Convergence des variables aléatoires

Convergence des variables aléatoires
I) L’inégalité de Bienaymé – Tchebychev
1.1) L’inégalité de Markov dans le cas discret
On considère une variable  discrète non négative, d’espérance  strictement positive.
Soit λ un réel strictement positif.
Puisque  est non négative, on a 
Appelons  et  les sous-ensembles de  définis par
On a   
Comme   on a  et donc
D’autre part, 
Donc 
Donc 
Soit en divisant par  
Or 
On en déduit l’inégalité de Markov : 
Exemple
Si   on a 
L’inégalité de Markov donne par exemple :
Donc si dans une urne il y a trois boules, deux noires et une blanche, indiscernables au toucher, la
probabilité de devoir attendre plus de 60 tirages avec remise pour obtenir pour la première fois la
boule blanche est inférieure ou égale à 5%.

Ce résultat est en fait assez imprécis, car
Et donc 
1.2) L’inégalité de Markov dans le cas continu
Soit  une variable de densité  nulle sur   admettant une espérance strictement positive.
Soit λ un nombre réel strictement positif.
On a  
On peut écrire alors  
La fonction  est positive sur  Comme  on a
Donc  
Sur l’intervalle  on a  et donc
Les bornes étant dans le bon ordre, on a
Et donc  
Ce qui donne en définitive :  
En divisant par on obtient : 
Or  
On retrouve l’inégalité de Markov : 
Exemple
La durée d’une communication téléphonique en minutes est une variable aléatoire continue dont on
supposera qu’elle suit une loi exponentielle de paramètre 1.

On a donc 
On a 
Dans ce modèle, la probabilité qu’une communication dure plus de 10 minutes est inférieure à 0,1. Ce
qui revient à dire qu’il y a moins de 10% des communications dont la durée dure plus de 10 minutes.
Là encore le résultat est très imprécis :
Il y a donc en réalité moins de 5 chances sur 100000 qu’une communication dure plus de 10 minutes
(ce qui en fait montre que ce modèle n’est pas très réaliste)
1.3) L’inégalité de Bienaymé – Tchebychev dans le cas discret
On considère une variable discrète  admettant une espérance mathématique  et une variance
 non nulle.
Soit  un nombre réel strictement positif.
On a 
Soit  la variable aléatoire définie par 
On a donc 
Donc dans le cas discret en appliquant l’inégalité de Markov en prenant :
On obtient  
Ce qui donne 
Or 
On en déduit que 
1.4) L’inégalité de Bienaymé – Tchebychev dans le cas continu
On considère une variable continue  admettant une espérance mathématique  et une variance
 non nulle.
Soit  une densité de probabilité de 
On a 
Considérons pour  l’ensemble défini par

Ce qui revient à dire que 
L’ensemble  peut se décrire de la façon suivante :
De même 
On a  
On a donc par incompatibilité
On a
On a évidemment 
Comme  alors
Donc  
Pour , on a  Ce nombre étant négatif, on a
Donc 
Les bornes étant dans le bon ordre, on a :
De même, on a pour  
Donc 
Et donc 
Les bornes étant dans le bon ordre
On a donc

Donc 
Donc 
Donc 
Ce qui donne enfin 
On a 
On en déduit l’inégalité dite de Bienaymé – Tchebychev :
Applications :
Si  on a  et 
On aura par exemple 
Or d’après l’inégalité de Bienaymé – Tchebychev, on a
Donc 
Donc 
Ou encore 
Deuxième exemple :
Soit  la variable aléatoire donnant la note en math au concours Ecricome. On sait que par
construction 
On aura 
Or 
Donc 
On en déduit que