Évaluation des méthodes d`analyse appliquées aux sciences de la

ÉVALUATION
ÉVALUATION DES
DES MÉTHODES
MÉTHODES
D’ANALYSE
D’ANALYSE
APPLIQUÉES
APPLIQUÉES AUX
AUX SCIENCES
SCIENCES DE
DE LA
LA VIE
VIE
ET
ET DE
DE LA
LA SANTÉ
SANTÉ-UE4
-UE4
PACES
¥%VOPE1BSJT3
*4#/
100%
re
re année
année
1 Santé
ÉVALUATION
ÉVALUATION DES
DES MÉTHODES
MÉTHODES
D’ANALYSE
D’ANALYSE
APPLIQUÉES
APPLIQUÉES AUX
AUX SCIENCES
SCIENCES DE
DE LA
LA VIE
VIE
ET
-UE4
ET DE
DE LA
LA SANTÉ
SANTÉ-UE4
PACES
Salah Belazreg
Professeur au lycée Camille Guérin à Poitiers
2e édition
IV
V
Avant-propos
Cet ouvrage « tout-en-un » est la 2e édition du manuel de mathématiques, probabilités et biostatistiques de la collection 100% 1re année santé, paru en août 2010. Il
est complètement revu, corrigé et réhaussé par plusieurs paragraphes. Parmi les nouveautés de cette 2e édition, on peut citer : les tests diagnostiques, les courbes ROC,
la fonction de survie, les diagrammes en boîtes et les problèmes d’estimations.
Il s’adresse principalement aux étudiants en 1re année Santé (PACES) pour la préparation des concours Médecine-Pharmacie-Dentaire-Sage femme, mais il intéressera
également les étudiants en classes préparatoires Bio-Véto et Agro (BCPST1) ainsi
que les étudiants en L1 Sciences.
Son but est de présenter de façon claire et progressive l’ensemble des notions
à connaître de l’unité UE4 « Évaluation des méthodes d’analyse appliquées aux
sciences de la vie et de la santé ».
Son usage suppose que l’étudiant ait une connaissance complète du programme actuel des classes de premières et terminales scientifiques.
Il présente de nombreux sujets d’adaptation progressive aux programmes et aux exigences de ces concours et examens difficiles.
En effet, chaque chapitre mentionne les objectifs à atteindre et il propose un cours
exposé de façon détaillée, des exemples concrets, des applications, des exercices et
des QCM de difficultés variées :
• le Cours proprement dit est composé de définitions, propriétés et théorèmes dont
la connaissance est indispensable. Les démonstrations non traitées sont laissées à
l’initiative du lecteur. De nombreux exemples et applications, au fil du cours, visent
à l’assimilation des notions essentielles et à l’acquisition des techniques de base ;
• les Exercices sont classés par niveau de difficulté et sont tous suivis de leur solution détaillée. Ils permettent à l’étudiant une démarche graduée : chercher seul,
s’inspirer des exemples et applications du cours, et, au final, tirer le maximum de
profit de chaque exercice ;
• les QCM, en fin de chaque chapitre, sont de véritables exercices de réflexion. La
plupart sont issus des sujets de concours. Ainsi, avant de proposer des solutions
rapides et sans démarche rigoureuse, il importe de bien connaître la totalité du
VI
Avant-propos
cours, et pas seulement les formules. Une résolution approfondie vous permettra
de vous entraîner à ce type d’épreuve afin de gagner en compétence et en rapidité.
Mon expérience d’enseignement, articulée entre le secondaire et le supérieur, m’a
montré que la difficulté qu’éprouvent certains étudiants à assimiler les mathématiques
tenait au caractère abstrait de leur support. Ainsi, j’ai tenté de faire un juste choix
entre une vulgarisation et un excès d’abstraction qui risquerait de rebuter. Par ailleurs,
il m’a paru intéressant de donner au lecteur un aperçu des applications pratiques des
notions présentées. C’est pourquoi, chaque fois que cela a été possible, j’ai illustré
mes propos par des applications médicales, physiques ou chimiques.
J’espère que cet ouvrage, fruit d’une longue expérience, rédigé avec beaucoup d’attention, constituera pour les étudiants un outil précieux pour la préparation de ces
concours et examens et je leur souhaite bon courage.
Remerciements
Je remercie très sincérement Monsieur Jean-Jacques Landelle, Professeur de mathématiques, pour sa lecture attentive de la totalité de l’ouvrage et les corrections
apportées.
Mes remerciements vont également aux éditions Dunod pour le soin et la présentation apportés à la réalisation de cet ouvrage et plus particulièrement à monsieur Éric
d’Engenières, éditeur, qui a cru en cet ouvrage et a permis sa réalisation.
Que les lecteurs, collègues enseignants et étudiants, qui voudront bien me formuler
leurs remarques constructives et critiques ou me présenter leurs suggestions succeptibles d’améliorer cet ouvrage en soient par avance remerciés.
Salah Belazreg
c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Poitiers, mai 2012
VII
Table des matières
VIII
Avant-propos ............................................................................................
VI
Chapitre 1. Polynômes. Fractions rationnelles. Équations ..............................
1
1. Opérations sur les nombres...............................................................
2. Polynômes ....................................................................................
3. Équations .....................................................................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
1
4
7
12
13
Chapitre 2. Trigonométrie..........................................................................
23
1. Fonctions trigonométriques ..............................................................
2. Formulaire ....................................................................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
23
25
30
32
Chapitre 3. Généralités sur les fonctions .....................................................
38
1. Fonctions......................................................................................
2. Dérivée. Différentielle .....................................................................
3. Fonctions de plusieurs variables indépendantes .....................................
4. Dérivées partielles. Différentielle totale ...............................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
38
47
59
59
62
65
Chapitre 4. Primitives. Intégrales ...............................................................
75
1. Primitive d’une fonction réelle ..........................................................
2. Intégrale définie .............................................................................
3. Quelques applications du calcul intégral ..............................................
4. Méthodes de calcul des intégrales ......................................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
75
77
79
81
84
86
c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Table des matières
Chapitre 5. Développement de fonctions en séries entières ...........................
96
1. Convergence et divergence d’une série ................................................
2. Séries entières ...............................................................................
3. Développement en série entière des fonctions usuelles............................
Exercices ...........................................................................................
Corrigés.............................................................................................
96
100
105
106
107
Chapitre 6. Équations différentielles ..........................................................
111
1. Généralités ...................................................................................
2. Équations différentielles du premier ordre............................................
3. Équations différentielles du second ordre .............................................
4. Quelques courbes importantes en biologie ...........................................
5. Applications..................................................................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
111
112
115
119
122
132
134
Chapitre 7. Notions de grandeurs intensives et extensives.............................
145
1. Variables (ou fonctions) extensives et intensives....................................
2. Différentielle d’une fonction .............................................................
3. Détermination d’une fonction à partir de sa différentielle ........................
145
145
150
Chapitre 8. Analyse Combinatoire. Binôme de Newton...................................
152
1. Ensembles finis ..............................................................................
2. Arrangements, permutations et combinaisons .......................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
152
153
157
159
Chapitre 9. Probabilités ............................................................................
163
1. Probabilités ...................................................................................
2. Variables aléatoires, loi de probabilité et fonction de répartition................
3. Lois de probabilités de variables aléatoires continues .............................
4. Loi binomiale B(n, p). Épreuves répétées ............................................
5. Loi des fréquences..........................................................................
6. Loi de Poisson P(np) ou P(m) ..........................................................
7. Loi de Laplace-Gauss ou loi normale N(m, σ)......................................
8. Loi normale centrée réduite N(0, 1) ...................................................
9. Quelques applications des probabilités à la santé ...................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
163
171
175
176
179
179
180
182
183
195
201
IX
Table des matières
X
Chapitre 10. Statistiques descriptives .........................................................
222
1. Étude d’un caractère ou d’une variable................................................
2. Les différentes représentations graphiques ...........................................
3. Les paramètres d’une série statistique .................................................
4. Étude de 2 caractères ......................................................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
222
224
227
238
240
241
Chapitre 11. Problèmes d’estimation et tests d’hypothèses ............................
246
1. Problèmes d’estimation ...................................................................
2. Tests statistiques ............................................................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
246
252
258
260
Chapitre 12. Problèmes d’ajustement ..........................................................
269
1. Ajustement linéaire. Méthode des moindres carrés.................................
2. Ajustement exponentiel ...................................................................
Exercices ...........................................................................................
Corrigés.............................................................................................
269
271
273
275
Chapitre 13. Mesures et leurs précisions .....................................................
281
1. Grandeurs physiques. Équations aux dimensions ...................................
2. Système international d’unités...........................................................
3. Équations aux dimensions ................................................................
4. Analyse dimensionnelle ...................................................................
5. Mesures des grandeurs ....................................................................
6. Dispersion d’une série de mesures .....................................................
Exercices et QCM ................................................................................
Corrigés.............................................................................................
281
282
282
283
284
287
292
293
Annexes ...................................................................................................
296
Index.......................................................................................................
300
Polynômes. Fractions
rationnelles. Équations
1
• Savoir résoudre des équations
du premier et du second degrés
• Savoir résoudre un système de deux
équations linéaires à deux inconnues
• Savoir décomposer une fraction
rationnelle en éléments simples
1. Opérations sur les nombres
2. Polynômes
3. Équations
Cours
1.
OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES
1.1. Valeur absolue des nombres réels
Soit x un réel quelconque. La valeur absolue de x, notée |x| est :
x si x 0
|x| =
− x si x < 0
Exemple
|x − 2| =
x − 2 si x 2
2 − x si x < 2
1.2. Puissances d’un réel
Définition
On pose :
a0 = 1
0n = 0
et pour tout réel a non nul 1
pour n naturel non nul n
a = a
1 = 1
1
1 • Polynômes. Fractions rationnelles. Équations
Pour tout réel a et pour tout entier naturel n non nul, la puissance n-ième de a,
notée an , est définie par :
a : base de la puissance
n+1
n
a
=a×a
n : exposant de la puissance
Remarques
• L’écriture an se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».
1
1
• Pour a non nul, l’inverse de a, , peut se noter a−1 et n se note a−n .
a
a
Propriétés
• a et b étant des réels quelconques et m et n des entiers naturels, on a :
am × an = am+n
am
an
= am−n avec a 0
(am )n = amn
an
= n avec b 0
b
b
• Formule du binôme de Newton :
a n
Quels que soient les réels a et b et quel que soit l’entier naturel n :
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + · · · + Cni an−i bi + · · · + Cnn bn =
n
Cni an−i bi
i=1
1.3. Puissances fractionnaires à exposant rationnel
• Quels que soient x et y réels positifs et quel que soit n entier naturel non nul, le
1
nombre x n est défini par l’équivalence suivante :
1
y = x n ⇐⇒ x = yn
De la relation précédente, il vient :
1 n 1
x n = xn n = x
• Si x est un réel quelconque et si n est un entier naturel non nul et pair alors :
n 1n
= |x|
x
D’où, en remarquant que :
∀x 0,
2
√
1
x = x 2 , alors
x2 = |x| .
Polynômes. Fractions rationnelles. Équations • 1
Exemple
√
x3
√ =
x
√
x3
= x2 = |x|
x
• Quels que soient x réel positif, y réel strictement positif, et n entier naturel non
nul :
1n
1
x
xn
=
1
y
yn
1.4. Racines n-ième d’un réel
Les résultats qui suivent sont illustrés graphiquement par l’existence des points d’intersection de la droite y = a et de la courbe d’équation y = xn .
a est un réel positif
La racine n-ième du réel a est l’unique solution réelle positive de l’équation xn = a
d’inconnue x.
√
Elle est notée : x = n a
• Si n est pair alors l’équation admet deux solutions opposées :
√
√
x1 = n a et x2 = − n a
• Si n est impair alors l’équation admet une seule solution positive x =
√n
a.
y
y
80
y=x 4
y=x 3
75
60
50
c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
40
y = a ; a>0
y = a ; a>0
25
20
-5
-2,5
0
2,5
5
x
-5
-2,5
2,5
5
x
-25
-50
-75
Figure 1.1
3
1 • Polynômes. Fractions rationnelles. Équations
a est un réel strictement négatif
√n
• Si n est pair, alors l’équation x =
a n’admet pas de solution.
• Si n est impair, alors l’équation admet une seule solution x =
négative.
√n
a, laquelle est
y
y
80
y=x 4
y=x 3
75
60
50
40
25
20
-5
-2,5
0
2,5
5
x
-5
-2,5
2,5
5
-25
y = a ; a<0
y = a ; a<0
-50
-75
Figure 1.2
2.
POLYNÔMES
2.1. Définitions
• Un polynôme de degré n, a pour expression :
P(x) = a0 + a1 x + a2 x + · · · + an x =
2
n
n
ak xk
k=1
• x est la variable et les réels a0 , a1 , · · · , ak , · · · , an sont des constantes appelées
coefficients du polynôme.
• n est un entier naturel et représente le degré du polynôme.
P(x) est dit identiquement nul si tous ces coefficients sont nuls. On note P(x) = 0.
Exemple
a0 + a1 x + a2 x2 = 0 entraîne a0 = 0, a1 = 0 et a2 = 0.
4
x
Polynômes. Fractions rationnelles. Équations • 1
Si le polynôme P(x) n’est pas identiquement nul (P(x) 0), le degré du polynôme
P(x) est le plus grand entier k tel que ak 0. On le note deg(P).
Exemples
• A(x) = 1 − 2x + 3x3 est un polynôme ordonné de degré 3.
On note deg(A) = 3.
2
• B(x) = + 2x + 4x2 + 8x3 − 5x4 est un polynôme de degré 4 et deg(B) = 4.
3
2.2. Division euclidienne ou division selon les puissances
décroissantes
Soient P(x) et A(x) 0 deux polynômes. Alors il existe un couple unique de
polynômes (Q(x), R(x)) tels que :
P(x) = A(x) · Q(x) + R(x) avec deg(R) < deg(A) ou R = 0
Q(x) et R(x) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne
de P(x) par A(x).
Exemple
Si P(x) = 2x3 − 5x + 4 et A(x) = x2 + x − 1,
alors :
Q(x) = 2x − 2 et R(x) = −x + 2
• Divisibilité par un monôme x − a
On dit que le polynôme P(x) est divisible par x − a si :
c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
P(x) = (x − a) · Q(x) ; Q(x) est le quotient.
Comme P(x) est divisible par x − a alors P(a) = 0 : le réel a est donc racine de
l’équation P(x) = 0.
• Pour démontrer qu’un polynôme de degré n est identiquement nul, on prouve qu’il
a au moins n + 1 racines.
2.3. Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments
simples
Une fraction rationnelle est un quotient de polynômes. On cherchera à écrire cette
fraction sous la forme d’une somme de fonctions dont on connait une primitive. Plusieurs techniques sont possibles.
5
1 • Polynômes. Fractions rationnelles. Équations
Exemple
Soit la fraction rationnelle :
F(x) =
x2
1
− 6x + 5
• Cherchons un écriture de la forme :
a
b
1
=
+
2
x − 6x + 5 x − 1 x − 5
2
Une factorisation de x − 6x + 5 donne :
x2 − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5)
En réduisant au même dénominateur les fractions
b
a
et
, il vient :
x−1
x−5
a(x − 5)
b(x − 1)
1
=
+
(x − 1)(x − 5) (x − 1)(x − 5) (x − 1)(x − 5)
(a + b)x + (−5a − b)
=
(x − 3)(x + 5)
Par identification, on obtient le système d’équations :
⎧
⎪
a+b =0
⎪
⎪
⎨
et
⎪
⎪
⎪
⎩ −5a − b = 1
La résolution du système précédent donne :
⎧
1
⎪
⎪
⎪
a=−
⎪
⎪
⎪
4
⎪
⎨
et
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎩ b=
4
Ainsi :
1 1
1 1
1
=−
+
F(x) =
(x − 1)(x − 5)
4x−1 4x−5
1 1
1 1
et +
sont appelées les éléments simples de la fracLes fractions −
4x−1
4x−5
1
.
tion rationnelle 2
x − 6x + 5
• Autre méthode.
On a :
1
1
=
2
x − 6x + 5 (x − 1)(x − 5)
Les réels 1 et 5 sont dits pôles simples de la fraction.
On cherche une écriture de la forme :
a
b
1
=
+
(x − 1)(x − 5) x − 1 x − 5
6
Polynômes. Fractions rationnelles. Équations • 1
Sans calcul effectif des multiplications, on multiplie les deux membres de l’égalité
par (x − 1) ; puis on substitue à x la valeur 1 :
(x − 1)
a(x − 1) b(x − 1)
=
+
(x − 1)(x − 5)
x−1
x−5
b(x − 1)
1
= a+
(x − 5)
x−5
1
En prenant x = 1, on obtient a = − .
4
En faisant de même avec le pôle 5, c’est-à-dire en multipliant par (x − 5) puis en
1
prenant x = 5, on obtient b = .
4
3.
ÉQUATIONS
3.1. Équations du premier degré à une inconnue
Les équations du premier degré à une inconnue sont les équations de la forme
ax + b = c.
c−b
.
• Si a 0, l’équation admet une solution unique, x =
a
• Si a = 0 et b c, l’équation n’a pas de solution.
• Si a = 0 et b = c, l’équation admet une infinité de solutions.
3.2. Système de deux équations linéaires à deux inconnues
C’est un système de deux équations à deux inconnues x et y, de la forme :
ax + by = c
a x + b y = c
c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
On appelle déterminant du système, le nombre D :
a b D = = ab − a b
a b • Si D 0, le système admet le couple (x, y) comme solution unique :
⎧
c b ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
c b cb − c b
D
⎪
x
⎪
=
⎪
=
x
=
⎪
⎪
a b ⎪
D
ab − a b
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
a b ⎪
⎪
⎨
et ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
a c ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Dy a c ac − a c
⎪
⎪
=
⎪
=
y
=
⎪
⎪
⎪
D
ab − a b
a b ⎪
⎪
⎪
⎩
a b 7
1 • Polynômes. Fractions rationnelles. Équations
• Si D = 0 et ac − a c 0, alors le système n’admet pas de solutions.
• Si D = 0 et ac − a c = 0, alors le système admet une infinité de solutions
Exemples
• Soit, à résoudre, le système d’équations à deux inconnues x et y :
5x − y = 7
−3x − 4y = 5
Le déterminant du système est :
5 −1
= 5 × (−4) − (−1) × (−3) = −20 − 3 = −23
D=
−3 −4
D 0, le système admet une solution unique :
⎧
7 −1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5
−4
7 × (−4) − 5 × (−1) −23
D
⎪
x
⎪
=
⎪
=
=
=1
x
=
⎪
⎪
⎪
D
−23
−23
5 −1
⎪
⎪
⎪
⎪
−3 −4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
et
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5 7
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
D
46
5 × 5 − 7 × (−3)
−3 5
y
⎪
⎪
=
⎪
=
=
= −2
y
=
⎪
⎪
⎪
D
−23
−23
5 −1
⎪
⎪
⎪
⎩
−3 −4
• Autre méthode de résolution :
On dit que deux systèmes d’équations sont équivalents s’ils admettent le même
ensemble-solution.
On transforme donc le système donné en un système équivalent plus simple
à résoudre, un système échelonné. Pour ce faire, on utilise des combinaisons
linéaires adéquates.
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 20x − 4y = 28 (L’1 ) = 4(L1 )
⎨ 5x − y = 7 (L1 )
est
équivalent
à
(S’)
(S) ⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ −3x − 4y = 5 (L2 )
⎩ −3x − 4y = 5 (L2 )
⎧
⎪
⎪
⎨ 20x − 4y = 28 (L’1 )
(S") ⎪
⎪
⎩ 23x = 23
(L’2 ) = (L’1 ) − (L2 )
L’ensemble solution est donc S = {(1 ; − 2)}.
8
Polynômes. Fractions rationnelles. Équations • 1
3.3. Équations du second degré à une inconnue
Définition. Vocabulaire
Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut
s’écrire sous la forme :
ax2 + bx + c = 0 , a, b et c sont trois réels donnés, a 0.
Résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0 revient à trouver tous les réels u tels que
au2 + bu + c = 0 ; le réel u est dit solution ou racine de l’équation.
Résolution de l’équation du second degré
Posons P(x) = ax2 + bx + c, a 0.
• Écriture de P(x) sous forme canonique
Puisque a 0, alors :
c
b
P(x) = a x + x +
a
a
2
Comme
2
b
b
b2
+ x= x+
− 2 , alors :
a
2a
4a
⎞
⎛
⎞
⎛
2
2
⎜⎜⎜
⎜⎜⎜
b2
c ⎟⎟⎟⎟
b2 − 4ac ⎟⎟⎟⎟
b
b
⎜
⎜
− 2 + ⎟⎠ = a ⎜⎝ x +
−
P(x) = a ⎜⎝ x +
⎟
2a
a
2a
4a
4a2 ⎠
x2
• Résolution de l’équation P(x) = 0
On appelle discriminant de l’équation du second degré, ou du trinôme
P(x) = ax2 + bx + c, la quantité :
Δ = b2 − 4ac
⎞
⎛
2
⎟⎟
⎜⎜⎜
Δ
b
− 2 ⎟⎟⎟⎠
P(x) = a ⎜⎜⎝ x +
2a
4a
2
b
Δ
Δ
− 2 est strictement positif :
– Si Δ < 0, alors − 2 > 0 et x +
2a
4a
4a
l’équation P(x) = 0 n’a pas de solution dans R.
2
b
.
– Si Δ = 0, alors P(x) = a x +
2a
Puisque a 0, l’équation P(x) = 0 admet une racine double :
c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Ainsi :
x1,2 = −
b
2a
9
1 • Polynômes. Fractions rationnelles. Équations
√
– Si Δ > 0, alors Δ = ( Δ)2 et par suite :
⎛
⎛
√ 2⎞
2
2 ⎛ √ ⎞2 ⎞⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜⎜ Δ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟
Δ)
b
b
(
⎜
⎟⎟⎠ = a ⎜⎜ x +
⎟⎠ ⎟⎟
P(x) = a ⎜⎜⎝ x +
−
− ⎜⎜⎝
⎝
2
2a
2a
2a ⎠
4a
√ ⎞⎛
√ ⎞
√ ⎞⎛
√ ⎞
⎛
⎛
⎜⎜⎜
⎜⎜⎜
b
b
−b − Δ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
−b + Δ ⎟⎟⎟
Δ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
Δ ⎟⎟⎟
⎟⎠ ⎜⎝ x +
⎟⎠ = a ⎜⎝ x −
⎟⎠ ⎜⎝ x −
⎟⎠
= a ⎜⎝ x +
+
−
2a
2a
2a
2a
2a
2a
√
√
−b − Δ
−b + Δ
et x2 =
, il vient :
En posant x1 =
2a
2a
P(x) = a (x − x1 ) (x − x2 )
Puisque a 0, l’équation P(x) = 0 admet donc deux racines distinctes :
√
√
−b − Δ
−b + Δ
et x2 =
x1 =
2a
2a
Somme et produit des racines
Soit P(x) = ax2 + bx + c, a 0.
Si Δ = b2 − 4ac > 0, alors P(x) admet deux racines distinctes :
√
√
−b − Δ
−b + Δ
x1 =
et x2 =
2a
2a
D’où :
b
c
S = x1 + x2 = − et P = x1 · x2 =
a
a
Ainsi,
c
b
= a x2 − S x + P
P(x) = ax + bx + c = a x + x +
a
a
2
2
Remarque
Si on connait la somme S et le produit P de deux réels, ils sont donc solutions de
l’équation du second degré :
X2 − S X + P = 0
10
Polynômes. Fractions rationnelles. Équations • 1
Synthèse
Je sais définir
• Un polynôme de degré n
• Le déterminant d’un système de deux
équations à deux inconnues
Je connais
• Les opérations sur les nombres
• La forme canonique d’un trinôme du
second degré
Je sais
• Déterminer les racines n-ième d’un réel
• Résoudre des équations du premier et du second degrés
• Résoudre un système de deux équations à deux inconnues
• Déterminer deux réels connaissant leur somme et leur produit
• Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples
Exercices
1
Soit la fonction polynôme P(x) définie par :
P(x) = 2x4 − 6x3 − 2x2 + 18x − 12
1. Calculer P(1) et P(2). En déduire une factorisation de P(x).
2. Résoudre dans R l’équation P(x) = 0.
2
Déterminer les éléments simples de la fraction rationnelle
x+6
F(x) =
(x − 3)(x + 5)
3
1. Déterminer les racines, si elles existent, des trinômes suivants :
a) A(x) = 4x2 − 5x + 3
b) B(x) = 3x2 − 8x + 4
2. Donner le quotient Q(x) et le reste R(x) de la division de ces trinômes par
(x − 2).
c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
4
5
Donner le quotient Q(x) et le reste R(x) de la division de x4 + 3x3 − x + 1 par
x2 + 3x − 1.
Déterminer les réels a et b pour que le polynôme P(x) = x4 + x3 + 2x2 + ax + b soit
divisible par le trinôme x2 + 2x + 3.
6
On donne le polynôme P(x) = x3 − x2 − 37x − 35
1. Factoriser le polynôme P(x).
2. Résoudre l’équation P(x) = 0.
7
Résoudre les systèmes d’équations :
3x − 2y = −1
a)
4x − 2y = +2
3x + 4y = 17
b)
4x − y = 10
➙
11
1 • Polynômes. Fractions rationnelles. Équations
8
Résoudre le système d’équations :
9
10
x + y = −3
xy = −10
Résoudre l’équation en x : 2x4 + 9x2 − 5 = 0
2
= −2
x − y2 √
Résoudre le système d’équations
xy = − 3
Questions à choix multiples
11 La division de −7x2 − x + 1 par x − 2 donne :
❒ a.
Q(x) = −7x − 1 et R(x) = −1
❒ b.
Q(x) = −7x − 1 et R(x) = −1
❒ c.
Q(x) = −7x − 15 et R(x) = 0
❒ d.
Q(x) = −7x − 15 et R(x) = −29
❒ e.
Q(x) = −7x + 2 et R(x) = −15
12 La division de 3x2 + 2x − 10 par x − 2 donne :
❒ a.
Q(x) = 3x + 2 et R(x) = 5
❒ b.
Q(x) = 3x − 1 et R(x) = 5
❒ c.
Q(x) = 3x + 8 et R(x) = 6
❒ d.
Q(x) = 3x + 8 et R(x) = 0
❒ e.
Q(x) = 3x + 5 et R(x) = 0
√
13 On considère l’équation 2x2 − 8x + 6 + 3 = 0.
Le discriminant Δ de l’équation est :
√
❒ a. 16 − 8 3
√
❒ b. (2 3 − 2)2
√
L’équation 2x2 − 8x + 6 + 3 = 0 a pour solutions :
√
√
5− 3
5+ 3
, x2 =
❒ c. x1 =
2
2
√
√
3− 3
3+ 3
, x2 =
❒ d. x1 =
2
2
√
√
5− 3
3+ 3
, x2 =
❒ e. x1 =
2
2
12
➙
Polynômes. Fractions rationnelles. Équations • 1
14 On considère l’équation en x,
x4 − 5x2 + 2 = 0.
L’équation :
❒ a.
admet 4 racines réelles distinctes.
❒ b.
admet seulement 2 racines réelles.
L’équation admet pour solutions :
√
√
5 − 17
5 + 17
,
❒ c. −
2
2
√
√
√
√
5 − 17
5 − 17
5 + 17
5 + 17
,+
,−
,+
❒ d. −
2
2
2
2
√ √ √ √ √
√
√
√
2
2
2
2
❒ e. −
5 − 17, +
5 − 17, −
5 + 17, +
5 + 17
2
2
2
2
15 On donne l’équation :
1
+ 2x = −3
x
❒ a.
L’équation n’admet pas de solution.
❒ b.
L’équation admet une solution unique car x 0.
❒ c.
L’unique solution de l’équation est −1.
1
L’unique solution de l’équation est − .
2
❒ d.
1
L’équation admet deux solutions : −1 et − .
2
❒ e.
Corrigés
Exercices
1. P(1) = 2 × 14 − 6 × 13 − 2 × 12 + 18 × 1 − 12 = 0
P(2) = 2 × 24 − 6 × 23 − 2 × 22 + 18 × 2 − 12 = 0
Le polynôme P(x) est donc divisible par (x − 1) et (x − 2), soit :
1
P(x) = (x − 1)(x − 2) · Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2.
Posons la division de P(x) par (x − 1)(x − 2) c’est-à-dire par x2 − 3x + 2.
13
1 • Polynômes. Fractions rationnelles. Équations
−
−
2x4 − 6x3 − 2x2 + 18x − 12
(2x4 − 6x3 + 4x2 )
−6x2 + 18x − 12
(−6x2 + 18x − 12)
0
x2 − 3x + 2
2x2 − 6
Ainsi :
P(x) = 2(x − 1)(x − 2)(x2 − 3)
2. P(x) = 0 si et seulement si 2(x − 1)(x − 2)(x2 − 3) = 0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement l’un au moins de ses facteurs est nul, soit :
⎧
⎧
x=1
⎪
⎪
x−1=0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ou
ou
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎨
x
=2
x
−
2
=
0
d’où
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ou
ou
⎪
⎪
⎪
⎪
√
⎪
⎪
⎩ x2 − 3 = 0
⎩
x=± 3
2
Cherchons une écriture de la forme :
x+6
a
b
=
+
(x − 3)(x + 5) x − 3 x + 5
En réduisant au même dénominateur les fractions
b
a
et
, il vient :
x−3
x+5
x+6
a(x + 5)
b(x − 3)
=
+
(x − 3)(x + 5)
(x − 3)(x + 5) (x − 3)(x + 5)
(a + b)x + (5a − 3b)
=
(x − 3)(x + 5)
Par identification, on obtient le système d’équations :
⎧
⎪
a+b=1
⎪
⎪
⎨
et
⎪
⎪
⎪
⎩ 5a − 3b = +6
La résolution du système précédent donne :
⎧
9
⎪
⎪
⎪
a=
⎪
⎪
⎪
8
⎪
⎨
et
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎩b = −
8
Ainsi :
9 1
1 1
x+6
=
−
(x − 3)(x + 5) 8 x − 3 8 x + 5
x+6
sont donc les fractions
Les éléments simples de la fraction rationnelle
(x − 3)(x + 5)
9 1
1 1
et −
.
8x−3
8x+5
F(x) =
14
Polynômes. Fractions rationnelles. Équations • 1
Autre méthode :
De la même façon, on cherche une écriture de la forme :
a
b
x+6
=
+
(x − 3)(x + 5) x − 3 x + 5
On multiplie les deux membres par (x − 3) :
b(x − 3)
x+6
=a+
x+5
x+5
9
.
8
En faisant de même avec le pôle −5, c’est-à-dire en multipliant par (x + 5) puis en prenant
1
x = −5, on obtient b = − .
8
D’où :
x+6
9 1
1 1
F(x) =
=
−
(x − 3)(x + 5) 8 x − 3 8 x + 5
En prenant x = 3, on obtient a =
1. a) On a A(x) = 4x2 − 5x + 3
Le discriminant du trinôme est :
3
Δ = (−5)2 − 4 × (4) × (3) = −23
Δ < 0 : le trinôme A(x) n’admet donc pas de racines dans R.
b) B(x) = 3x2 − 8x + 4
Le discriminant du trinôme est :
c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Δ = (−8)2 − 4 × (3) × (4) = 16
Δ > 0 : le trinôme admet deux racines distinctes dans R :
√
8 − 16 2
=
x1 =
6√
3
8 + 16
=2
x2 =
6
2. Division des trinômes par le monôme (x − 2)
a) Division de A(x) = 4x2 − 5x + 3 par x − 2.
Posons la division :
x−2
4x2 − 5x + 3
−
(4x2 − 8x)
4x + 3
3x + 3
−
(3x − 6)
+9
Le quotient Q(x) et le reste R(x) de la division de A(x) par (x − 2) sont :
Q(x) = 4x + 3
R(x) = 9
La division de 4x2 − 5x + 3 par x − 2 s’écrit donc :
4x2 − 5x + 3 = (x − 2)(4x + 3) + 9
(quotient)
(reste)
b) Division de B(x) = 3x2 − 5x + 6 par x − 2.
15