Feuille d`exercices n°21 Variables aléatoires sur un univers fini

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°21
Variables aléatoires sur un univers fini
Notation : (Ω,P) désigne un espace probabilisé fini.
Exercice 204
Pour tout variable aléatoire Xdéfinie sur (Ω,P), on appelle fonction de répartition de Xla fonction FXdéfinie
par :
¯
¯
¯
¯
FX:R→[0,1]
x7→ P(X≤x).
1. Étude des propriétés d’une fonction de répartition de variable aléatoire sur un univers fini
Soit Xune variable aléatoire définie sur (Ω,P). On note x1<x2<...<xnles valeurs prises par X, rangées
dans l’ordre croissant. On suppose que pour tout k∈ 1,n,P(X=xn)6= 0.
(a) Sens de variation de FX
Démontrer que la fonction FXest croissante.
(b) Système complet d’événements associé à X
Justifier que :
(X=x1) , (X=x2) , ... , (X=xn)
est un système complet d’événements.
(c) La fonction FXest en escalier
i. Démontrer :
∀x∈]− ∞,x1[FX(x)=0.
ii. Soit k∈ 1,n−1. Démontrer :
∀x∈[xk,xk+1[FX(x)=FX(xk).
iii. Démontrer :
∀x∈[xn,+∞[FX(x)=1.
(d) Continuité de FXen tout point qui n’est pas une de ses valeurs
Justifier que la fonction FXest continue en tout point de R\ {x1,x2,...,xn}.
(e) Discontinuité de 1ère espèce de FXen chacune de ses valeurs et interprétation des « sauts »
i. Soit k∈ 2,n. Démontrer que :
FX(xk)−FX(xk−1)=P(X=xk).
ii. Soit k∈ 1,n. Démontrer que FXest continue à droite en xk.
iii. Soit k∈ 1,n. Démontrer que :
FX(x)→
x→x−
k¯
¯
¯
¯
0 si k=1
FX(xk−1) si k≥2
iv. Soit k∈ 1,n. Démontrer alors que :
FX(xk)−lim
x→x−
k
FX(x)=P(X=xk) (valeur du « saut » en xk).
(f) Représentation graphique de FX
i. Un repère du plan étant fixé, tracer l’allure de la représentation graphique de FX
ii. Faire apparaître les probabilités P(X=x1),P(X=x2),...,P(X=xn) sur le graphique précédent.
2. La fonction de répartition caractérise la loi
Soient deux variables aléatoires X1et X2définies sur (Ω,P). On suppose que pour tout x∈X1(Ω), P(X1=
x)6= 0 et que pour tout x∈X2(Ω), P(X2=x)6= 0. On suppose que FX1=FX2, i.e. que les deux variables
aléatoires ont la même fonction de répartition.
(a) Justifier : X1(Ω)=X2(Ω).
(b) Justifier que X1et X2ont la même loi.
1

Exercice 205
Un forain possède deux roues séparées en 10 secteurs égaux. Sur la première roue il y a 3 secteurs rouges et 7
blancs et sur la deuxième, 1 vert et 9 blancs.
Un joueur lance les deux roues en même temps. Les gains sont distribués de la façon suivante :
•3 euros si la première roue tombe sur le secteur rouge et la deuxième sur le secteur vert ;
•1 euro si une seule des deux roues tombe sur un secteur blanc ;
•0,5 euro si les deux roues tombent sur des secteurs blancs.
1. Soit Gla variable aléatoire égale au gain obtenu.
(a) Déterminer la loi de G.
(b) Calculer l’espérance de G.
2. Le forain demande une mise initiale de meuros. On note Xla variable aléatoire égale au bénéfice du
forain.
(a) Donner une relation entre X,Get m.
(b) Déterminer la mise minimale que doit exiger le forain pour que son bénéfice moyen soit d’au moins
25 centimes d’euro par partie.
Exercice 206
On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. La probabilité de chacune des faces est proportionnelle au
numéro qu’elle porte. On appelle Xla variable aléatoire égale au nombre obtenu.
1. Déterminer la loi de X.
2. Déterminer l’espérance de X.
3. Déterminer la variance de X.
4. Déterminer Eµ1
X¶.
Exercice 207
On dispose de :
•quatre urnes de couleurs différentes : une rouge, une jaune, une verte et une bleue ;
•quatre boules de couleurs différentes : une rouge, une jaune, une verte et une bleue.
On place au hasard une boule dans chacune des urnes.
1. Donner un espace de probabilités fini (Ω,P(Ω),P) associé à cette expérience.
2. Soit Xla variable aléatoire égale au nombre d’urnes qui ont reçu la boule de couleur identique à la leur.
(a) Déterminer la loi de X.
(b) Déterminer l’espérance de X.
Exercice 208
Soit k∈N∗. Soit kurnes U1,...,Uk. Pour tout i∈ 1,k, l’urne Uicontient iboules blanches et k−iboules
noires. On choisit une urne au hasard, de laquelle on tire une boule.
Soit Xla variable aléatoire égale au numéro de l’urne sachant que la boule tirée est blanche.
1. Déterminer la loi de X. On pourra introduire la variable aléatoire Uégale au numéro de l’urne dans
laquelle on a tiré la boule.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
Exercice 209
Soit n∈N≥2. On effectue des tirages au hasard dans une urne contenant nboules numérotées de 1 à n. Un
tirage consiste à extraire une boule de l’urne, la boule tirée étant ensuite remise dans l’urne.
On note Nla variable aléatoire égale au numéro du tirage au cours duquel, pour la première fois, on a obtenu
une boule déjà obtenue auparavant.
1. Montrer que N(Ω)= 2,n+1.
2. Montrer que : ∀k∈ 1,n,P(N>k)=Ak
n
nk.
3. Montrer que : ∀k∈ 2,n,P(N=k)=P(N>k−1)−P(N>k).
4. Calculer P(N=n+1).
5. Déduire de ce qui précède la loi de N.
6. Montrer que E(N)=
n
X
k=0
Ak
n
nk.
2

Exercice 210
Dans chacune des expériences qui suivent, reconnaître la loi de X, calculer son espérance, sa variance et la
probabilité demandée.
1. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs. On note Xla variable aléatoire égale au nombre d’objets
dans le premier tiroir et on s’intéresse à P(X=20) et P(X=10).
2. Un enclos contient 12 lamas et 15 dromadaires. On sort un animal au hasard. On note Xla variable
aléatoire égale au nombre de bosses et on s’intéresse à P(X=1).
3. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les lettres de l’alphabet. On en tire 5 au hasard que l’on
aligne afin de former un « mot » de 5 lettres. On note Xla variable aléatoire égale au nombre de voyelles
dans ce mot et on s’intéresse à P(X=1).
4. Anne demande à Nathalie de lui donner un nombre entier au hasard entre 0 et 100. Soit Xla variable
aléatoire égale au nombre donné. On s’intéresse à P(25 ≤X≤75).
5. On plante au hasard 50 fleurs dans 4 massifs. On note Xla variable aléatoire égale au nombre de fleurs
dans le premier massif. On s’intéresse à P(X=25).
6. On suppose que 1% des trèfles ont 4 feuilles. On cueille 100 trèfles. On note Xla variable aléatoire égale
au nombre de trèfles à 4 feuilles cueillis et on s’intéresse à P(X>0).
Exercice 211
Soit Xune variable aléatoire finie.
1. Montrer que si Xne prend qu’une valeur, alors sa variance est nulle.
2. Montrer la réciproque, i.e. montrer que si la variance de Xest nulle, alors Xne prend qu’une valeur.
Exercice 212
On considère un point Mse déplaçant sur un axe d’origine O, en partant de Oet par saut d’une unité vers la
droite avec probabilité pet vers la gauche avec probabilité q(p∈]0,1[ et p+q=1), les sauts étant supposés
indépendants. Le point Mfait nsauts (n∈N).
1. Soit Ynla variable aléatoire égale au nombre de sauts vers la droite. Déterminer la loi de Yn, son espé-
rance et sa variance.
2. Soit Xnla variable aléatoire égale à l’abscisse du point Maprès les nsauts.
(a) Exprimer Xnen fonction de Yn.
(b) Déterminer Xn(Ω).
(c) Donner la loi de Xn, son espérance et sa variance.
3. Quelle est la probabilité que le point Msoit revenu à l’origine après les nsauts ?
Exercice 213
Soit n∈N∗et soit p∈]0,1[. On note Xune variable aléatoire réelle suivant la loi binomiale B(n,p). Les résultats
de Xsont affichés sur un compteur défectueux.
•Si X(ω)6= 0, alors le compteur affiche X(ω).
•Si X(ω)=0, alors le compteur affiche un nombre entier au hasard entre 1 et n.
Soit Yla variable aléatoire égale au nombre affiché sur le compteur.
1. Déterminer la loi de Y.
2. Calculer E(Y).
3. Montrer que E(Y)≥E(X).
Exercice 214
On dispose d’une boîte contenant trois objets appelés A,Bet C. Un jeu consiste en une succession de tirages
d’un objet, avec remise dans la boîte après chaque tirage. À chaque tirage, le joueur gagne un euro s’il tire l’objet
A, ne gagne ni ne perd rien s’il tire l’objet Bet perd ce qu’il a gagné précédemment s’il tire l’objet C. Pour tout
n∈N∗, on note Xnla variable aléatoire égale au gain du joueur, à l’issue de ntirages.
1. Déterminer les lois de X1et de X2.
2. Calculer P(Xn=n) en fonction de n, pour tout n∈N∗.
3. Exprimer P(Xn+1=0) en fonction de P(Xn=0), pour tout n∈N∗, et en déduire la valeur de P(Xn=0)
en fonction de n.
3

4. Soient aet ndeux entiers naturels non nuls. Montrer l’égalité suivante :
P(Xn+1=a)=1
3P(Xn=a)+1 3P(Xn=a−1).
5. Trouver une relation entre E(Xn) et E(Xn+1), pour tout n∈N∗, et exprimer E(Xn) en fonction de n∈N∗.
4