1 Brefs rappels sur les règles d`utilisation d`un

De l’arbre pondéré à la loi binomiale Terminale STL
1 Brefs rappels sur les règles d’utilisation d’un arbre pondéré
Dans de multiples situations, on peut schématiser une expérience aléatoire par un arbre de probabilités (ou arbre
pondéré).
Exemple : Une urne contient sept boules indiscernables au toucher dont quatre sont de couleur rouge et trois de
couleur noire.
On procède à deux tirages successifs, au hasard et sans remise, et on recherche la probabilité d’obtenir exactement
une boule noire.
Avant le premier tirage
Résultat :
1er tirage
?
2etirage
?
Après le premier tirage
Avant le second tirage
Résultat :
1er tirage 2etirage
?
Après le second tirage
Résultat :
1er tirage 2etirage
On convient de symboliser par la lettre Rle choix d’une boule rouge et par la lettre Nle choix d’une boule noire.
L’expérience aléatoire décrite dans l’énoncé peut être schématisée par l’arbre ci-dessous :
Premier tirage
Second tirage
Résultat
N
R
N
R
N
R
4
/7
3
/7
3
/6=1 /2
3
/6=1 /2
4
/6=2 /3
2
/6=1 /3
deux boules rouges
une boule rouge et une boule noire
une boule rouge et une boule noire
deux boules noires
noeuds
•
•
•
branche
chemin
L’arbre réalisé comporte exactement 3noeuds, 6branches et 4chemins.
Règles d’utilisation d’un arbre pondéré
Règle 1 :
La somme des probabilités issues d’un même noeud est égale à 1.
Règle 2 : Principe multiplicatif
La probabilité d’un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités portées par les
branches de ce chemin.
Règle 3 :
La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à sa réalisation.
Ainsi, dans notre exemple, exactement deux des quatre chemins conduisent à la réalisation de l’événement « Obtenir
une boule rouge et une boule noire » et sa probabilité est donnée par : 4
7×1 2
| {z }
règle 2 pour 1er chemin
+3
7×2 3
| {z }
règle 2 pour 2echemin
| {z }
règle 3
=4
7

De l’arbre pondéré à la loi binomiale Terminale STL
2 Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée S) et
« échec » (notée Eou S), de probabilités respectives pet (1 −p)où pest un réel appartenant à ]0; 1[.
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p, la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont la
probabilité du succès est p.
Remarque : Dans le cas présent, la notion de succès n’a pas valeur de jugement. Le succès peut être un événement
désagréable et l’échec un événement heureux.
3 Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit nun entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter nfois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de
paramètre pest nommée schéma de Bernoulli de paramètres net p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli
de paramètres net pest appelée loi binomiale de paramètres net pet est notée B(n, p).
Propositions
Si une variable aléatoire Xsuit la loi B(n, p)alors :
•l’espérance de Xest donnée par E(X) = n×p;
•la variance de Xest donnée par V(X) = n×p×(1 −p);
•l’écart-type de Xest donné par σ(X) = »V(X) = »n×p×(1 −p).
4 Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, ndésigne un entier naturel non nul, kun entier compris entre 0et net pun réel
appartenant à ]0; 1[.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres net p.
Le nombre de chemins réalisant exactement ksuccès sur les népreuves est noté Çn
kå(se lit « kparmi n») et est
nommé coefficient binomial.
Proposition
Si une variable aléatoire Xsuit la loi B(n, p)alors P(X=k) = Çn
kåpk(1 −p)n−k.
Méthode : Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire Xsuit la loi B(n, p)alors :
•Pour calculer le coefficient binomial Çn
kå:
◮Syntaxe : nCombinaison k
◮Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
•Pour calculer la probabilité P(X=k):
◮Syntaxe : binomFdp(n,p,k)
◮Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp
•Pour calculer la probabilité P(X6k):
◮Syntaxe : binomFRép(n,p,k)
◮Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFRép