ligne L ∈ M 1,n(K) et d`une matrice B ∈ M n,q(K) est encore une

40 CHAPITRE 4. MATRICES
ligne L∈M1,n(K)et d’une matrice B∈Mn,q(K)est encore une matrice
ligne. De plus, si on note Lila i-i`eme ligne de A, alors le produit AB est la
matrice 
L1B
L2B
.
.
.
LpB
(la juxtaposition de ces plignes). Autrement dit, on peut
calculer le produit matriciel ligne par ligne, ou bien colonne par colonne.
Proposition 4.3.3. — On fixe n, p, q, r ∈N∗.
1. Le produit matriciel Mp,n(K)× Mn,q (K)→Mp,q (K)est bilin´eaire :
pour tous set t∈K,Aet A�∈Mp,n(K)et Bet B�∈Mn,q (K), on a(QC)
(sA +tA�)B=sAB +tA�Bet A(sB +tB�) = sAB +tAB�.
2. Le produit matriciel est associatif : pour A∈Mp,n(K),B∈Mn,r(K)et
C∈Mr,q(K),ona(AB)C=A(BC).
D´emonstration. — Le premier point d´ecoule de la remarque 4.3.1 : le coeffi-
cient d’indice ij de (sA +tA�)Best le produit de la i-i`eme ligne de sA +tA�
et de la j-i`eme colonne de B. En notant Liet L�
iles i-i`emes lignes de Aet A�
et Cjla j-i`eme colonne de B, on a donc :
((sA +tA�)B)ij = (sLi+tL�
i)Cj=sLiCj+tL� iCj=s(AB)ij +t(A�B)ij .
Donc le coefficient d’indice i, j de (sA +tA�)Bvaut s(AB)ij +t(A�B)ij .On
en d´eduit (sA +tA�)B=sAB +tA�B. L’autre relation est similaire.
Le deuxi`eme point se prouve par un calcul. Remarquons d’abord que nous
avons bien le droit de former ces deux produits et qu’ils donnent tous les deux
une matrice `a plignes et qcolonnes. Maintenant, pour 1≤i≤j, on ´ecrit :
((AB)C)ij =
r
k=1
(AB)ikCkj =
r
k=1
(
n
l=1
AilBlk )Ckj =
1≤k≤r
1≤l≤n
AilBlk Ckj
et
(A(BC))ij =
n
l=1
Ail(BC)lj =
n
l=1
Ail(
r
k=1
BlkCkj ) = 
1≤k≤r
1≤l≤n
AilBlk Ckj
Les coefficients de ces deux matrices sont ´egaux, c’est donc qu’elles sont ´egales.
Notamment, grˆace au deuxi`eme point, on ´ecrira des produits de plusieurs
matrices sans parenth`eses.

4.4. CAS DES MATRICES CARR ´ EES 41
Le produit de matrices n’est pas commutatif ; tout d’abord parce que on ne
peut pas forc´ement former le produit BA si on peut former AB. Mais mˆeme
quand les deux existent, ils peuvent ˆetre diff´erents (voir TD).
4.3.3. Transpos´ee de matrice. —
D´efinition 4.3.4. — Soit A= (aij )1≤i≤p
1≤j≤q
une matrice de Mp,q(K). On
d´efinit sa transpos´ee, not´ee tA, dans Mq,p(K)par : (QC)
(tA)ij =aji.
Les lignes de Adeviennent les colonnes de tA. Par exemple, si A=123
456,
sa transpos´ee est tA=
1 4
2 5
3 6
.
4.4. Cas des matrices carr´ees
4.4.1. Puissance. — On remarque que si Aet Bsont deux matrices car-
r´ees dans Mp(K)on peut toujours former le produit AB et que c’est encore
une matrice carr´e de taille p. Notamment, on peut d´efinir la puissance d’une
matrice carr´ee :
D´efinition 4.4.1. — Soit A∈Mp(K). On d´efinit Ancomme le produit
AA ···A, o`u Aapparaˆıtnfois. (QC)
Exemple 4.4.2. — Revenons `a notre matrice d’adjacence de graphe. Mon-
trons par r´ecurrence que le coefficient d’indices i,j de An, qu’on notera ai,j (n),
est le nombre de chemins dans le graphe de n´etapes qui vont de i`a j.
On proc`ede par r´ecurrence. Pour n= 1, c’est la d´efinition de A. Supposons
que la propri´et´e soit vraie pour un entier n. On calcule les coefficients de An+1
en utilisant An+1 =AnA. En utilisant la formule du produit, on a :
ai,j (n+ 1) =
3
k=1
ai,k(n)ak,j .
Regardons le produit ai,k(n)ak,j .Par hypoth`ese de r´ecurrence, le premier terme
est le nombre de chemins en n´etapes de i`a k. Le deuxi`eme est le nombre de
chemins en une ´etape de k`a j. Donc ce produit est le nombre de chemins qui
vont de i`a jen n+ 1 ´etapes en passant par k`a l’´etape n. Quand on fait la
somme sur tous les k, c’est `a dire toutes les possibilit´es de derni`ere ´etape, on

42 CHAPITRE 4. MATRICES
obtient bien que ai,j (n+ 1) est le nombre de chemins possibles entre iet jen
n+ 1 ´etapes.
4.4.2. Matrice identit´e et matrices diagonales. — Dans le cas des ma-
trices carr´ees, on a une matrice remarquable pour le produit : la matrice iden-
tit´e, not´ee In, dont les tous les coefficients diagonaux valent 1et les autres
0: le coefficient vaut 1si le num´ero de la ligne est le mˆeme que celui de la
colonne, 0sinon. On la repr´esente de cette fa¸con :
In=
1 0 . . . 0
0 1 0 . . .
.
.
.0....
.
.
0. . . 0 1
.
Cette matrice est remarquable, car c’est un ´el´ement neutre pour le produit :
Proposition 4.4.3. — Soit Aune matrice de Mn(K). Alors AIn=InA=
A.
Nous verrons la preuve la semaine prochaine. Exercice : v´erifiez le dans le
cas n= 2.
D´emonstration. — Prouvons par exemple InA=A: le coefficient i, j de InA
est n
k=1(In)ik Akj . Tous les termes de cette somme sont nuls sauf pour k=
i, auquel cas (In)ik = 1. Donc ce coefficient vaut Aij . ¸Ca prouve l’´egalit´e
voulue.
D´efinition 4.4.4. — Plus g´en´eralement, on appelle matrice diagonale une
matrice A= (aij )1≤i≤p
1≤j≤p
dont seuls coefficients non nuls sont les aii.Une telle(QC)
matrice se repr´esente sous la forme A=
a11 0. . . 0
0a22 0. . .
.
.
.0....
.
.
0... 0app
.
Proposition 4.4.5. — Si Dest diagonale, de coefficients diagonaux (d1, . . . dp),
alors Dnest encore diagonale, de coefficients diagonaux (dn
1, . . . , dn
p).
La preuve est laiss´ee en exercice au lecteur.
On appelle matrice triangulaire sup´erieure une matrice dont tous les coeffi-
cients sous la diagonale sont nuls (le coefficient i, j vaut 0si i > j). Inversement,
on appelle matrice triangulaire inf´erieure une matrice dont tous les coefficients
au dessus de la diagonale sont nuls (le coefficient i, j vaut 0si i<j).

4.4. CAS DES MATRICES CARR ´ EES 43
4.4.3. Matrices inversibles. — Un rˆole crucial sera jou´e par la notion de
matrice inversible.
D´efinition 4.4.6. — Une matrice Ade Mp(K)est dite inversible si il existe
une matrice Bde Mp(K)telle que AB =BA =Ip.(QC)
Cette matrice Best alors unique, s’appelle l’inverse de Aet est not´ee A−1.
La preuve de l’unicit´e est une simple manipulation : si Bet B�sont deux
candidates, on peut ´ecrire (en utilisant AB =Inet B�A=Ip) :
B�=B�Ip=B�(AB) = (B�A)B=IpB=B.
Exemple 4.4.7. — On laisse le lecteur v´erifier les exemples suivants :
–La matrice 3 0
0 4est inversible d’inverse 1
30
01
4.
–La matrice 1 1
0 1est inversible d’inverse 1−1 0 1 
–La matrice A=0 1
0 1n’est pas inversible : tout produit de la forme
BA a sa premi`ere colonne nulle, donc ne peut pas valoir I2.
–La matrice A=1 1
1 1n’est pas inversible : tout produit de la forme
BA a ses deux colonnes ´egales, donc ne peut pas valoir I2.
On verra plus tard, dans deux chapitres, comment d´eterminer si une matrice
est ou non inversible, et si oui comment l’inverser, grˆace au d´eterminant. Pour
une matrice inversible A, la puissance Anest d´efinie pour tout n∈Z: en effet,
pour n > 0, ¸ca a d´ej`a ´et´e fait. Pour n= 0, on pose par convention An=Ip;
pour n<0,An= (A−1)n.
4.4.4. Trace. — On d´efinit encore la trace d’une matrice carr´ee A= (aij )1≤i≤p
1≤j≤p
,
not´ee Tr(A)comme la somme des coefficients diagonaux : (QC)
Tr(A) =
p
k=1
akk .
Proposition 4.4.8. — La trace d’une matrice carr´ee et de sa transpos´ee sont
´egales
D´emonstration. — En transposant une matrice carr´ee, on ne change pas sa
diagonale, donc pas sa trace.