthogonal si et seulement si (f(e1), . . . , f(en)) est une
base orthonormale de E, et si et seulement si sa matrice dans la base Eest
orthogonale.
Proposition 3.13 Les endomorphismes orthogonaux (les matrices orthogo-
nales) ont un d´eterminant ´egal `a 1ou −1. Ceux (celles) de d´eterminant 1
forment un sous-groupe du groupe orthogonal appel´e groupe sp´ecial orthogo-
nal. Dans le cas des matrices, on le note SO(n, R)
Etude des groupes orthogonaux en dimension 2 et 3.
Proposition 3.14 Soit Eun plan euclidien.
1. Soit (e1, e2)une base orthonormale de E, et fun endomorphisme or-
thogonal de Ede d´eterminant 1. Alors il existe un r´eel θtel que la
matrice de fsoit µcos θ−sin θ
sin θcos θ¶(rotation d’angle θ).
2. Soit fun endomorphisme orthogonal de Ede d´eterminant −1. Alors
il existe une base orthonormale (e1, e2)de Etelle que la matrice de
fdans cette base soit µ1 0
0−1¶(sym´etrie orthogonale par rapport `a
une droite).
Proposition 3.15 Soit Eun espace euclidien de dimension 3, fun endo-
morphisme orthogonal de E. Alors il existe une base orthonormale (e1, e2, e3)
de Etelle que la matrice de fdans cette base soit 
ε0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
, o`u
θest un nombre r´eel et ε= 1 (resp. −1) si det f= 1 (resp. −1). Dans le cas
det f= 1,fest l’identit´e ou la rotation d’axe la droite engendr´ee par e1et
d’angle g´eom´etrique θ. Dans le cas det f=−1, c’est une sym´etrie orthogo-
nale par rapport `a un plan, ou une telle symetrie suivie d’une rotation d’axe
perpendiculaire au plan
Dans le cas d’une rotation f(d´eterminant 1, diff´erente de l’identit´e), l’axe
est la droite vectorielle propre de fassoci´ee `a la valeur propre 1, et l’angle
g´eom´etrique θde la rotation est d´etermin´e par 1 + 2 cos(θ) = trace(f).