Devoir Maison – Arithmétique – version C

Devoir Maison – Arithmétique – version B
3A – à rendre le mardi 9 mars
Elèves concernés : Théo, Abraham, Emmeli, Audrey, Joakim, Mathilde, Sara O
Le but de ce devoir est de démontrer des propriétés de certains nombres entiers.
Exemple de démonstration d’une première propriété
On veut prouver que la somme de deux nombres entiers consécutifs quelconques est un nombre impair.
Comme on veut le prouver pour n'importe quels nombres entiers consécutifs, il faut trouver un moyen
d'écrire ces deux nombres. L'astuce consiste à noter n le premier nombre entier, le nombre entier qui suit
n est alors n + 1.
On a donc n et n + 1 deux nombres entiers consécutifs.
Leur somme est : n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1
Or 2n est un nombre pair (puisqu'il est multiple de 2) et, comme 2n est un nombre pair, 2n + 1 est un
nombre impair, puisque le nombre entier suivant un nombre pair est un nombre impair.
On a donc prouvé que la somme de deux nombres entiers consécutifs est un nombre impair.
Remarques
⚫ Un nombre entier pair est donc de la forme 2n, n étant un nombre entier,
⚫ Un nombre entier impair est donc de la forme 2n + 1, n étant un nombre entier,
⚫ Pour prouver qu'un nombre entier est pair, il suffit de démontrer qu'il est un multiple de 2,
⚫ Pour prouver qu'un nombre entier est impair, il suffit de démontrer qu'il est la somme de 1 et d'un
multiple de 2.
Énoncé du devoir
I) En s'inspirant de l'exemple ci-dessus, démontrer les propriétés suivantes :
1)
2)
3)
4)
5)
Le carré d'un nombre entier pair est un nombre pair.
Le carré d'un nombre entier impair est un nombre impair.
La somme de deux nombres entiers pairs est un nombre pair.
La somme de deux nombres entiers impairs est un nombre pair.
En utilisant les résultats précédents, démontrer que le produit de deux nombres entiers consécutifs est
un nombre pair. On pourra distinguer deux cas : celui où le premier nombre est pair et celui où le
premier nombre est impair.
6) Démontrer que la somme de trois nombres consécutifs est un multiple de 3
II) Démontrer également les propriétés suivantes :
7) Démontrer : « Si un nombre est divisible par 9 alors il est divisible par 3 ». La proposition réciproque
est-elle vraie ? Justifier.
8) Démontrer que tous les nombres de trois chiffres identiques sont divisibles par 37.
9) Démontrer la propriété vue en cours (II-2) : Si a et b sont deux entiers naturels avec a > b, alors
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b) (voir la question A de l’activité 4 page 53 pour vous aider et aussi le
corrigé de la question A de l’activité 5 page53)
Devoir Maison – Arithmétique – version A
3A – à rendre le mardi 9 mars
Elèves concernés : Olivia, Leslie, Hélène, Paul, Lukas, Thibaut, Charlotte, Anita, Carla
Exercices 135 et 125 page 64
Devoir Maison – Arithmétique – version C
3A – à rendre le mardi 9 mars
Elèves concernés : Felicia, Sara A, Mehdi, Amin, Amine, Laura, Christina
Exercices 95 et 100 page 64
Corrigé du devoir Maison – Arithmétique – version C
3A – à rendre le mardi 9 mars
Elèves concernés : Felicia, Sara A, Mehdi, Amin, Amine, Laura, Christina
Corrigé du devoir Maison – Arithmétique – version A
3A – à rendre le mardi 9 mars
Elèves concernés : Olivia, Leslie, Hélène, Paul, Lukas, Thibaut, Charlotte, Anita, Carla