Thème : multiples et diviseurs Exercice 1 1. Déterminer tous les

Thème : multiples et diviseurs
Exercice 1
1. Déterminer tous les diviseurs positifs de 68
2. Peut-on trouver un nombre multiple de 15 et diviseur de 100 ?
3. Montrer que si n est un entier > 6 , 6n admet au moins 8 diviseurs
Exercice 2
a. Soit n ∈ , on suppose que a | 42n + 37 et a | 7n + 4. Montrer que a | 13.
En déduire les valeurs possibles de a
b. Soit k un entier naturel , a = 9k + 2 et b = 12k + 1. Montrer que les seuls diviseurs positifs
communs à a et b sont 1 et 5.
c. Soit n ∈ , a = 13n + 1 et b = - 26n + 4
Montrer que les seuls diviseurs positifs communs aux entiers a et b sont 1,2,3 ou 6.
d. Soit n ∈ , a = 6n + 5 et b = 8n + 3
Prouver que les seuls diviseurs positifs communs à a et b sont 1 et 11
Exercice 3
a. Soit n ∈  . Calculer 1 + 5 + 52 + ….. + 5n-1 . En déduire que 5n + 19 est divisible par 4
b. Montrer que pour tout n ∈ , 6n – 1 est un multiple de 5. En déduire que 6n + 2004 est
également un multiple de 5.
c. Montrer que pour tout entier q ≠ 1, et n ∈  , q – 1 divise qn – 1
Exercice 4
Montrer que pour tout entier naturel n
a. 13n – 1 est divisible par 4
b. Pour tout k ∈ , (4k + 1)n – 1 est divisible par 4
Exercice 5
Expliquer pourquoi il est impossible de trouver u et v entiers tels que 6u – 9v = 2
Exercice 6
a. Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ , 23n – 1 est divisible par 7
b. En déduire que 23n+1 – 2 est un multiple de 7 et 23n+2 – 4 est un multiple de 7
Exercice 7
a. Montrer par récurrence que pour tout naturel n, n3 + 5n est un multiple de 6
b. En déduire que les entiers suivants sont des multiples de 6
i) n3 + 17n – 12
ii) n3 + 2003 n iii) le produit de 3 entiers consécutifs.
Exercice 8
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 32n – 2n est divisible par 7
2. Montrer par récurrence que a – b divise an – bn (a,b ∈  et n ∈ )
Exercice 9
Déterminer les valeurs de l’entier naturel n pour lesquelles
n+5
n3 − n
a.
est entier
b.
est entier
n−2
n+2
correction
Exercice 1
1. 1,2,4,17,34,68
2. Non , car si 15 divise n et n divise 100 , alors 15 divise 100 impossible
3. 1,2,3,6,n,2n,3n,6n
Exercice 2
a. a | 42n + 37 et a | 7n + 4 donc a | 6(7n + 4) – (42n + 37) = 13 donc a ∈ {-1,1,-13,13}
b. 4a – 3b = 5
c. 2a + b = 6
d. 4a – 3b = 11
Exercice 3
5n − 1
, donc 4 | 5n – 1 , or 4 | 20 , donc 4 | 5n + 19
4
b. 6n – 1 = (6 – 1)(1 + 6 + …. + 6n-1) donc 6n – 1 est un multiple de 5.
Or 5 | 2005 donc 6n + 2004 est également un multiple de 5.
c. qn – 1 = (q – 1)(1 + q + q2 + ….. + qn-1)
a. 1 + 5 + 52 + ….. + 5n-1 =
Exercice 4
a. 13n – 1 est divisible par 13 – 1 = 12 , donc par 4
b. (4k + 1)n – 1 est divisible par 4k + 1 – 4 = 4k , donc par 4
Exercice 5
3 divise 6u et 9v donc 6u – 9v = 2 impossible
Exercice 6
a. un = 23n – 1 donne u1 = 7
si un = 7K , un+1 = 23(n+1) – 1 = 8×23n – 1 = 8(7K + 1) – 1 = 7(8K + 1) = 7K’
b. 23n+1 – 2 est un multiple de un donc de 7 et 23n+2 – 4 également
Exercice 7
a. vrai pour n = 0
Si n3 + 5n = 6K , (n + 1)3 + 5(n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 5n + 5 = 6K + 6 + 3n(n + 1)
et n ou n + 1 est pair , donc 3n(n+1) est divisible par 6 , donc (n+1)3 + 5(n+1) aussi
b. i) n3 + 5n + 12n – 12
ii) n3 + 5n + 1998n
iii) n(n + 1)(n + 2) = n3 + 3n2 + 2n = n3 + 5n + 3n2 – 3n = 6K + 3n(n – 1)
et n ou n – 1 est divisible par 2 , donc 3n(n-1) est divisible par 6
Exercice 8
2. Si an – bn = K(a – b) , an+1 – bn+1 = a(bn + K(a – b)) – bn+1
= bn(a – b) + aK(a – b) = K’(a – b)
Exercice 9
n+5
7
a.
=1+
on doit prendre n – 2 ∈ {-1,1,-7,7} , donc n ∈{1,3,9,-5} et S ={1,3,9}
n−2
n−2
b.
6
n3 − n
= n 2 − 2n + 3 −
, donc n + 2 ∈ {-1,-2,-3,-6,1,2,3,5}
n+2
n+2
donc n ∈ {-3,-5,-4,-8,-1,0,1,4}et S = {0,1,4}
Divisibilité
L’arithmétique est l’étude des nombres entiers. Le domaine privilégié d’application est
l’informatique , où l’on code l’information en utilisant des suites de 0 et 1. L’arithmétique
étudie l’ensemble  des entiers naturels et l’ensemble  des entiers relatifs.
1. Propriétés de 
Axiomes de Peano : On admet qu’il existe un ensemble  vérifiant les axiomes
- l’élément appelé zéro et noté 0 est un entier naturel
- tout entier naturel n admet un unique successeur , noté S(n)
- Aucun entier naturel n’a 0 pour successeur
- Deux entiers naturel ayant même successeur sont égaux
- Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses
éléments, alors cet ensemble est égal à 
A partir de ces axiomes, on définit l’addition et la multiplication sur  , puis une relation
d’ordre total sur . Ensuite on déduit les 3 propriétés suivantes.
propriétés
1. Toute partie non vide de  admet un plus petit élément.
2. Toute partie non vide et majorée de  admet un plus grand élément.
3. Toute suite d’entiers naturels strictement décroissante est finie
propriété fondamentale de  : raisonnement par récurrence
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n.
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- il existe un entier n0 tel que P(n0) est vraie
- pour tout entier n ≥ n0 , P(n) vraie ⇒ P(n+1) vraie
Alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0
Soit E = { entiers n ≥ n0 tels que P(n) est fausse } une partie de 
Supposons E non vide . E est une partie de  , donc admet un plus petit élément m ≥ n0.
m ∈ E , donc P(m) est fausse.
Si m = n0 , alors P(n0) est fausse en contradiction avec l’hypothèse d’initialisation.
Si m > n0 , m – 1 ≥ n0 donc P(m-1) est vraie sinon contradiction avec la définition de m
donc P(m-1) est vraie et P(m) est fausse en contracdition avec l’hypothèse d’hérédité.
On en déduit que E est vide , donc que pour tout entier n ≥ n0 , P(n) est vraie
2. Divisibilité dans 
définition :
Soient a et b deux entiers relatifs . On dit que a divise b si et seulement si il existe
un entier relatif q tel que b = aq . On note a|b .
Si a divise b , on dira que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a .
propriétés :
1. 0 est multiple de tout nombre .
2. 1 et − 1 divisent tout nombre
3. 1 n'a pas d'autres diviseurs que 1 et − 1
4. Quelque soit l'entier a , a et − a ont les mêmes diviseurs
5. Si a | b et b | a , alors a = b ou a = − b
6. Si a | b et b | c , alors a | c
7. Si c | a et c | b , alors c | αa + βb , ∀ α et β ∈ 
8. Si a | b , alors pour tout entier k non nul , ka | kb .
a
b
9. Si k | a et a | b , alors divise
k
k
exemples :
. 7 × 3 = 21 donc 7 et 3 divisent 21
. 4 | 12 et 12 | 24 donc 4 | 24
. 3 | 12 donc 15 | 60
. 7 divise 14 et 21 donc 7 divise 14 + 21 = 35
. 6 a pour diviseurs 6 , 3 , 2 , 1 , − 1 , − 2 , − 3 , − 6
propriété :
1. si a et b sont des entiers naturels non nuls , a | b ⇒ 1 ≤ a ≤ b
si a est un entier naturel non nul et b un entier naturel , (a | b et b < a ) ⇒ b = 0
2. tout entier relatif b ≠ 0 a un nombre fini de diviseurs
définition:
Les entiers divisibles par 2 sont appelés les nombre pairs .
Les entiers non divisibles par 2 sont les nombres impairs .
propriété :
1) n+2 a la même parité que n
2) deux nombres consécutifs sont de parités différentes
1) si n est pair , 2 divise n et comme 2 divise 2 , alors 2 divise n + 2
si n est impair , n + 2 ne peut être pair sinon n = n + 2 – 2 est pair , donc n + 2 est impair
2) P(n) : « n et n + 1 sont de parités différentes »
P(0) est vraie car 0 est pair et 1 est impair
Supposons P(n) vraie pour n ≥ 0 , alors n et n + 1 sont de parités différentes
n + 2 a la même parité que n , donc n + 1 et n + 2 sont de parité différentes,
donc P(n+1) est vraie