FICHE CALCULATRICE CHE CALCULATRICE : LOI NORMALE

FICHE CALCULATRICE : LOI NORMALE
I ] LOI NORMALE CENTREE REDUITE
Calculs directes
1 :normalFdp( : permet de tracer la densité de probabilité, c'est
c'est-à-dire
f(x) =
1
e
−
x²
2
2π
Pour faire le dessin il suffit de faire :
REMARQUE :
Permet aussi de tracer la densité de probabilité associée à une loi normale
quelconque (cf. fin du document)
2 : normalFRép( : permet de calculer P(a ≤ X ≤ b) lorsque a et b sont des réels tels que a < b et X suit N (0 ;1)
3 : FracNormale( : connaissant c,, permet de trouver la valeur de k telle
que P(X ≤ k) = c
On retrouve les instructions relatives à la loi binomiale vue l’année passée : (lignes 0 et A). Les autres
instructions utilisent des distributions qui ne sont pas étudiées en classe de terminale (Loi de Student (lignes 4
et 5) Loi du Khi deux (χ²)(lignes
²)(lignes 6 et 7), Loi de Fisher (lignes 8 et 9) Loi de Poisson (lignes B et C) et loi
géométrique (lignes D et E))
REMARQUE :
La calculatrice ne connaissant pas l’infini, pour faire comprendre à la calculatrice que nous travaillons avec
l’infini, on peut utiliser l’astuce suivante : on remplace - ∞ par – 10 99 c'est-à-dire
dire
et + ∞ par 1099.
X suit N (0 ;1).
Une autre astuce pour contourner ce problème est d’utiliser la symétrie de la représentation graphique de f,
c'est-à-dire
dire sachant que l’aire sous la courbe est 1,
1, on peut en déduire que l’aire sous la courbe sur ] - ∞ ; 0] et
1
l’aire sous la courbe sur [ 0 ; + ∞[[ valent toutes les deux .
2
Ainsi pour calculer P(X ≤ 1,3) on peut faire : 0,5 + P( 0 ≤ X ≤ 1,3). (Les deux dernières décimales
décimale peuvent être
différentes,, mais ça suffit largement pour répondre à toutes les questions…)
Question
Calculatrice
Résultat
P (- 1,5 ≤ X ≤ 2,2)
ou
P( X ≤ 1,3)
P(X ≥ 0,22)
On utilise les propriétés de f :
P(X ≥ 0,22) = 1 – P(X < 0,22)
= 1 – P(X ≤ 0,22)
= 0,5 – P(0 ≤ X ≤ 0,22)
Résoudre des équations avec la loi normale centrée réduite
EXERCICE 1 :
La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
Les résultats seront arrondis au centième.
1°) Déterminer le réel a tel que P(X ≤ a) = 0,1256
2°) Déterminer le réel b tel que P(X > b) = 0,1256
3°) Déterminer le réel c tel que P(0 ≤ X ≤ c) = 0,1256
4°) Déterminer le réel positif h tel que P( - h ≤ X ≤ h) = 0,95
Dans ce cas là il faut utiliser l’instruction
Toujours accessible via le menu distrib :
Cette instruction
ction renvoie la valeur du réel t tel que P(X ≤ t) = p où p est un réel de [0 ;1] donné par l’utilisateur.
REMARQUE :
Lorsque p = 1 ou p = 0 la calculatrice affiche :
Ce qui est légitime étant donné que 10 99 et – 10 99 sont respectives les « + ∞ » et « - ∞ » de la calculatrice
calculatrice….
QUESTIO
N
TRANSFORMATIONS
1°)
Rien à faire, c’est un calcul direct
P(X > b) = 1 – P(X ≤ b)
P(X > b) = 0,1256 ⇔ 1 – P(X ≤ b) = 0,1256
⇔ P(X ≤ b) = 0,8744
On peut aussi réfléchir un peu, et se souvenir que grâce à la
symétrie de la densité de probabilité de la loi normale on a,
pour tout réel t : P(X ≤ - t) = P(X ≥ t)
2°)
P(0 ≤ X ≤ c) = P( X ≤ c) – P(X ≤ 0) = P(X ≤ c) – 0,5
P(0 ≤ X ≤ c) = 0,1256 ⇔ P(X ≤ c) – 0,5 = 0,1256
⇔ P(X ≤ c) = 0,6256
Il faut se souvenir, toujours grâce à la symétrie de la densité
de probabilité que P( X ≤ 0) = P(X ≥ 0) = 0,5
3°)
4°)
P( - h ≤ X ≤ h ) = P(X ≤ h) – P(X ≤ - h)
or P(X ≤ - h ) = P(X ≥ h) = 1 – P(X ≤ h)
D’où P( - h ≤ X ≤ h ) = P(X ≤ h) – [1 – P(X ≤ h)]
= 2 P(X ≤ h) - 1
P( - h ≤ X ≤ h ) = 0,95 ⇔ 2 P(X ≤ h) – 1 = 0,95
⇔ P(X ≤ h) = 0,975
REMARQUE :
On retrouve la valeur approchée u0,95 ≃ 1,96
RESULTATS
I ] LOI NORMALE N (μ ; σ²)
Utiliser les paramètres μ et σ
Les instructions à utiliser sont les même, la seul différence est qu’il faut préciser la valeur des deux
paramètres. En effet, par défaut les instructions normalFRép( : et FracNormale( sont paramétrée pour faire
des calculs avec la loi normale centrée réduite.
Supposons que X suit N (μ ; σ²)
Pour déterminer la valeur de P ( a ≤ X ≤ b) on saisie : normalFrép(a,b,μ
μ,σ
σ)
Et pour déterminer le réel c tel que P ( X ≤ c ) = p (où p ∈ [ 0 ; 1]) on fait : FracNormale(c,μ
μ,σ
σ)
EXERCICE 2 : (calculs directs)
Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en grammes
des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N (120 ; 225).
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.
1°) Quel est le poids moyen d’une ration de viande ?
2°) Quelle est la probabilité pour que le poids d’une ration de viande soit compris entre 110g et 135 g ?
3°) Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas.
A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont le poids dépassait 130 g ?
1°) X suit N (120 ; 225), on a donc E(X) = 120. Le poids moyen d’une ration de viande est donc de 120g.
2°) On cherche à calculer P( 110 ≤ X ≤ 135)
Avant d’utiliser la calculatrice, il faut commencer par trouver σ. En effet les paramètres de la loi normale sont μ
et σ² mais la calculatrice travaille avec μ et σ.
σ² = 225 donc σ = 15
3°) On commence par calculer P(X > 130).
A la calculatrice on peut directement faire :
On peut aussi faire la transformation : P(X > 130) = 0,5 – P( 120 < X < 130) En utilisant la symétrie de la
Gaussienne par rapport à la droite d’équation x = μ.
On retrouve :
Donc en arrondissant au millième, on trouve que sur 850 repas, on a 850 x 0,252 ≃ 214 repas dont la ration de
viande dépassait 130g.
Se ramener à la loi normale centrée réduite
REMARQUE :
Lorsque X suit la loi N (μ ; σ²), il peut être nécessaire de se ramener à la loi normale centrée réduite.
X−µ
En effet, par définition X suit N (μ ; σ²) signifie que T =
suit N (0 ; 1).
σ
EXERCICE 3 : (Résoudre une équation avec une loi normale)
La variable aléatoire X suit la loi normale N (μ ; σ²) avec μ = 90 et σ = 20.
Les résultats seront arrondis au dixième le plus proche.
1°) Déterminer le réel k1 tel que P(X < k1) = 0,98.
2°) Déterminer le réel k2 tel que P(X > k2) = 0,6.
3°) Déterminer un intervalle I de centre μ tel que P(X ∈ I) = 0,85.
1°) Il suffit de faire le calcul directement avec la calculatrice :
On trouve k1 ≃ 131,1
2°) Il faut commencer par se ramener à une formule du type : P( X ≤ t) = c, afin de pouvoir utiliser la
calculatrice. On a : P(X > k2) = 1 – P(X ≤ k2)
D’où P(X > k2) = 0,6 ⇔ 1 – P(X ≤ k2) = 0,6 ⇔ P(X ≤ k2) = 0,4
On trouve k2 ≃ 84,9
3°) Parfois la calculatrice ne peut pas nous aider avec une loi normale de paramètres μ et σ² quelconques, il faut
donc utiliser la définition afin de se ramener à une loi normale centrée réduite.
X − µ X − 90
Par définition X suit N (90 ; 20²) signifie que T =
suit N (0 ;1).
=
20
σ
On cherche un intervalle de centre μ, c'est-à-dire on cherche le réel positif h tel que :
P( μ – h ≤ X ≤ μ + h) = 0,85
P( μ – h ≤ X ≤ μ + h ) = 0,85 ⇔ P( 90 – h ≤ X ≤ 90 + h) = 0,85
 90 − h − 90 X − 90 90 + h − 90 
⇔ P
≤
≤
 = 0,85
20
20
20


 −h
h 
⇔ P
≤T ≤
 = 0,85
20
20


 h 
⇔ 2 Φ
 - 1 = 0,85
 20 
 h 
⇔ Φ
 = 0,925
 20 
On en déduit :
h
≃ 1,44, d’où h = 28,8 donc I = [ 90 – 28,8 ; 90 + 28,8] = [ 61,2 ; 118,8 ]
20
Représentation graphique de la densité de probabilité associée à
une loi normale de moyenne μ et d’écart type σ.
On utilise la fonction
Dans le cas d’une loi normale quelconque : N ( μ ; σ²) on fait :
(Dans l’exemple choisi, on a μ = 50 et σ = 2)
Attention à bien régler la fenêtre graphique, la courbe doit être symétrique par rapport à x = μ