Feuille d`exercices d`alg`ebre

Universit´e de Rennes 1 Pr´eparation au CAPES de math´ematiques
Feuille d’exercices d’alg`ebre
Relations binaires, lois de composition, applications
Exercice n◦1
Soient Eun ensemble et A⊂E. On d´efinit la relation sur P(E) : X∼Y⇔X∪A=Y∪A.
1) Montrer que c’est une relation d’´equivalence.
2) Soit ϕ:P(E)→ P(E\A), X 7→ X\A.
Montrer que ϕest compatible avec ∼, et que l’application quotient associ´ee est une bijection.
Exercice n◦2
On d´efinit dans le corps C, la relation Rpar : (x+iy)R(x0+iy0) si (x < x0) ou (x=x0et y≤y0). Montrer que
c’est une relation d’ordre total, non compatible avec la multiplication. D´eterminer l’ensemble des majorants de
U={z∈C,|z|= 1}. L’ensemble Uadmet-il une borne sup´erieure ?
Exercice n◦3
On d´efinit sur Nla relation Rsuivante : aRbsi, pour tout nombre premier p,pest diviseur de asi et seulement
si pest diviseur de b.
1) Montrer que Rest une relation d’´equivalence et que toute classe d’´equivalence a un plus petit ´el´ement pour
l’ordre usuel.
2) Soit Cune classe d’´equivalence. Si xet ysont des ´el´ements de C, montrer que xy ∈C.
3) Montrer qu’il y a une infinit´e de classes d’´equivalence. Y-en a-t-il ayant un plus grand ´el´ement ?
Exercice n◦4(Deuxi`eme ´epreuve 2007)
Une relation d’ordre sur Rnest dite compatible avec la structure d’espace vectoriel de Rnsi elle v´erifie les
deux conditions suivantes : ∀x, y, z ∈Rn, x y⇒x+zy+zet ∀x, y ∈Rn,∀λ∈R+, x y⇒λx λy.
1) Soit une relation d’ordre total sur Rncompatible avec la structure d’espace vectoriel.
a) Montrer que ∀x, y ∈Rn,∀λ∈R−, x y⇒λy λx.
b) Soit ϕ∈GL(Rn) (le groupe lin´eaire de Rn). On d´efinit une relation 0par : pour x, y ∈Rn, on a x0y
si ϕ(x)ϕ(y). Montrer que 0est une relation d’ordre total sur Rncompatible avec la structure d’espace
vectoriel.
2) On d´efinit une relation sur Rnpar : pour x= (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn)∈Rn, on a xysi x=you
x6=yet xk< ykavec k=min{i∈ {1, ..., n}, xi6=yi}.
a) En munissant le plan Pd’un rep`ere (O, ~u, ~v), repr´esenter graphiquement la partie
{M(x, y)∈P; (0,0) (x, y)}en la hachurant d’une couleur particuli`ere.
b) Montrer que la relation est une relation d’ordre total sur Rncompatible avec la structure d’espace
vectoriel.
Exercice n◦5
On d´efinit l’op´eration dans Z2: (a, b)∗(a0, b0) = (aa0, ab0+b).
1) ´ Etudier les propri´et´es de cette loi de composition.
2) Pour z∈Z, on pose fa,b(z) = az +b. Montrer que ϕ:Z2→ZZ,(a, b)7→ fa,b est un morphisme pour ∗et ◦.
Exercice n◦6
Soit fl’application de R2dans lui-mˆeme d´efinie par f((x, y)) = (x+y, xy) pour tout (x, y) de R2.
1) Calculer f−1({(3,2)}). fest-elle injective ?
2) fest-elle surjective ? D´eterminer son image.
1

Exercice n◦7
Soient fune application de Edans F,gune application de Fdans Get h=g◦f.
1) Montrer que si hest surjective et ginjective, alors fest surjective.
2) Montrer que si hest injective et fsurjective alors gest injective.
Exercice n◦8
Soient Eet Fdeux ensembles non vides et fune application de Edans F. On note Fl’ensemble des applications
de Fdans E.
1) Soient A1et A2deux parties de E. Montrer que l’on a toujours f(A1∪A2) = f(A1)∪f(A2) mais que
f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2) avec ´egalit´e si fest injective.
2) Soient B1et B2deux parties de F.
Montrer que f−1(B1∪B2) = f−1(B1)∪f−1(B2) et que f−1(B1∩B2) = f−1(B1)∩f−1(B2).
3) Soient Aune partie de Eet Bune partie de F. Montrer que :
A⊂f−1(f(A)) avec ´egalit´e si fest injective et ff−1(B)⊂Bavec ´egalit´e si fest surjective
4) Montrer que fest injective si et seulement si : ∀g∈ F,∀h∈ F,(f◦g=f◦h⇒g=h)
Exercice n◦9
Soit f:A→Bune application. Montrer que fest injective si et seulement si, pour tous sous-ensembles Xet
Yde A, on a f(X)∩f(Y)⊂f(X∩Y).
Exercice n◦10
Soient Aet Bdeux ensembles non vides et fune application de Adans B. Montrer que :
1) si fest injective alors on peut construire une application surjective gde Bdans Atelle que g◦f=IdA.
2) si fest surjective alors on peut construire une application injective hde Bdans Atelle que f◦h=IdB.
Arithm´etique dans Z
Exercice n◦11
On consid`ere la suite (un)n∈Nd´efinie par un= 1 + 10 + 100 + . . . + 10n
1) Trouver deux entiers naturels distincts net ptels que un−upsoit divisible par 24.
2) Plus g´en´eralement, montrer que, pour tout nombre a∈N, il existe un multiple non nul de aqui s’´ecrit en
´ecriture d´ecimale uniquement avec les chiffres 1 et 0.
Exercice n◦12
´
Enoncer des crit`eres de divisibilit´e par 6, par 2 et par 5 `a partir de l’´ecriture en base six d’un nombre.
Exercice n◦13 (CAPES 2006, ´epreuve sur dossier)
1) Soit mun entier relatif. On note (Em) l’´equation 11x+ 13y=m, d’inconnue (x, y). Trouver toutes les
solutions (x, y) de (Em) dans Z×Z.
2) On suppose d´esormais que mest un entier naturel. Montrer qu’il y a autant de solutions (x, y) de l’´equation
(Em) dans N×Nqu’il y a d’entiers dans le segment [5m
11 ,6m 13 ].
3) Montrer que si m < 143 (resp. m≥143), alors l’´equation (Em) poss`ede au plus (resp. au moins) une
solution (x, y) dans N×N.
Exercice n◦14
Soient met ndeux entiers naturels premiers entre eux. Montrer que tout diviseur dde mn s’´ecrit de mani`ere
unique d=d1d2avec d1|m,d2|net d1et d2premiers entre eux.
2

Exercice n◦15
Pour tout nde N∗, on note µnle groupe des racines ni`emes de l’unit´e dans C. Soient m, n ∈N∗. On note
d=pgcd(n, m) et p= ppcm(m, n).
1) Montrer que G=µn∩µmest cyclique et en donner un g´en´erateur.
2) Mˆeme question avec le sous-groupe Hde (C∗,×) engendr´e par µn∪µm.
Exercice n◦16
On cherche `a r´esoudre dans Zl’´equation x2+ 5y2=z2.
1) Montrer qu’il suffit de chercher les solutions telles que pgcd(x, z) = 1.
2) Soit (x, y, z) une telle solution. On note d=pgcd(z−x, z +x). Montrer que ddivise 2.
a) On suppose que d= 1. Montrer qu’il existe deux entiers impairs uet vtels que y=uv et 2z= 5u2+v2.
b) On suppose que d= 2. Montrer qu’il existe deux entiers uet vl’un pair, l’autre impair tels que y= 2uv
et z= 5u2+v2.
3) R´esoudre l’´equation de d´epart.
Exercice n◦17
Quel est le nombre de diviseurs de 192 080 000 ?
Quel est le chiffre des unit´es dans l’´ecriture en base 10 du nombre 7777777 ?
Exercice n◦18
Pour n∈N∗, on note dnle nombre de diviseurs positifs de n.
1) Montrer que si n=ab avec a∧b= 1, alors dn=dadb.
2) Montrer que nest un carr´e parfait si et seulement si dnest impair.
3) Montrer que : Y
d|n
d=√ndn.
Exercice n◦19
Soit n∈N∗. Montrer que le cardinal de {(a, b)∈(N∗)2, a ∨b=n}est ´egal au nombre de diviseurs de n2.
Exercice n◦20
1) Soit n∈N. Montrer que l’on peut trouver nentiers cons´ecutifs dont aucun n’est premier.
2) Montrer que si un produit d’entiers naturels est de la forme 4n−1 alors au moins l’un des facteurs est de la
mˆeme forme. En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4n−1.
3) Soient n∈Net p≥3 un diviseur premier de n2+ 1. Montrer que p≡1 [4]. En d´eduire qu’il y a une infinit´e
de nombres premiers de la forme 4k+ 1.
Exercice n◦21 (Deuxi`eme ´epreuve 1992)
Pour n∈N, on note En={z∈Z[i],|z|2= 5n}o`u Z[i] = {x+iy, x, y ∈Z}.
Soit z=x+iy un ´el´ement de Enavec n≥1. Montrer que (x, y) v´erifie l’un des syst`emes
(1) 2x−y≡0 (mod 5)
x+ 2y≡0 (mod 5) ou (2) 2x+y≡0 (mod 5) −x+ 2y≡0 (mod 5)
En d´eduire que l’un des nombres z
2 + iou z 2−iappartient `a En−1.
Exercice n◦22 (Petit th´eor`eme de Fermat)
1) Soit pun nombre premier. Montrer que, pour tout entier kde [1, p −1], pdivise p
k.
2) En d´eduire que pour a, b ∈Zon a (a+b)p≡ap+bpmod p, puis que ap≡amod p.
3

Exercice n◦23
Soit p > 3 un nombre premier.
1) Montrer qu’une ´equation du second degr´e : x2+ax +b= 0 admet une solution dans Z/pZsi et seulement
si son discriminant : a2−4best un carr´e dans Z/pZ.
2) On suppose que p≡1 [3] : p= 3q+ 1. Montrer que ∃a∈(Z/pZ)∗, aq6=˙ 1. En d´eduire que −˙ 3 est un carr´e.
3) R´eciproquement, on suppose que −˙ 3 est un carr´e dans Z/pZ. Montrer que p≡1 [3].
Exercice n◦24
Soient n∈N∗et k∈Z. On note ¯ kle classe de kmodulo n. Montrer l’´equivalence des propri´et´es suivantes :
(i) pgcd(n, k) = 1
(ii) ¯ kest un g´en´erateur du groupe additif Z/nZ
(iii) ¯ kest inversible dans l’anneau Z/nZ(c’est `a dire que ¯ kest ´el´ement du groupe multiplicatif (Z/nZ)×des
´el´ements inversibles de l’anneau Z/nZ).
Exercice n◦25
Soit n=pq o`u pet qsont deux nombres premiers distincts.
Soient a, b deux entiers naturels tels que ab ≡1 [ϕ(n)]. Montrer que les applications fet gde Z/nZdans
lui-mˆeme d´efinies respectivement par x7→ xaet x7→ xbsont r´eciproques l’une de l’autre.
Exercice n◦26 (Propri´et´e universelle de Z/nZ)
Soient ndans Net Γ un groupe.
1) Montrer que l’application ϕ: Homgroupes(Z/nZ,Γ) −→ {γ∈Γ|γn=e}est une bijection.
f7−→ f(1 mod n)
Est-ce un isomorphisme de groupes ? D´eterminer l’application r´eciproque de ϕ.
2) D´eterminer tous les endomorphismes du groupe Z/nZ. Montrer que l’ensemble des automorphismes de
Z/nZ, muni de la composition, est un groupe isomorphe au groupe multiplicatif (Z/nZ)×.
Exercice n◦27
1) Montrer que 2 est un g´en´erateur de (Z/13Z)∗. Dresser une table donnant pour tout xde (Z/13Z)∗l’unique
entier ntel que x= 2net 0 ≤n < 12 (nest appel´e logarithme discret de x).
2) R´esoudre l’´equation 6x2≡5 [13] en cherchant xsous la forme 2n`a l’aide de la table pr´ec´edente.
Exercice n◦28 (D’apr`es la deuxi`eme ´epreuve 2003)
Pour tout entier n≥1, on note ϕ(n) le nombre d’entiers kpremiers avec net tels que 1 ≤k≤n. La fonction
ϕ:N∗→Nainsi d´efinie est appel´ee fonction d’Euler.
1) Soit n≥1 un entier. Montrer que ϕ(n) est ´egal au nombre de g´en´erateurs du groupe cyclique Z/nZ.
2) Soient met ndeux entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Montrer que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
3) Soient p > 1 un nombre premier et α > 0 un entier. Montrer que ϕ(pα) = pα−1(p−1).
4) Soient n≥2 un entier et n=pα1
1···pαk
ksa d´ecomposition en facteurs premiers. Montrer que :
ϕ(n) =
k
Y
i=1
pαi−1
i(pi−1) = n(1 −1
p1
)···(1 −1
pk
)
5) Soient n > 0 un entier et Dn={d∈N∗|ddivise n}. Montrer que X
d∈Dn
ϕ(d) = n(on pourra consid´erer
l’application gd´efinie sur En={1,2···, n}par g(x) = pgcd(x, n)).
Exercice n◦29 (Th´eor`eme Chinois)
Soient aet bdeux entiers strictement positifs. On note dle PGCD de aet b,mleur PPCM, et l’on pose a=da0
et b=db0. On consid`ere l’homomorphime de groupes : ϕ:Z−→ Z/aZ×Z/bZ, x 7−→ (xmod a, x mod b)
1) D´eterminer le noyau de ϕ. En d´eduire le cardinal de l’image de ϕet une condition n´ecessaire et suffisante
sur aet bpour que ϕsoit surjectif.
4

2) On consid`ere l’homomorphisme naturel de groupes :
ψ:Z/aZ×Z/bZ−→ Z/dZ,(y, z)7−→ (ymod d)−(zmod d)
Montrer que ψest surjectif. En d´eduire le cardinal du noyau de ψ. Calculer ψ◦ϕet en d´eduire (en utilisant
les questions pr´ec´edentes) que Im ϕ= Ker ψ.
3) Etant donn´es deux entiers αet β, donner une condition n´ecessaire et suffisante sur d,αet βpour que le
syst`eme (∗)x≡α(mod a)x≡β(mod b)
admette au moins une solution x∈Z. Si x0est une solution de (∗), d´ecrire l’ensemble de toutes les solutions.
Polynˆomes et arithm´etique
Exercice n◦30 (D’apr`es la deuxi`eme ´epreuve 2002)
On note P(Z,Z) l’ensemble des polynˆomes Pde R[X] v´erifiant P(Z)⊂Z.
1) Soient n∈Net Γnle polynˆome d´efini par Γ0(X) = 1 et, pour n > 0,Γn(X) = X(X−1) ···(X−n+ 1)
n!.
a) Soit n∈N. Montrer que Γn∈ P(Z,Z) (on pourra discuter suivant les cas 0 ≤k < n, k ≥net k < 0).
b) Montrer que pour tout entier naturel m, la famille (Γn)0≤n≤mforme une base de l’espace vectoriel des
polynˆomes de R[X] de degr´e au plus m.
2) Soit P∈R[X] de degr´e au plus m. Montrer que P∈ P(Z,Z) si et seulement s’il existe m+ 1 entiers
cons´ecutifs en lesquels les valeurs de Psont des entiers.
Exercice n◦31
Soit pun nombre premier et P=anXn+an−1Xn−1+. . . +a1X+a0un polynˆome de degr´e n≥1 `a coefficients
entiers tel que ann’est pas divisible par p, montrer que parmi les nombres {0,1,2, . . . , p −1}, il n’existe pas
plus de nnombres xpour lesquels P(x) soit divisible par p.
Montrer par un contre exemple, que ce r´esultat n’est plus vrai si pn’est pas premier.
Exercice n◦32
1) Quel est le reste dans la division euclidienne de X19 + 4X16 + 3X5+X+ 1 par X2+X+ 1 dans R[X] ?
2) Montrer que si trois polynˆomes P, Q, R de R[X] v´erifient la relation P2−XQ2=XR2, ils sont nuls. Est-ce
encore vrai dans C[X] ?
3) Montrer que pour tout polynˆome Pde C[X], le polynˆome P[P(X)] −Xest divisible par P(X)−X.
Exercice n◦33
Soit Pun polynˆome de R[X] tel que ∀x∈R,P(x)≥0. Montrer qu’il existe des polynˆomes Aet Bde R[X]
tels que P=A2+B2.
Exercice n◦34 (Deuxi`eme ´epreuve 2003)
1) Soient nun nombre premier et P∈Z/nZ[X] de degr´e k≥1. Montrer que Pa au plus kracines.
2) D´eterminer les racines du polynˆome X2−Xde Z/6Z[X].
3) Trouver dans Z/6Z[X] deux factorisations distinctes de X2−Xsous la forme (X−˙a)(X−˙ b).
Espaces vectoriels, applications lin´eaires, matrices, r´eduction
Exercice n◦35 (Deuxi`eme ´epreuve 1998)
Soient ABC un triangle et Mun point du plan affine. Montrer que si λ, µ et νne sont pas tous nuls et v´erifient
λ−−→ MA +µ−−→ MB +ν−−→ MC =−→ 0 alors on a λ+µ+ν6= 0.
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