Chapitre 5 La puissance en régime sinu

61
Chapitre5
Lapuissance enrégimesinu-
soïdalforcé
5.1.Lesgrandeursinstantanée,moyenne et
e¢cace
Les signauxétudiésdansce chapitresontdescourantsou destensions sinusoïdauxi(t)et
u(t).Cesontdoncdes signaux variablesdansletempsmaisdemanièrepériodique; lapériode
estnotée T.L’étudeselimiteaurégime établi ; toute étudederégimetransitoire esticiexclue.
5.1.1.Lagrandeurinstantanée
La grandeurinstantanée parexempledu couranti(t)estlavaleurde cettegrandeurà
un instantprécis.Parexemple, le courantinstantanéàt=t1est toutsimplementlavaleur
i(t=t1).
On peutfairel’analogieavec unephotoquiseraitfaiteàun instantt1précis: l’image
obtenue estunereprésentationinstantanée.
5.1.2.Lavaleurmoyenne
5.1.2.1.Moyenned’un signalquelconque
Considéronsun phénomènediscret:un ensembledenotes,parexemple,dontonveux
calculerlamoyenne.
SoitN1;N2:::Nnl’ensembledesnnotes.Lamoyennese calculedelamanièresuivante:
Nmoy=
n
X
k=1
Nk
n:
Si l’onsouhaite calculerlamoyennedestempératuresd’unejournée, lamêmeprocédure
peutêtresuivie.Latempérature estmesurée touteslesheures,etlasommedes24 mesures
estdivisée par24.C’estlamoyennediscrète.Toutefois,si l’onveuxun calculplusprécis,
lesmesuresdetempératurepourraientêtre e¤ectuéestouteslesminutes,ou, idéalement,
touslesdt(durée entredeuxmesures successives)enfaisant tendredtvers0(lenombrede
mesurestend alorsversl’in…ni).C’estlamoyenne continued’un signal(latempérature évolue
continuellementetestdé…nieàtoutinstant).Cettemoyennes’écritalors:
Tmoy=
n
X
k=1
Tk
n;(1)
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans15 décembre2003

62 Chapitre5Lapuissance enrégimesinusoïdalforcé
avec nlenombredemesures.Lenombredemesuresestn=(tfin¡td¶ebut)=dt,tfinétantla
…n delajournée,ettd¶ebutledébut.Si l’onfait tendrelenombredemesuresversl’in…ni, le
calcul(1)devientalors:
Tmoy=Ztfin
td¶ebut
T(t)
(tfin¡td¶ebut)dt:
L’intégrale estunesommediscrète.
5.1.2.2.Moyenned’un signalpériodique
Lesignalétudiéiciestpériodique.Lamoyennede ce signalestdé…nicomme étantla
moyennedu signalsurunepériodeT.Parexemple, lamoyennedelatensionu(t),notée huit
est:
huit=ZT
0
u(t)dt
T:(2)
Ce calcul(2)delavaleurmoyenne estvalablenonseulementpourun signalsinusoïdal,
maisplusgénéralementpourtoutsignalpériodique.
5.1.3.Lavaleure¢cace
Soitunegrandeuru(t)fonctiondutemps.Lavaleure¢cace deu(t)estpardé…nition:
uef f =phu2(t)i:
Remarque5.1Attention! ! phu2(t)it6=qhu(t)i2
t!!
qhu(t)i2estenréalitélavaleurabsoluedelamoyenne,quin’arienàvoiravec lavaleur
e¢cace.
L’ordredesopérationsaune grandeimportance.Parcalculerune valeure¢cace, ilfaut
d’abordmettrelesignalaucarré,calculerensuitelavaleurmoyenne,puisen…n reprendrela
racine carrée durésultat.
Dansle casprésent,pourun signalpurementsinusoïdal :
u(t)=u0cos(!t+'):
Lavaleurmoyennedecesignalest:
hu(t)it=hu0cos(!t+')it
=u0hcos(!t+')it
=u0ZT
0
cos(!t+')dt
=0:
Lavaleurmoyenned’un signalsinusoïdalestnulle.
Lavaleure¢cace du signalsinusoïdalest:
uef f =phu2(t)i;
avec
u2(t)=u2
0cos2(!t+');
15 décembre2003 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section5.2Lapuissance 63
donc
-u2(t)®t=u2
0-cos2(!t+')®t
=u2
0
1
2;
soit…nalement
ueff =phu2(t)i=u0
p2:
Lavaleure¢cace d’un signalsinusoïdalestdoncsavaleurmaximaleu0(appelée aussiampli-
tudedu signal)divisée parp2:
5.1.4.Valeursmoyenneset e¢cacesdedivers signaux
périodiquesnonsinusoïdaux
Cesexemples sont traitésenclasse(encoursetTD):
-tensionredressémonoalternance ;
-signalcréneau;
-signaltriangulaire;
-enTP:toucheAC/DC.
5.2.Lapuissance
Lescalculsdepuissance e¤ectuésdansce paragraphesontlimitésauxsignauxsinusoïdaux.
5.2.1.La puissanceinstantanée
Soitun dipôleD.
D
u(t)
i(t)
Fig.5.1.
Latensionauxbornesde ce dipôle est:
u(t)=u0cos(!t+'1)
etle courantcirculantdansce dipôle est:
i(t)=i0cos(!t+'2):
Si l’on prend desconventionsrécepteurs(uetiorientéscommesurla…gure5.1), la
puissance instantanée reçueparledipôleDest:
p(t)=u(t)i(t):
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans15 décembre2003

64 Chapitre5Lapuissance enrégimesinusoïdalforcé
Ona alors,pourun signalsinusoïdal :
p(t)=u0i0cos(!t+'1)cos(!t+'2):(3)
Remarque5.2La dé…nitionp(t)=u(t)i(t)est toujoursvalable,mêmepourdes signaux
nonpériodiques.
Remarque5.3Lesconventionschoisiespourorienteruetisontlesconventionsrécepteur.
Onpeutalorsdire que:
-p(t)>0siledipôlereçoite¤ectivementdel’énergieduresteducircuit;
-p(t)<0siledipôledonnedel’énergieauresteducircuit.
5.2.2.La puissancemoyenne et lefacteurdepuissance
5.2.3.Expression dela puissancemoyenne
Dansle casd’un signalsinusoïdal, lapuissance instantanée reçue estexprimée parla
relation(3):
p(t)=u(t)i(t)=u0i0cos(!t+'1)cos(!t+'2)
=u0i0
2[cos(2!t+'1+'2)+cos('1¡'2)]:
Lepremierterme(u0i0=2)cos(2!t+'1+'2)estlapartievariabledansletempsdelapuis-
sance,etlesecond terme(u0i0=2)cos('1¡'2)lapartie constante.
Lapuissance moyenne est:
P=u0i0
2hcos(2!t+'1+'2)it+u0i0 2hcos('1¡'2)it
=0+u0i0
2cos'
en notant'='1¡'2ledéphasage entrelatensionetle courantdansledipôle.
Lapuissance moyenne estdonc:
P=u0i0
2cos'=uef f ief f cos':
cos's’appellelefacteurdepuissance.
5.2.3.1.Expressionsdu facteurdepuissance
En notationscomplexes:
u=u0exp(j'1)exp(j!t);
i=i0exp(j'2)exp(j!t):
Sachantque
u=Zi;
15 décembre2003 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section5.3Applications65
il vient
Z=jZjexp(j('1¡'2)) =jZjexp(j')
=R+jX
donclefacteurdepuissance s’écrit:
cos'=Re(Z)
jZj=R jZj=R
pR2+X2:
Enconclusion,si l’onveutaugmenterlefacteurdepuissance,ilfautquelapartieimaginaire
del’impédance jZjsoitlaplusfaiblepossible:Zdoitserapprocherd’unesimplerésistance.
5.2.3.2.Autresexpressionsdelapuissancemoyenne
Nousavonsdémontré
P=u0i0
2cos'=uef f ief f cos':
Oru=Zi,donc en prenantlapartieréellede cette expression:u0=jZji0ouuef f =
jZjief f .Lapuissance peutalors s’écrire
P=(jZjcos')i2
eff
P=Ri2
ef f =1
2Ri2
0;
avec R=Re(Z).
On peutmontrerdemême(démonstration donnée enclasse):
P=Gu2
ef f =1
2Gu2
0;
avec G=Re(Y)=Re(1=Z).
Remarque5.4Attention!Y=1=ZmaisG6=1=R! ! (Cfexplicationenclasse)
5.3.Applications
5.3.1.Relèvementd’un facteurdepuissance
5.3.1.1.Nécessitédereleverlefacteurdepuissance
Considéronsun appareil électriquedomestiqueà alimenter.Cetappareil consommeune
puissance déterminée.SachantqueP=uef f ief f cos',quePestimposée parl’appareil et
queueff est…xée à220VparEDF, le courantief f alimentantl’appareil estd’autantplus
importantquelecos'estfaible. Orle courantdoitêtretransportésurdegrandesdistances
del’usinedeproductionau domicile.LespertesdanscettelignesontégalesàRi2
ef f ,Rétantla
résistance delaligne électrique.Cespertespare¤etJoulenesontpaspayéesdirectementparle
consommateurconcerné. Orpourun mêmeappareil etunemême consommation domestique,
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans15 décembre2003