Livret d`exercices 1 Rappels, calculs utiles

Probabilités 2009-2010
Licence 2 Sciences économiques et Economie - Langues Année universitaire 2009-2010
Probabilités A.L Basdevant, C. Hardouin
Livret d’exercices
1 Rappels, calculs utiles
Exercice 1. 1) On rappelle que ex=
∞
X
k=0
xk
k!pour tout x∈R.
En déduire le calcul de
∞
X
k=0
λk
k!e−λ,
∞
X
k=0
kλk
k!e−λ,
∞
X
k=0
k(k−1)λk
k!e−λpuis
∞
X
k=0
k2λk
k!e−λ.
2) Calculer
n
X
k=0
qk; puis
∞
X
k=0
qk(discuter suivant la valeur de q).
Exercice 2. Soient trois ensembles A, B et C.
1) Exprimer A∩B, A ∪B, A \Ben fonction de A, B, A, B.
2) Développer (A∩B)∪C, (A∪B)∩C, (A\B)∪(B\A).
3) On suppose C= (A∪B)∩(¯ A∪¯ B). Exprimer ¯ C.
4) On suppose que A∩B=∅et ¯ A∩¯ B=∅. Montrer que B=¯ A. Que se passe-t-il pour C? Pour
¯
C?
Exercice 3. Pour les fonctions définies ci-dessous, calculer F(x) = Zx
−∞
f(t)dt :
f(t) = 1[0,1](t);f(t) = λe−λt si t≥0 et 0 sinon où λest un réel >0.
Exercice 4. Calculer les intégrales :
Z∞
0
λte−λtdt (λ > 0) ; Z∞
0
xe−x2/2dx ;Z+∞
−∞
xe−x2/2dx
Exercice 5. Combien de nombres peut-on former avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, chaque chiffre
n’étant présent qu’une fois, de façon que chaque nombre commence par 7 et soit divisible par 5 ?
1) Si les nombres sont de 8 chiffres ?
2) Si les nombres sont de 6 chiffres ?
Exercice 6. On dispose de 5 billes rouges, 2 blanches et 3 bleues. Si les billes de même couleur sont
indiscernables, de combien de façons peut-on les aligner ?
Exercice 7. Un groupe de 5 mathématiciens et 7 économistes doit élire un comité représentatif formé
de 2 mathématiciens et 2 économistes. Quel est le nombre de résultats possibles si :
- les 12 personnes sont éligibles ?
- un économiste est élu d’office ?
- 2 mathématiciens ne sont pas éligibles ?
1

Probabilités 2009-2010
2 Événements, équiprobabilité, indépendance
Exercice 8. 1. On lance deux dés identiques. Quel est l’ensemble fondamental attaché à cette
épreuve ? Décrire A : "la somme des points est inférieure ou égale à 5”.
2. Décrire l’univers si on s’intéresse seulement à la parité du résultat.
3. On joue avec deux dés discernables. Quel est l’ensemble fondamental ? Décrire A.
Exercice 9. Une entreprise possède 3 machines A, B et C. On note An(respectivement Bnet Cn)
l’évènement “n ouvriers travaillent sur A" (respectivement B et C). Avec ces notations, écrivez les
évènements suivants :
1) Personne ne travaille sur la machine A.
2) 2 ouvriers travaillent sur A et 1 ouvrier travaille sur B.
3) Moins de trois ouvriers travaillent sur A.
4) Plus de trois ouvriers travaillent sur A.
5) 2 ouvriers travaillent sur A et au moins 1 ouvrier travaille sur B.
Exercice 10. Trois boules sont tirées d’une urne contenant des boules blanches et des boules rouges.
Soient les évènements :
A : “la première boule est blanche"
B : “la deuxième boule est blanche"
C : “la troisième boule est blanche"
Exprimer les évènements suivants en fonction de A, B et C :
D : “toutes les boules sont blanches"
E : “les deux premières boules sont blanches"
F : “au moins une boule est blanche"
G : “seulement la troisième boule est blanche"
H : “exactement une boule est blanche"
I : “au moins deux boules sont blanches"
J : “aucune boule n’est blanche"
Exercice 11. Soient A, B, C trois événements. Exprimer à l’aide des opérations ensemblistes les évé-
nements ci-dessous :
(i) Aseul se produit.
(ii) Aet Cse produisent, mais non B.
(iii) Les trois événements se produisent.
(iv) L’un au moins des événements se produit.
(v) Deux événements au moins se produisent.
(vi) Un événement au plus se produit.
(vii) Aucun des trois événements ne se produit.
(viii) Exactement deux événements se produisent.
(ix) Pas plus de deux événements se produisent.
2

Probabilités 2009-2010
Exercice 12. Soient A,B,Ctrois événements. Déterminer en fonction de P(A),P(B),P(C),P(A∩B)
P(B∩C),P(C∩A),P(A∩B∩C)les probabilités suivantes :
(i) un et un seul événement est réalisé ;
(ii) deux événements sont réalisés ;
(iii) aucun n’est réalisé.
Exercice 13. Les trois questions sont indépendantes.
On considère deux évènements A et B.
1) Calculer P(¯ A), P (A∩¯ B), P (A∪B), P (A∪¯ B)en fonction de P(A), P (B)et P(A∩B).
2) On suppose que P(A∩B) = P(A)P(B):Aet Bsont indépendants en probabilité. Montrer
qu’alors Aet ¯ Bpuis ¯ Aet ¯ Ble sont aussi.
3) Soit Cun autre évènement. Calculer P(A∪B∪C).
Exercice 14. On considère deux évènements A et B. On suppose P(A) = 1
4, P (B) = 2 3et P(A∩B) = 1 8.
Calculer les probabilités de E : “au moins un évènement se produit" et F : “un seul évènement se
produit".
Exercice 15. Soient A et B deux évènements tels que P(A) = 0.2et P(B) = 0.4.
1) Choisir pour P(A∩B)une des deux valeurs 0.15 ou 0.5. En déduire P(A∪B).
2) Choisir pour P(A∪B)une des deux valeurs 0.2 ou 0.5. En déduire P(A∩B).
Exercice 16. On jette un dé un nombre illimité de fois. On considère les évènements :
Ak: “obtention de la face 6 au kième jet"
Bk: “obtention de la face 6 pour la première fois au kième jet"
où k=1,2,3...
1) Exprimer Bnen fonction des Ak, k ≤n
2) Calculer P(Bn)pour un dé équilibré et sa limite lorsque n→ ∞.
Exercice 17. On lance un dé quatre fois ; calculer la probabilité d’obtenir au moins un 6.
Exercice 18. Une urne contient quatre boules rouges, quatre vertes et deux bleues. On tire trois
boules ; quelle est la probabilité d’avoir trois boules de couleurs distinctes ?
Exercice 19. On lance deux dés. On note par Al’événement " la somme des dés est impaire", par B
l’événement "au moins l’un des dés montre 1", et C" la somme des dés est 5". Décrire A∩B,A∪B,
B∩C,A∩Bc,A∩B∩C.
Exercice 20. On lance trois dés. Quels sont les jets qui donnent une somme égale à 11 ? à 12 ? Quelle
somme est-elle la plus probable ?
Exercice 21. On dispose de 3urnes contenant chacune 50 boules identiques numérotées de 1à50.
On extrait au hasard une boule de chaque urne. Quelle est la probabilité que le plus grand nombre
obtenu soit 25 ?
Exercice 22. Une urne contient huit boules rouges, trois blanches et neuf noires. On tire successive-
ment et sans les replacer trois boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir
a– trois boules blanches ?
3

Probabilités 2009-2010
b– dans l’ordre, une rouge, une blanche et une noire ?
c– une rouge, une blanche et une noire, dans le désordre ?
d– deux rouges et une blanche dans le désordre ?
Exercice 23. On considère deux dés équilibrés. Est-il plus probable d’obtenir au moins une fois un 6
en jetant quatre fois un dé ou d’obtenir au moins une fois un double six en jetant 24 fois deux dés ?
Exercice 24. Soit A,B,Ctrois événements aléatoires avec
P(A) = 1
2,P(B) = 1 4et P(C) = 1 8
Calculer P(A∪B∪C)
a– lorsque les trois événements sont mutuellement indépendants.
b– lorsqu’ils sont incompatibles deux à deux.
Exercice 25. Trois tireurs A,Bet Ctirent simultanément et de manière indépendante sur un cac-
tus. Sachant que les probabilités de faire mouche sont, pour chaque tireur, 1
2,2 3et 1 4. Quelle est la
probabilité que le cactus soit touché
1– par les trois tireurs ?
2– par au moins deux tireurs ?
3– par aucun des tireurs ?
4– par au moins un tireur ?
5– par un seul tireur ?
Exercice 26. Un concessionnaire de voitures vend, le même jour, 5 véhicules identiques à des parti-
culiers. Sachant que la probabilité pour que ce type de voiture soit en état de rouler après deux ans
d’utilisation est 0.8, calculer la probabilité pour que :
1. les 5 véhicules soient en service deux ans plus tard,
2. les 5 véhicules soient hors service deux ans plus tard,
3. trois véhicules soient hors service deux ans plus tard,
4. deux véhicules au plus soient hors service.
Exercice 27. Alors qu’il se prépare à sortir, se produit chez le savant Cosinus une panne d’électricité.
Il choisit au hasard dans son tiroir qui est dans le plus grand désordre deux chaussettes et deux gants.
Sachant que ce tiroir contenait 20 chaussettes noires, 16 bleues et 6 paires de gants noirs et 4 paires
de gants rouges (les gants sont séparés), quelle est la probabilité qu’il ait choisi deux chaussettes de
la même couleur et une paire de gants de la même couleur ?
(Une paire de gants est composée d’un gant droit et d’un gant gauche).
Exercice 28. Soit l’épreuve aléatoire : “on jette trois dés successivement”.
1) Définir l’espace fondamental associé à cette épreuve. Quel est son cardinal ? Quelle est la pro-
babilité qu’avec les trois numéros obtenus on puisse former le nombre 432 ?
4

Probabilités 2009-2010
2) Soient les évènements suivants :
A : “il y a au moins un as sur une des trois faces"
B : “deux au moins des trois faces sont identiques"
C : “la somme des points est paire"
Evaluer la probabilité des évènements A, B, C, A ∩B, A ∩C, B ∩C, A ∩B∩C.
Exercice 29. (Septembre 2007) Dans un jeu de 32 cartes, on a remplacé une carte autre que l’as de
pique par un second as de pique. Une personne prend au hasard et simultanément trois cartes du
jeu. Quelle est la probabilité qu’elle s’aperçoive de la supercherie ?
3 Probabilités conditionnelles
Exercice 30. On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux
montre 6? Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant que les deux
résultats sont différents ?
Exercice 31. On jette 2 dés. Calculer la probabilité pour que la somme obtenue soit au moins égale à
10. Calculer la probabilité pour que la somme obtenue soit au moins égale à 10 sachant que l’un des
dés à donné un 5.
Exercice 32. On tire 2 cartes dans un jeu de 52. Quelle est la probabilité pour que la deuxième soit
noire.
Exercice 33. Dans une ville, 36% des familles possèdent un chien et 22% de celles qui ont un chien
possèdent aussi un chat. De plus, 30% des familles ont un chat. Quelle est la probabilité qu’une
famille séléctionnée au hasard possède un chien et un chat ? Quelle est la probabilité qu’une famille
choisie au hasard possède un chien sachant qu’elle a un chat ?
Exercice 34. Une compagnie d’assurances répartit ses clients en trois classes : personnes à bas risque,
risque moyen et haut risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité pour qu’une personne ait
un accident au cours d’une année est de 0,05, 0,15 et 0,30 pour les personnes à bas, moyen et haut
risque, respectivement. On estime que 20% de la population est à bas risque, 50% est à risque moyen
et 30% est à haut risque. Quelle proportion des clients ont un accident ou plus au cours d’une année
donnée ? Si un client n’a pas eu d’accident en 2001, quelle est la probabilié qu’il fasse partie de la
classe à bas risque ?
Exercice 35. On considère un stock d’ampoules électriques. 70% viennent de l’usine 1 et 30% de
l’usine 2. Il y a deux types d’ampoules : type A et type B. L’usine 1 produit 80% d’ampoules de type
B et l’usine 2 en produit 60%. On prélève au hasard une ampoule dans le stock.
1) Quelle est la probabilité qu’elle soit de type B ?
2) Quelle est la probabilité qu’elle sorte de l’usine 1 sachant qu’elle est de type B ?
Exercice 36. Une carte a été perdue dans un jeu de 52 cartes mais on ignore laquelle.
1) On tire au hasard une carte dans ce jeu incomplet ; quelle est la probabilité que ce soit l’as de
coeur ?
2) Quelle est la probabilité que la carte perdue soit l’as de coeur sachant qu’on a tiré l’as de trèfle ?
5