1 Problème : Autour de l`eau

DM N
1
1.1
◦
2
- Corrigé
Problème : Autour de l'eau
Propriétés physiques de l'eau
1.1.1 Quelques propriétés de la glace
1.
Figure 1 Diagramme p, T
pour l'eau
2. Le point triple et le point (p0 , T0 ) sont tous les deux sur la courbe de fusion. Donc :
pT = a TT + b
1
et
p0 = a T0 + b
On en déduit les valeurs de a et b :
a=
p0 −pT
T0 −TT
= −1, 007.107 Pa.K−1 et b =
p0 TT −T0 pT
TT −T0
= 2, 751.109 Pa
3. Supposons qu'un patineur de m = 75 kg glisse sur un seul patin (il lève une jambe !).
Figure 2 Patineur sur la glace
Supposons que la lame du patin ait une longueur l = 30 cm et une largeur de
e = 4 mm. La pression exercée sur la glace en plus de la pression atmosphérique par
le passage du patineur sera :
mg
ppatin =
le
La pression totale sur la glace sera donc :
p = p0 + ppatin = p0 +
mg
∼ 7, 14.105 Pa
le
À -5◦ C, la température absolue est T-5 = 268, 15 K et, d'après la question précédente,
la pression de fusion de la glace :
pfus = a T-5 + b ∼ 5, 07.107 Pa
La pression p exercée par le patineur sur la glace est donc très inférieure (environ 100
fois plus petite) à la pression de fusion de celle-ci pour la température considérée,
même avec une jambe levée !
2
Ce n'est donc pas ce mécanisme qui peut être à l'origine de la fusion de la glace.
Le lm d'eau qui se forme au passage du patineur est essentiellement du au frottement
du patin en acier sur la glace solide (le coecient de frottement acier/glace est de
l'ordre de 0,02). L'énergie thermique associée à ce frottement sut pour faire fondre
localement la glace et générer à la place un lm d'eau.
1.1.2 Quelques propriétés de la vapeur d'eau
4. L'équation d'état des gaz parfaits s'écrit pour n moles occupant un volume V :
pV = nRT
Le volume massique v s'exprime en fonction de la masse molaire M et du nombre de
mole n par :
V
v=
nM
et donc :
pv =
RT
M
5. Il résulte de la question précédente que :
v=
et donc que :
∂v
∂p
RT
pM
=−
T
RT
v
=−
2
p M
p
Finalement, le coecient de compressibilité isotherme d'un gaz parfait est donc :
1
χT ,GP = − v1 ∂v
∂p T = p
6. Justication des armations :
Armation [1] : Pour un gaz parfait, l'équation d'état s'écrit pv =
le long d'une isotherme (T = Cte ), le produit pv ne varie pas :
RT
M .
Donc,
Dans le diagramme d'Amagat, les isothermes d'un gaz parfait sont des
droites horizontales.
Armation [2] : Les isothermes présentes sur le graphe de l'énoncé sont mani-
festement rangées par ordre croissant de température. Parmi les trois isothermes
correspondant à T > Tcrit , la dernière qui est celle correspondant à la plus haute
température, est de pente constamment positive :
À très haute température, pv est une fonction croissante de p.
3
Soit f la fonction dénie par f : (p, T ) −→ f (p, T ) = pv . À haute température,
f est une fonction croissante de p. Donc :
∂f
>0
∂p T
On peut alors écrire :
χT = −
1
v
∂v
∂p
T
 
f
f
1 ∂f
1 f
1 ∂ p 
1
1 ∂f
− 2+
=
=−
=−
−
v
∂p
v
p
p ∂p T
p pv v ∂p T
T
Or, χT ,GP = p1 , f (p, T ) = pv et
∂f
∂p
T
> 0. Donc :
1 ∂f
χT = χT ,GP 1 −
< χT ,GP
v ∂p T
Le uide est moins compressible qu'un gaz parfait.
Armation [3]
: Au voisinage d'un minimum, on peut considérer que pv est
constant le long d'une isotherme : c'est la loi des gaz parfaits. De plus, ∂f
∂p T = 0
et donc χT = χT ,GP .
Au voisinage d'un minimum, le uide se comporte comme un gaz parfait.
1.2
Échangeur thermique
1.2.1 Bilan d'enthalpie
7. Si on considère un intervalle de temps élémentaire [t, t+dt], la masse de uide passant
par une entrée k (resp. par une sortie k 0 ) sera dmk = dk dt (resp. dmk0 = d0k dt). Cette
masse de uide a une enthalpie dHk = hk dmk = (dk hk ) dt (resp. dHk0 = (dk0 hk0 ) dt).
Il apparaît donc que :
dk hk (resp. dk0 hk0 ) correspond au débit d'enthalpie associé au mouvement du uide passant par l'entrée k (resp. la sortie k 0 ).
8. Deux choix de système sont ici possibles :
le système fermé qui correspond à la zone ombrée des gures 2 et 3 de l'énoncé
(la frontière de ce système est mobile et se déforme pour suivre le uide en écoulement). Ce système doit alors être traité comme dans le cours sur les machines
fonctionnant en régime permanent, en adaptant le raisonnement puisqu'il y a ici
deux entrées et deux sorties ;
4
le système ouvert constitué par la zone active de l'échangeur (la frontière de ce
système est xe et correspond au trait pointillé des gures de l'énoncé). Ce choix
est possible car l'énoncé nous donne l'expression du premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert en écoulement permanent.
Pour compléter le cours, je donne ici la solution en raisonnant sur le système ouvert.
Le système considéré n'intègre aucune pièce mobile (pu = 0) et est totalement calorifugé (pth = 0) :
pu + pth = 0
Il y a deux entrées (1 et 3) et deux sorties (2 et 4) avec le même liquide (eau glycolée)
en écoulement permanent allant de (1) vers (2) et le même liquide (eau) allant de (3)
vers (4). Donc :
d1 = d2 = dg
et
d3 = d4 = de
Le premier principe pour ce système ouvert en écoulement permanent s'écrit donc :
dg (h2 − h1 ) + de (h4 − h3 ) = 0
c'est à dire, puisque h2 − h1 = cg (T2 − T1 ) et h4 − h3 = ce (T4 − T3 ) :
dg cg (T2 − T1 ) + de ce (T4 − T3 ) = 0
9. Application numérique :
c (T −T )
de = dg cge (T32 −T41 ) = 13, 1 kg.s−1
1.2.2 Bilan d'entropie
10. Pour un bilan d'entropie, le membre de gauche s'obtiendra simplement en remplaçant
les enthalpies massiques h au niveau des entrées et des sorties par les entropies massique s
aux mêmes endroits :




X
X
X
X

dk0 hk0 −
dk hk  ←→ 
dk0 sk0 −
dk sk 
k0 ∈Sorties
k∈Entrées
k0 ∈Sorties
k∈Entrées
Le membre de droite du premier principe correspond au terme d'échange. Pour l'entropie, le terme d'échange correspond au quotient du transfert thermique par la
température à laquelle se fait ce transfert. Pour un système calorifugé, il n'y a pas
de transfert thermique et donc le terme d'échange est nul :
pu + pth
←→
0
Enn, le terme de création qui est nul pour le premier principe (l'énergie est une
grandeur conservative) ne l'est pas pour le deuxième principe. Comme l'écriture met
5
en relation des grandeurs homogènes au quotient d'une entropie par un temps, le
terme de création sera le taux de création d'entropie par unité de temps que l'on
notera σS :
0 ←→ σS ≥ 0
Le second principe de la thermodynamique s'écrit donc, pour un système ouvert
calorifugé en écoulement permanent :
X
X
dk 0 sk 0 −
dk sk = σS ≥ 0
k0 ∈Sorties
k∈Entrées
où :
dk0 sk0 est le débit d'entropie à travers la sortie k 0 ;
dk sk est le débit d'entropie à travers l'entrée k ;
σS est le taux de création d'entropie par unité de temps. Ce terme
est nul pour une transformation réversible, strictement positif sinon.
11. Dans le cas de l'échangeur, l'équation traduisant le deuxième principe s'écrit donc :
σS = dg (s2 − s1 ) + de (s4 − s3 )
c'est à dire, d'après l'indication de l'énoncé :
σS = dg cg ln TT21 + de ce ln TT34
Pour l'application numérique, il faut prendre garde à bien exprimer les températures
en Kelvin (températures absolues). On obtient alors :
σS = 2, 8 J.K−1 .s−1
Comme attendu, le taux de création d'entropie est positif : Il traduit
l'irréversibilité de l'échange thermique au niveau des parois séparant les deux uides.
2
Exercice : Refroidissement d'une saumure
12. Le point A est à l'extrémité du palier de vaporisation, du coté de la vapeur. Ce point
correspond donc à une vapeur juste saturante (V*).
Le point B se situe à l'extérieur de la zone diphasée, dans la partie vapeur (V).
La transformation BC est isobare. Donc pC = pB = 10.105 Pa. Le point C est à
l'extrémité du palier de vaporisation, du coté de la vapeur. Ce point correspond donc
à une vapeur juste saturante (V*).
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La transformation CD est isobare et isotherme (équilibre diphasé). Donc pD = pC =
10.105 Pa et TD = TC = 298 K. Le point D est à l'extrémité du palier de vaporisation, du coté du liquide. Ce point correspond donc à un liquide juste bouillant (L*).
La transformation DE est isenthalpique. Donc hE = hD = 615 kJ.kg−1 . La transformation EA est isobare et isotherme (équilibre diphasé). Donc TE = TA = 263 K. Le
point D est sur le palier de vaporisation. Ce point correspond donc à un état diphasé
liquide/vapeur (L+V).
T (K)
p (x105 Pa)
h (kJ.kg−1 )
État du uide
A
B
263
2,9
1749
V*
10
1940
V
C
298
10
1782
V*
D
298
10
615
L*
E
263
2,9
615
L+V
13. La transformation AB correspond à la compression isentropique d'un gaz parfait. On
peut donc utiliser les lois de Laplace et écrire :
1−γ
TAγ p1−γ
= TBγ pB
A
soit, en prenant γ = 1, 3 :
TB = TA
T (K)
p (x105 Pa)
h (kJ.kg−1 )
État du uide
pA
pB
A
263
2,9
1749
V*
1−γ
γ
B
350
10
1940
V
= 350 K
C
298
10
1782
V*
D
298
10
615
L*
E
263
2,9
615
L+V
14. La transformation AB est isentropique et réversible : elle est donc adiabatique (qAB =
0), de sorte que :
wu,AB = hB − hA = 191 kJ.kg−1
15. La transformation EA se fait dans l'évaporateur dans lequel il n'y a aucune pièce
mobile susceptible de fournir un travail. Donc :
qEA = hA − hE = 1134 kJ.kg−1
16. La puissance thermique reçue par l'évaporateur est Pth,EA = 90.103 kJ.h−1 = 25 kW.
On en déduit le débit massique :
P
,EA
−2 kg.s−1
Dm = th
qEA = 2, 02.10
17. La puissance absorbée par le compresseur est la puissance mécanique utile associée
à la phase AB. Donc :
7
Pco = Dm wu,AB = 4, 21 kW
18. Le coecient de performance compare d'un point de vue énergétique ce que à quoi
sert la machine à ce qu'elle consomme de coûteux. La machine sert à refroidir une
saumure ce qui se fait au niveau de l'évaporateur dans la phase EA. Elle consomme un
travail (probablement d'origine électrique) au niveau du compresseur dans la phase
AB. Donc :
P
,EA
= 5, 94
η = th
Pco
19. Le point F est à l'extrémité du palier de vaporisation, du coté du liquide. Ce point
correspond donc à un liquide juste bouillant (L*) . On a alors xvap
=0.
F
20. Le point A est à l'extrémité du palier de vaporisation, du coté de la vapeur. Ce point
correspond donc à une vapeur juste saturante (V*). On a alors xvap
=1.
A
21. On considère la transformation ctive FA. Cette transformation correspond à la vaporisation complète de l'ammoniac à la température T = 263 K. L'enthalpie massique
de vaporisation de l'ammoniac à cette température sera donc :
vap
l263
= hA − hF = 1 294 kJ.kg−1
22. Au cours de la vaporisation d'un corps pur, la variation d'enthalpie est proportionnelle à la masse vaporisée. Donc :
vap
qEA = (xvap
− xvap
) l263
A
E
=1:
d'où, comme xvap
A
xvap
=1−
E
8
qEA
vap
l263
= 0, 124