continuité - XMaths

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CONTINUITÉ
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
●
Soit a un réel appartenant à I. On dit que f est continue en a, si
x → a
lim f(x) = f(a).
●
On dit que f est continue sur l'intervalle I, si f est continue en tout a de I.
Remarque
Graphiquement, on reconnaît qu'une fonction
f
est continue sur I lorsqu'on peut tracer sa courbe
sur l'intervalle I sans lever le stylo de la feuille.
Une fonction n'est pas continue en
a
lorsque l'on
doit lever le stylo de la feuille en a.
La courbe a une discontinuité en a, elle fait un
"saut".
Exemple 1
La fonction x ֏ x
2
est une fonction continue en tout a de IR, elle
est continue sur IR.
On a
x → a
lim x
2
= a
2
, pour tout réel a , c'est-à-dire que x
2
est
aussi proche que l'on veut de a
2
lorsqu'on prend x assez
proche de a.
La parabole représentant la fonction x ֏ x
2
peut être tracée
sans lever le stylo de la feuille.
Exemple 2
Considérons la fonction x ֏ E(x) appelée fonction "Partie
entière" et qui, à tout réel x associe le plus grand entier inférieur
ou égal à x.
Ainsi E(2,5) est le plus grand entier inférieur ou égal à 2,5 ,
donc E(2,5) = 2
De même E(-2,4) = -3 ; E(1,9999) = 1 et E(2) = 2
Si n est un nombre entier, alors E(n) = n
et pour tout x ∈ [n ; n + 1[, on a E(x) = n
La représentation graphique de la fonction "Partie entière" est
donnée ci-contre.
Cette fonction n'est pas continue en n avec n ∈ ZZ .
En effet lorsque x est très proche de n par valeurs
inférieures, E(x) n'est pas très proche de E(n).
On a vu par exemple que E(1,9999) = 1 et E(2) = 2
Elle est continue sur chaque intervalle [n ; n+1[ (n ∈ ZZ ), on dit que
c'est une fonction continue par intervalle.
La courbe fait "un saut" pour chaque valeur de x entière.
"Partie entière" est une fonction dite "en escalier".
Avec une calculatrice TI, E(x) est en général noté partEnt(x) (menu MATH NUM).
Avec une calculatrice Casio, E(x) est en général noté Intg(x) (menu OPTN NUM).
Le tracé doit être fait en mode point (dot, non relié ou plot), sinon apparaîtront des lignes verticales qui ne
font pas partie de la représentation graphique.
Représentation
d'une
fonction
continue sur I
Représentation
d'une
fonction
discontinue en a
a
I
I

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Propriétés (admises)
●
Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes), la fonction racine
carrée, la fonction valeur absolue, les fonctions sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle sur
lequel elles sont définies.
●
La somme, le produit, le quotient, la composée de fonctions continues est une fonction continue sur tout
intervalle sur lequel elle est définie.
●
Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.
Exercice 01 (voir réponses et correction)
Représenter graphiquement les trois fonctions définies ci-dessous et utiliser le graphique pour conjecturer
leur continuité.
1°) La fonction f est définie sur IR par : f(x) = -x si x < 1 et f(x) = 2x - 3 si x ³ 1.
2°) La fonction g est définie sur IR par : g(x) = x si x £ -2 et g(x) = 1
2 x si x > -2.
3°) La fonction h est définie sur IR par : h(x) = x
2
x si x ≠ 0 et h(0) = 1.
Remarque
Les fonctions qui seront étudiées en Terminale sont des fonctions continues par intervalle.
(Cela n'est pas le cas de toutes les fonctions. On peut penser par exemple à la fonction qui à un nombre réel
x associe 1 si le nombre x est rationnel et associe 0 si le nombre x n'est pas rationnel)
Convention
Dans un tableau de variations de fonction, il est convenu que les flèches obliques indiquent que la fonction
est continue et strictement monotone.
Exemple
Le tableau de variation de la fonction carré ( f(x) = x
2
)
signifie que la fonction carré est continue et strictement
décroissante sur ]-∞ ; 0] et qu'elle est continue et
strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Théorème des valeurs intermédiaires (admis)
Soit
f
une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soient a ∈ I et b ∈ I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),
il existe au moins un réel c compris entre a et b
tel que
f(c) = k
Ce que l'on peut aussi exprimer sous la forme :
l'équation f(x) = k a au moins une solution c
comprise
entre a et b.
Si de plus la fonction f
est strictement monotone sur
l'intervalle I, alors le réel c est unique.
f
n'est pas
strictement monotone
f
est
strictement monotone
Remarque
La continuité de la fonction f est une hypothèse
essentielle du théorème des valeurs intermédiaires.
Si la fonction f n'est pas continue, il est possible que
pour un réel k compris entre f(a) et f(b), il n'existe aucun
réel c compris entre a et b tel que f(c) = k .
x
-∞
0
+∞
+∞ +∞
f
0
b
a c
f(a)
f(b)
k
b a c
f(a)
f(b)
k
b a
f(a)
f(b)
k

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Exemple solution approchée d'une équation
La fonction f définie par f(x) = x
3
+ x est continue et strictement croissante
sur [1 ; 2]. Son tableau de variation sur cet intervalle est :
Sa représentation graphique est donnée ci-contre.
Pour tout k ∈ [2 ; 10], l'équation f(x) = k a une solution unique dans [1 ; 2].
En particulier l'équation f(x) = 5 a une solution unique α dans [1
;
2].
On peut trouver une valeur approchée de α en faisant un tableau de valeurs de f.
(Méthode dite "par balayage")
Avec une calculatrice on obtient :
x
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
f(x)
2
2,431
2,928
3,497
4,144
4,875
5,696
6,613
7,632
8,759
10
On a f(1,5) < 5 < f(1,6)
f étant strictement croissante sur l'intervalle [1 ; 2] on en déduit que la solution α
de l'équation f(x) = 5 est telle que 1,5 < α < 1,6
On pourrait, en faisant un tableau de valeurs avec un pas de 0,01, justifier que 1,51 < α < 1,52
NB : La formule de Cardan (voir exercice 01 sur les nombres complexes) donne la valeur exacte de α .
Remarque
Le théorème des valeurs intermédaires permet de démontrer l'existence de solution(s) à une équation, mais
il ne permet pas de déterminer la(les) valeur(s).
On pourra obtenir des valeurs approchées en utilisant la méthode de balayage ou la méthode de dichotomie.
Exercice 02 (voir réponses et correction)
Rappeler le tableau de variations de la fonction cosinus sur l'intervalle [0 ; π] .
En déduire que l'équation cos x = 1
4 a une solution unique α dans l'intervalle [0 ; π].
Donner, par balayage, un encadrement d'amplitude 10
-2
de cette solution.
NB : Une calculatrice permet de trouver directement une valeur approchée de α en utilisant la seconde
fonction de la touche cos (celle-ci est notée cos
-1
ou Arccos ou Acs).
Remarque
Le théorème des valeurs intermédiaires peut s'étendre à une fonction définie et continue sur un intervalle
ouvert ou semi-ouvert, éventuellement non borné, en utilisant les limites de f aux bornes de cet intervalle.
Exemples :
●
si f est une fonction définie et continue sur ]0 ; 1], telle que
x → 0
x > 0
lim f(x) = -∞ et f(1) = 5, alors pour tout
réel k dans l'intervalle ]-∞ ; 5] l'équation f(x) = k a au moins une solution dans ]0 ; 1].
●
si f est une fonction définie, continue et strictement décroissante sur ]-∞ ; 3[, alors pour tout
réel k dans l'intervalle
x → 3
x < 3
lim f(x) ;
x →
-∞
lim f(x) l'équation f(x) = k a une solution unique dans ]-∞
; 3[.
Exercice 03 (voir réponses et correction)
On donne ci-contre le tableau de variations de f.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x) = 1.
(On justifiera le résultat)
x
1
2
10
f
2
α
x
-∞
2
+∞
+∞
0
f
-
3

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x
-∞
-1 1 +∞
2
+∞
f
-∞
-1
Exercice 04 (voir réponses et correction)
On donne ci-contre le tableau de variations de f.
(On pourra répondre aux questions sans justification)
1°) Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 ?
2°) Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x) = -5 ?
Exercice 05 (voir réponses et correction)
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x
3
- 5x
2
+ 7x - 2
1°) Développer l'expression (x - 1)
2
(x - 3).
2°) Résoudre l'équation f(x) = 1.
3°) Déterminer
x →
-∞
lim f(x) et
x →
+∞
lim f(x).
4°) Donner, en le justifiant, le tableau de variations de f.
5°) En utilisant le tableau de la question précédente, donner, suivant les valeurs de k le nombre de solutions
de l'équation f(x) = k. (On pourra ne pas justifier)
Exercice 06 (voir réponses et correction)
On considère l'équation (E) : cos x = 2
3 x
1°) Montrer que si x est solution de (E) alors 0 £ x £ π
2 .
2°) Montrer que l'équation (E) a une solution unique α dans IR .
3°) Déterminer une valeur approchée de α à 10
-2
près par défaut.
Exercice 07 (voir réponses et correction)
Soit (C) la courbe représentative de la fonction f définie sur IR par f(x) = 3 - x
2
et (C') la courbe représentative de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = x .
Quel est le nombre de points d'intersections de (C) et de (C') ? (Justifier)
Exercice 08 (voir réponses et correction)
On considère la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = 1
x + 1 - x
.
1°) Déterminer
x → 0
x > 0
lim h(x) et
x →
+∞
lim h(x).
2°) Donner le tableau de variation de h.
3°) En déduire que l'équation 1
x + 1 = x
a une solution unique α dans ]0 ; +∞[ .
4°) Calculer h(2) et h(3) et justifier que 2 < α < 3.
5°) Calculer h(2,5) et en déduire un encadrement de α d'amplitude 0,5.
La méthode qui consiste à passer d'un encadrement de α d'amplitude 1 à un encadrement de α
d'amplitude 0,5 s'appelle méthode de dichotomie.
6°) En reprenant le raisonnement du 5°) déterminer un encadrement de α d'amplitude 0,25.
7°) Écrire un algorithme permettant de répéter la méthode de dichotomie de façon à obtenir un encadrement
de α d'amplitude inférieure à 0,01 puis d'amplitude inférieure à 0,001.