x +∞ x +∞ x

Mathématiques classe de Tale ES – Devoir du 07.10.16
Eléments de correction
Exercice 1.
1) On suppose que le nombre
a
est positif.
a.
f
est une fonction polynôme du 3ème degré, elle
est donc deux fois dérivable sur ℝ et on a, pour
tout réel
x
,
' 3 ² 2
f x ax bx c
et
'' 6 2 2 3
f x ax b ax b
.
''
f
est donc
une fonction affine de coefficient directeur
6 0
a
, d’où son tableau de signes :
x
3
b
a
''
f x
0
+
''
f
s’annule et change de signe en
3
b
a
donc
f
C
admet un point d’inflexion, d’abscisse 
.
b. On en déduit que
f
est concave sur ;
3
b
a
et
convexe sur ;
3
b
a
.
2) Dans le cas où
a
est négatif, on a
6 0
a
et par
conséquent le tableau de signes :
x
3
b
a
''
f x
+
0
On en déduit que
f
est convexe sur ;
3
b
a
et
concave sur ;
3
b
a
.
Exercice 2.
1) a)
f
est deux fois dérivable sur
0; 4
en tant que
fonction polynôme, et pour tout réel
0; 4
x,
' 0, 5625 ² 2, 25 0,5625 ( 4)
f x x x x x
et
()= 1,125 − 2,25 = 1,125( − 2).
On en déduit le tableau de variations suivant :
x
0
2
4
''
f x
0
+
'
f x
0
0
-
2,25
'
f x
f x
6
0
b) ′ est décroissante sur [0 ; 2] et croissante sur [2 ; 4]
(ou ′′() ≥ 0 pour  ∈ [0 ; 2] et ′′() ≤ 0 pour
 ∈ [2 ; 4]), on en déduit que  est concave sur [0 ; 2] et
convexe sur [2 ; 4].
2) a) D’après le tableau de variations de ′, on a
(0)= 0 et (4)= 0. La pente est bien
horizontale au départ et à l’arrivée.
b) D’après le tableau de variation, ′ admet un
minimum en  = 2, et ce minimum vaut −2,25. On
en déduit que la plus forte pente du toboggan est
atteinte pour
2
x
, c’est-à-dire au point de
coordonnées (2 ; 3).
3) a)
f
est dérivable donc continue sur [0 ; 4], et
strictement décroissante sur
0; 4
avec
0 6
f
et
4 0
f
donc d’après le théorème de la
bijection l’équation
3,5
f x  admet une
solution unique  sur
0; 4
.
b)  ≈ 1,78
c) On en déduit que la barre de renfort a une
longueur d’environ 1,78 m.