Oscillateurs I - Systèmes oscillants et

Oscillateurs
I - Systèmes oscillants et mouvement sinusoïdal
1) Système mécanique oscillant
On appelle système mécanique oscillant un système matériel pouvant évoluer de part et d'autre
d'une position d'équilibre stable. Ce système peut évoluer périodiquement.
Une oscillation est le mouvement effectué par le système entre deux passages consécutifs à la
même position et dans le même sens.
La période T est la durée d'une oscillation (unité : s). La fréquence f est égale au nombre
d'oscillations (ou de périodes) par seconde (unité : hertz, Hz, équivalent à s-1).
Exemples de systèmes oscillants : le pendule, le système solide-ressort
2) Cinématique du mouvement sinusoïdal
De tous les mouvements oscillatoires, le mouvement sinusoïdal est le plus important.
On dit qu'une particule se déplaçant le long de l'axe Ox a un mouvement sinusoïdal si son
déplacement x est tel que :
x(t) = A cos (ωt + φ)
La quantité ωt + φ est appelée la phase ; par conséquent, φ est la phase à l'origine.
Rq : On parle de mouvement sinusoïdal et on le décrit par un cosinus. On pourrait le décrire avec un sinus en ajoutant
π/2 à la phase initiale.
Un cosinus étant compris entre -1 et 1, A représente donc l'amplitude du mouvement.
Un cosinus se répète chaque fois que l'angle augmente de 2π ; le déplacement de la particule se
répète donc après l'intervalle de temps 2π/ω. C'est donc la période du mouvement, T = 2π/ω.
La fréquence est donc f = 1/T= ω/2π
La quantité ω est appelée pulsation de la particule oscillante, c'est l'équivalent de la vitesse
angulaire du vecteur tournant OP'. Pour ceux qui veulent plus de détails : voir l'annexe 1.
On obtient les expressions de la vitesse et de l'accélération en dérivant l'équation de x(t) :
x(t) = A cos (ωt + φ)
v (t) = dx/dt = - ω A sin (ωt + φ)
a(t) = dv/dt = - ω2 A cos (ωt + φ) = - ω2 x(t)
3) Force et énergie dans le mouvement sinusoïdal
Pour calculer la force F capable de faire osciller une particule de masse m avec un mouvement
sinusoïdal, on applique la relation de la dynamique : F = ma = - m ω2 x(t) d'après l'équation établie en
2).
La force est donc proportionnelle et opposée au déplacement. En posant k = m ω2, on obtient
F = -k x(t), où k est appelée constante d'élasticité.
Rq : si k = m ω2, alors ω = √ (k / m), d'où T = 2π/ω = 2π/√(m/k) et f = 1/2π √ (k / m).
Energie cinétique de la particule : Ec = 1/2 mv2 = 1/2 m (ω A sin (ωt + φ))2= 1/2 m ω2(A2 - x2)
Energie potentielle de la particule : Ep = 1/2 k x2= 1/2 m ω2x2
Energie totale d'un oscillateur : E = Ec + Ep = 1/2 m ω2A2 = 1/2 k A2 = constante
Pour ceux qui veulent plus de détails dans les développements mathématiques : voir l'annexe 3.
4) Dynamique du mouvement sinusoïdal
Prenons le problème en sens inverse et montrons qu'une force de type F = -k x va bien produire
un mouvement sinusoïdal.
Relation de la dynamique : F = m a = m x''(t), avec F = -k x(t). On a donc m x''(t)= -k x(t), soit
x''(t) + k/m x(t) = 0, avec k = m ω2, on a finalement:
x''(t) + ω2x(t) = 0
On a vu en mathématiques (si si, je vous assure), que cette équation a pour solution
x(t) = a sin wt + b cos wt, ce qui peut aussi s'écrire x(t) = A cos (ωt + φ), avec a = -A sin φ et b =
A cos φ (c'est-à-dire A2 = a2 + b2 , et φ tel que cos φ = b/A et sin φ = -a/A (les sceptiques peuvent
effectuer la vérification, ça ne fait jamais de mal de s'entraîner en calcul, prenez votre formulaire de
trigonométrie pour y arriver...).
Conclusion de tout cela : une force du type - k x (proportionnelle au déplacement) produit bien
un mouvement sinusoïdal du type x(t) = A cos (ωt + φ).
Voilà pour les grands principes généraux, passons à l'étude de quelques cas concrets.
II - Le système solide-ressort
Un solide S de masse m est fixé à un ressort de raideur k [N.m-1] et de longueur à vide l0,dont
l'une des extrémités est fixe.
S est écarté de sa position d'origine, il effectue des oscillations libres en translation rectiligne, de
part et d'autre de sa position d'équilibre.
Un ressort étiré ou comprimé exerce une force sur S telle que F = - k x i,où x = l - l0, variation
de la longueur du ressort.
Si l'oscillateur est sans frottement, on a P + R + F = m a , soit en projetant sur Ox :
-k x(t) = m x''(t), ou encore x''(t) + k/m x(t) = 0.
On retrouve l'équation résolue au I4, de solution x(t) = xm cos (ωt + φ), avec ω = √ (k / m) et φ ,
la phase à l'origine, que l'on calculera concrètement à partir des conditions initiales données.
Ex.1 : Un solide de masse m = 150 g, mobile sur un banc à coussin d'air horizontal, est accroché à l'extrémité
-1
d'un ressort de masse négligeable, de raideur k = 10 N.m , l'autre extrémité étant fixe.
On choisit le repère (O ; i), l'origine O coïncide avec la position du centre d'inertie de S à l'équilibre.
Le solide est écarté de sa position d'équilibre de 4,5 cm vers la droite puis lâché sans vitesse initiale à t = 0 s.
1- Par une étude dynamique, établir l'équation différentielle du mouvement.
2- Donner la solution générale de l'équation. En déduire l'expression de la période propre. calculer sa valeur
numérique.
3- Dans les mêmes conditions, cette valeur serait-elle modifiée sur la lune ?
4- En utilisant les conditions initiales, établir l'équation x = f(t).
5- Donner l'allure de la représentation graphique de f(t). Que deviendrait-elle dans le cas de frottements faibles ?
Cf. correction en annexe
III - Le pendule simple
C'est un système oscillant constitué d'un objet de masse m suspendu à un fil inextensible ou à
une tige, de longueur l (très grande par rapport aux dimensions de l'objet) et de masse négligeable
devant m.
Pour étudier son mouvement, on définit l'abscisse angulaire θ (t). La valeur maximale de
l'abscisse angulaire est appelée amplitude angulaire, notée θm ; θ (t) varie donc entre -θm et θm.
Si θm< 10°, on considère que la période est indépendante de l'amplitude angulaire . On dit qu'il y a
isochronisme des petites oscillations. On appelle période propre, notée T0, la valeur de la période
mesurée pour les petites oscillations :
Période propre : T0 = 2π√ (l /g)
Rq : la période propre est indépendante de la masse m ; elle ne dépend que de la longueur du pendule et de la pesanteur.
Pour comprendre d'où vient ce rapport l /g, il faut faire un peu de cinématique du mouvement
circulaire, et je sais que ce n'est pas votre tasse de thé...
Pour rappel, en mouvement circulaire, l'accélération se décompose en
- accélération tangentielle aT = dv/dt = l dω/dt = l α, avec α accélération angulaire, ω vitesse
angulaire et l distance à l'axe de rotation.
- accélération normale ou centripète aN = v2/l = l ω2.
La relation de la dynamique nous dit que Σ F = m a . Les forces présentes sont le poids de la
particule et la tension exercée par le fil.
On a donc en composante tangentielle : PT = - m g sinθ (car la force est dirigée en sens inverse
du déplacement), donc - m g sinθ = m aT = m l α = m l θ'' (l'accélération angulaire est la dérivée
seconde de l'abscisse angulaire).
L'équation différentielle obtenue dans ce cas est donc :
θ'' + (g/ l) sin θ = 0
Pour θ petit, on peut faire l'approximation sin θ = θ, et on obtient :
θ'' + (g/ l) θ = 0
C'est une équation similaire à celle trouvée au I4, où x est remplacé par θ, et qui se rapporte au
mouvement angulaire au lieu du mouvement linéaire. Cette fois, ω2 = (g/ l), d'où l'expression de la
période propre...
Et pour ceux qui ne sont pas encore complètement dégoûtés, il y a un plus grand développement
en annexe 2 ! Vous saurez notamment comment se gèrent les cas où θ est plus grand (petits
veinards....).
Ex.2 : On étudie les oscillations d'un pendule simple de longueur l et de masse m. On obtient la représentation
graphique de l'abscisse angulaire en fonction du temps :
1- A partir de la représentation graphique, déterminer l'amplitude angulaire, la période propre, la fréquence
propre, la vitesse angulaire à la date t = 0.
2- L'abscisse angulaire peut se mettre sous la forme θ (t) = θm cos (2π t /T0 + φ). Déterminer φ en utilisant les
conditions initiales (θ(0) et θ'(0)).
3- Avec le même dispositif, quel serait la période propre des oscillations pour une amplitude angulaire de 7,5° ?
4- Donner l'expression de la période propre d'un pendule. La calculer pour l = 62,8 cm et g = 9,81 N/kg.
5- Quelle longueur devrait avoir un pendule oscillant à la surface de la Lune avec la même période propre To, le
champ de pesanteur lunaire valant g' = 1,62 N/kg ?
Cf. correction en annexe
IV – Oscillations amorties
Les forces de frottement provoquent un amortissement des oscillations, c’est-à-dire une
diminution de leur amplitude.
Si l’amortissement est faible, le mouvement est pseudo-périodique. La
pseudo-période T est
proche de la période propre de l’oscillateur non amorti :
Si l’amortissement est élevé, le système revient à sa position d’équilibre sans osciller (c’est ce
qui est recherché par l’intermédiaire des amortisseurs d’une voiture). Le mouvement est dit
apériodique. Il est critique si l’oscillateur revient à sa position d’équilibre en un temps minimum :
Pour donner une explication dynamique de l’amortissement, on considère qu’en plus de la force
élastique F = - k x, intervient une autre force, opposée à la vitesse, de la forme F’ = - λ v = - λ x’(t) (λ
constante).
La relation fondamentale de la dynamique donne : ma = F + F’, soit m x’’(t) = - k x(t) - λ x’(t),
ou encore :
x’’(t) + λ/m x’(t) + k/m x(t) = 0.
Mathématiquement, on sait résoudre (si si j’insiste), mais on se contentera d’admettre que dans
le cas d’un amortissement faible, on a :
x(t) = A e –γt sin(ωt + α),
avec γ = λ/2m, A et α des constantes arbitraires déterminées par les conditions initiales et
ω = √(k/m – λ2/4m2)
V – Oscillations forcées et résonance
Lorsqu’un dispositif animé d’un mouvement périodique de fréquence f appelé l’excitateur est
relié au système oscillant, celui-ci apporte régulièrement de l’énergie et finit par imposer sa fréquence
au système oscillant appelé le résonateur. Les oscillations sont alors qualifiées de « forcées ».
L’amplitude des oscillations forcées du résonateur dépend de la fréquence f de l’excitateur.
Pour f voisin de f0, fréquence propre du résonateur, l’amplitude des oscillations est maximale :
c’est le phénomène de résonance :
Annexes
Annexe 1 : Pulsation et vecteur tournant
Annexe 2 : Dynamique du pendule simple
Annexe 3 : Energie du mouvement sinusoïdal
Correction ex.1
Correction ex.2