Notes de cours MAT145 deuxième partie

École de technologie supérieure
Service des enseignements généraux
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MAT145
CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
NOTES DE COURS
2ePARTIE
PAR GENEVIÈVE SAVARD,
ROBERT MICHAUD ET
ANDRÉ BORDELEAU
RÉDIGÉ EN OCTOBRE 2006
RÉVISÉ EN AOÛT 2014
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Table des matières
Avant-propos vii
4 L’intégrale 1
4.1 L’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.1.1 Unités de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.1.2 Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.1 L’intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.2 Table d’intégrales indéfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.3 Interprétation de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.4 Preuve du théorème fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Techniques d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1 Intégration par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.2 Complétion de carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Autres applications de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.1 Forces distribuées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Calculs d’aires, de volumes et de longueurs 75
5.1 Aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Solides de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.1 Méthode des disques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.2 Méthode des tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Longueurs d’arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
iii

iv TABLE DES MATIÈRES
6 Polynômes et séries de Taylor 107
6.1 Approximer une fonction grâce à un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2 Les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.1 Des polynômes de Taylor de degré de plus en plus grand . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.2 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.3 Séries de puissances, séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2.4 Intervalle de convergence et test du rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2.5 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Obtention de nouvelles séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3.1 Séries de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3.2 Dérivation et intégration des séries de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3.3 Substitution dans une série de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4 Utilisation des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4.1 Applications en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4.2 Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.5 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Annexe 163
A.1 Quelques notions de cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.1.1 Comment obtenir la position à partir de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.1.2 Comment obtenir la vitesse à partir de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.2 Aide-mémoire TI-Nspire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.2.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.2.2 Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.2.3 Intégrales définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.2.4 Intégrales indéfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.2.5 Construction de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.2.6 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.3 Règles et formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.4 Table d’intégrales indéfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.5 Table des séries de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

TABLE DES MATIÈRES v
Réponses 177
Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Bibliographie 205
Index 207