Limites et asymptotes

1
Exemples de limites d’une fonction en un réel.
Interprétation graphique
Définition. Soit a et x des nombres réels.
On dit que x tend vers a et on note
x a
→
, lorsque x prend des valeurs de plus en
plus proches de a, mais différentes de a.
On dit que x tend vers a par valeurs supérieures et on note
x a
+
→
, lorsque x
prend des valeurs de plus en plus proches de a et
x a
>
.
On dit que x tend vers a par valeurs inférieures et on note
x a
−
→
, lorsque x
prend des valeurs de plus en plus proches de a et
x a
<
.
Lorsqu’on écrit
x a
→
, il faut donc s’imaginer que le réel a est fixé tandis que le réel
x est « en mouvement » vers a et qu’il peut s’en rapprocher soit en venant de la
gauche, soit en venant de la droite.
Exemple 1. Soit
2
:
f x x
֏
. Lorsque
2
x
→
, alors
( ) 4
f x
→
. Illustrons cette
affirmation par un tableau des images de la fonction f :
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1
( )
f x
3,61 3,9601 3,996001 3,99960001 4 4,00040001 4,004001 4,0401 4,41
On dit que la limite de f, lorsque x tend vers 2, est
égale à 4. On note :
(
)
2
lim 4
x
f x
→
=
ou 2
2
lim 4
x
x
→
=
Remarquons que cette limite est précisément
(2)
f
.
On dit que f est continue en 2.
De même, on a :
(
)
(
)
2
3 3
lim lim 9 3
x x
f x x f
→ →
= = =
On dit que f est continue en 3.
En fait, pour tout autre réel a :
(
)
(
)
lim
x a
f x f a
→
=
On dit que la fonction f est continue en le réel a.

2
Définition. a) Soit f une fonction numérique d’une variable réelle. On dit que :
a) f est continue en le réel a du domaine de f si
lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
=
.
b) f est continue à droite en le réel a du domaine de f si
lim ( ) ( )
x a
f x f a
+
→
=
.
c) f est continue à gauche en le réel a du domaine de f si
lim ( ) ( )
x a
f x f a
−
→
=
.
Le domaine de continuité de f, noté
dom
c
f
, est l’ensemble des réels a tels que f
est continue en a.
Pour la fonction
2
:
f x x
֏
ci-dessus, on a :
R
dom dom
c
f f
= =
, car f est définie et
continue en tout réel a. Intuitivement, on tracer
f
G
sans lever le crayon.
Propriété. Si
dom
c
a f
∈
alors
dom
a f
∈
.
En effet, si
dom
a f
∉
, alors on ne peut pas avoir
lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
=
.
Donc :
dom dom
c
f f
⊂
. Attention : la condition
dom
a f
∈
n’est pas
suffisante pour que la fonction soit continue en a : si
dom
a f
∈
alors f n’est pas
nécessairement continue en a.
Exemple 2. Soit
2
si 2
:
5 si 2
x x
g x x
≠
=
֏
On a toujours :
2
lim ( ) 4
x
g x
→
=
, car la valeur de la fonction g en
2
x
=
ne nous
intéresse pas lorsque nous calculons sa limite en 2. Par contre g n’est pas continue en
2 car
(2) 5 4
g
= ≠
:
2
lim ( ) 4 (2)
x
g x g
→
= ≠
g est continue en tout réel sauf en 2. Pour la fonction g, on a donc :
R
dom
g
=
, mais
{
}
R
dom \ 2
cg
=
.

3
Exemple 3. Soit
2
si 2
:
/ si 2
x x
h x x
≠
=
֏
Le / dans la définition signifie que h n’est pas définie en 2. La limite de h en 2 existe,
mais h n’est pas continue en 2 car
(
)
2
h n’existe pas :
{
}
R
dom dom \ 2
c
h h
= =
.
2
lim ( ) 4
x
h x
→
=
Nous dirons que le graphe de h présente un point creux ou un trou en
(2, 4)
.
Exemple 4. Soit
2
si 2
:
5 si 2
x x
k x x x
≥
− + <
֏
On a :
(
)
2
2 2
lim ( ) lim 4 2
x x
k x x k
+ +
→ →
= = =
On dit que k est continue à droite en 2. Mais k n’est
pas continue à gauche en 2 car :
(
)
2 2
lim ( ) lim( 5) 3 2
x x
k x x k
− −
→ →
= − + = ≠
Comme
2 2
lim ( ) lim ( )
x x
k x k x
+ −
→ →
≠
, on a
2
lim ( ) n'existe pas !
x
k x
→
La fonction k est continue en tout réel, sauf en 2 :
{
}
R
dom dom \ 2
c
k k
= =
.
Intuitivement, cela signifie qu’on peut dessiner le graphe de k sans lever le crayon,
sauf pour
2
x
=
. Nous dirons que le graphe de k présente un saut d’amplitude 1 à
l’abscisse 2.

4
Exemple 5. Soit
2
: 4
r x x
−
֏
la fonction dont
le graphe est le demi-cercle de centre l’origine et de
rayon 2. On a :
dom [ 2, 2]
r
= −
.
r est continue à droite en –2 et à gauche en 2 :
2
lim ( ) 0 ( 2)
x
r x r
+
→−
= = −
et
2
lim ( ) 0 (2)
x
r x r
−
→
= =
Par convention, nous dirons aussi que r est
continue en –2 et en 2. Nous avons le droit d’écrire :
2
lim ( ) 0 ( 2)
x
r x r
→−
= = −
et
2
lim ( ) 0 (2)
x
r x r
→
= =
En effet, le domaine de la fonction étant
[ 2, 2]
−
, lorsqu’on écrit
2
x
→ −
(resp.
2
x
→
),
il est sous-entendu que cela signifie
2
x
+
→ −
(resp.
2
x
−
→
). On peut donc omettre
le + derrière –2 (resp. le – derrière 2) dans une telle situation.
dom dom [ 2, 2]
c
r r
= = −
.
Evidemment les deux limites
2
lim ( )
x
r x
−
→−
et
2
lim ( )
x
r x
+
→
n’ont pas de sens. De même, il
serait absurde de vouloir calculer
3
lim ( )
x
r x
→
. Cette limite n’existe pas puisque 3
n’appartient pas au domaine de la fonction et plus précisément : 3 n’est pas
adhérent au domaine de r.
Définition. On dit que a est un réel adhérent au domaine d’une fonction f si
dom
a f
∈
ou si
dom
a f
∉
et tout intervalle de la forme
] , [
a a
ε ε
− +
avec
0
ε
>
arbitrairement petit contient une infinité d’éléments du domaine de f.
Intuitivement, si
dom
a f
∉
, alors c’est un point adhérent à
dom
f
si c’est un point
frontière du domaine. Par exemple, 3 est un point adhérent des domaines suivants :
]3, [
+∞
,
] , 3[
− ∞
,
]3, 5]
,
] 2,3[
−
.
Remarquons qu’il ne suffit pas que le réel a soit adhérent au domaine de f pour que
lim ( )
x a
f x
→
existe, comme on l’a déjà vu à l’exemple 4. Un autre exemple pathologique
est le suivant :
Exemple 6. Soit
1
sin si 0
:
/ sinon
x
m x x
>
֏

5
Même si 0 est un point adhérent au domaine de m,
(
)
0
lim
x
m x
→
n’existe pas puisque la
fonction m oscille une infinité de fois entre -1 et +1 sur tout intervalle de la forme
]0, [
α
, où
0
α >
. Voilà pourquoi
(
)
m x
ne tend vers aucun réel donné lorsque la
variable x tend vers
0
, c.-à-d.
(
)
0
lim
x
m x
→
n’existe pas. En particulier la fonction m
n’est pas continue en 0, mais elle est continue en tout autre réel de son domaine :
R
dom
c
m
∗
+
=
.
Exemple 7. Considérons le tableau des images suivant de la fonction
2
1
:n x
x
֏.
x 1
1
10
−
±
2
10
−
±
3
10
−
±
10
10
−
±
…
( )
n x
1
2
10
4
10
6
10
20
10
…
Nous observons que si x tend vers 0, alors
(
)
n x
devient arbitrairement grand, c.-à-d.
tend vers
+∞
. Nous écrivons :
(
)
0
lim
x
n x
→
= +∞
Le graphe de n admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale (AV).
Evidemment, la fonction n n’est pas continue en 0 car
(0)
n
n’existe pas , mais n est
continue en tout autre réel :
R
dom dom
c
n n
∗
= =
.