1 Brefs rappels sur les règles d`utilisation d`un

De l’arbre pondéré à la loi binomiale
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Terminale STL
Brefs rappels sur les règles d’utilisation d’un arbre pondéré
Dans de multiples situations, on peut schématiser une expérience aléatoire par un arbre de probabilités (ou arbre
pondéré).
Exemple : Une urne contient sept boules indiscernables au toucher dont quatre sont de couleur rouge et trois de
couleur noire.
On procède à deux tirages successifs, au hasard et sans remise, et on recherche la probabilité d’obtenir exactement
une boule noire.
Après le premier tirage
Avant le premier tirage
Après le second tirage
Avant le second tirage
Résultat :
1er tirage 2e tirage
?
Résultat :
1er tirage 2e tirage
Résultat :
1er tirage 2e tirage
?
?
On convient de symboliser par la lettre R le choix d’une boule rouge et par la lettre N le choix d’une boule noire.
L’expérience aléatoire décrite dans l’énoncé peut être schématisée par l’arbre ci-dessous :
Résultat
Second tirage
R
deux boules rouges
3/6 = 1/2
N
une boule rouge et une boule noire
4/6 = 2/3
R
une boule rouge et une boule noire
3/6 = 1/2
Premier tirage
noeuds
4/7
R •
chemin
•
3/7
branche
N •
2/6 = 1/3
deux boules noires
N
L’arbre réalisé comporte exactement 3 noeuds, 6 branches et 4 chemins.
Règles d’utilisation d’un arbre pondéré
Règle 1 :
La somme des probabilités issues d’un même noeud est égale à 1.
Règle 2 : Principe multiplicatif
La probabilité d’un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités portées par les
branches de ce chemin.
Règle 3 :
La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à sa réalisation.
Ainsi, dans notre exemple, exactement deux des quatre chemins conduisent à la réalisation de l’événement « Obtenir
4 1
3 2
4
une boule rouge et une boule noire » et sa probabilité est donnée par :
×
+
×
=
7
|7 {z 2}
|7 {z 3}
règle 2 pour 1er chemin
|
règle 2 pour 2e chemin
{z
règle 3
}
De l’arbre pondéré à la loi binomiale
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Terminale STL
Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée S) et
« échec » (notée E ou S), de probabilités respectives p et (1 − p) où p est un réel appartenant à ]0; 1[.
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p, la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont la
probabilité du succès est p.
Remarque : Dans le cas présent, la notion de succès n’a pas valeur de jugement. Le succès peut être un événement
désagréable et l’échec un événement heureux.
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Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de
paramètre p est nommée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli
de paramètres n et p est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B(n, p).
Propositions
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors :
• l’espérance de X est donnée par E(X) = n × p ;
• la variance de X est donnée par V (X) =»
n × p × (1»
− p) ;
• l’écart-type de X est donné par σ(X) = V (X) = n × p × (1 − p).
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Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k un entier compris entre 0 et n et p un réel
appartenant à ]0; 1[.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres n et Ç
p. å
n
Le nombre de chemins réalisant exactement k succès sur les n épreuves est noté
(se lit « k parmi n ») et est
k
nommé coefficient binomial.
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors P (X = k) =
Ç å
n k
p (1 − p)n−k .
k
Méthode : Utilisation de la calculatrice graphique
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n,
Ç åp) alors :
n
• Pour calculer le coefficient binomial
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison
• Pour calculer la probabilité P (X = k) :
◮ Syntaxe : binomFdp(n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp
• Pour calculer la probabilité P (X 6 k) :
◮ Syntaxe : binomFRép(n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFRép