Intégrale de Lebesgue

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Chapitre 2
Intégrale de Lebesgue
2.1 Rappels sur l’intégrale de Riemann
Soit fbornée sur un intervalle [a,b]fini de IR, et soit x1,...,xnun ensemble fini de points de [a,b]tels que a=x0<
x1< ... < xn<b=xn+1. On considère alors un ensemble de ζk,k=1,...,n +1tel que pour tout k∈[1,n +1], on ait
xk−1<ζ
k<x k
abx1 x2
ξ2
On peut donc définir une somme Sntelle que :
Sn=
n+1
k=1
f(ζk)(xk−xk−1)
Si, quand n→∞de manière à ce que |xk−xk−1|→0pour tout kde [1,n], la somme Sntend vers une limite
indépendante du choix des xket des ζk, alors cette limite est appelée intégrale de fau sens de Riemann sur le
segment [a,b]et est notée : b
a
f(x)dx
Définition :
2.2 Notion de mesure (mesure de Lebesgue)
Soit Eun sous-espace de IR, et soit (Ij)j∈Jun recouvrement de Epar un ensemble fini ou infini dénombrable
d’intervalles ouverts de E.
Rappels
–Eest dénombrable s’il existe une bijection entre Eet une partie de IN (ou IN lui-même).
Exemple : les rationnels de [0,1] forment un ensemble dénombrable (on peut les dénombrer en considérant la
suite : 0,1,1
2,1 3,2 3,1 4,3 4,1 5,...).
L’ensemble des irrationnels de [0,1] est indénombrable.
–soitFune famille d’intervalles de IR. On dit que Fest un recouvrement de Esi tout point de Eappartient à
au moins un élément de F.

30 CHAPITRE 2. INTÉGRALE DE LEBESGUE
On appelle mesure extérieure de Ela quantité Mext(E)= inf
(Ij)j∈J
j∈J
l(Ij)avec l(Ij)la longueur de l’intervalle Ij.
Définition : Mesure extérieure de E
Remarque
1. Mext(∅)=0.
2. Mext(E)0.
3. Si A⊂B, alors Mext(A)Mext(B).
4. Mext(E)peut être finie ou infinie.
Soit Eun sous-espace de IR tel que sa mesure extérieure soit finie. Soit F(E)l’ensemble de toutes les parties
fermées de E. On appelle mesure intérieure de E,
Mint(E) = sup
K⊂F(E)Mext(K)
Définition : Mesure intérieure de E
Remarque
On a toujours Mint(E)Mext(E).
Si Mint(E)=Mext(E), on dit que Eest mesurable au sens de Lebesgue.
On pose alors µ(E)=Mint(E)=Mext(E).
Définition : Notion d’espace mesurable
Soit Eun sous espace de la droite réelle, de mesure extérieure infinie. On dit que Eest mesurable au sens de
Lebesgue si Eest l’union d’une infinité dénombrable d’ensembles mesurables au sens de Lebesgue et de mesure
extérieure finie, deux à deux disjoints. Alors, on dit que la mesure de Eest infinie, µ(E)=+∞.
Définition : Mesurabilité d’un ensemble de mesure extérieure infinie
Remarque
Soit Aet Bdeux ensembles disjoints et mesurables, on a
µ(A∪B)=µ(A)+µ(B).
Proposition
Tout intervalle borné est mesurable. De plus, si b>a,(a,b)∈IR 2alors :
µ([a,b]) = µ(]a,b[) = µ([a,b[) = µ(]a,b]) = b−a
Proposition
Tout ensemble dénombrable de points est de mesure nulle.
Démonstration
–SiEest fini, alors on peut écrire E={x1,...,xn}avec n∈IN fini.
Soit ε>0. On définit la suite d’intervalles Ij(ε)=]xj−ε
2n,xj+ε 2n[,j=1...n. L’ensemble des Ij(ε)forme un
recouvrement de Eet :
Mext(E)=
n
j=1
l(Ij(ε)) = ε
On a donc Mext(E)=0et par suite µ(E)=0.

2.3. FONCTIONS LEBESGUE-MESURABLES 31
–SiEest un ensemble infini dénombrable, alors il est en bijection avec IN. Il suffit donc de montrer que la mesure
de Nest nulle.
Pour ε>0on recouvre Epar l’ensemble infini dénombrable d’intervalles ouverts Ij(ε)=]j−ε
2j+1 ,j +ε 2j+1 [.On
se ramène a la somme d’une série géométrique de raison inférieure à 1, donc convergente :
N
j=1
l(Ij(ε)) =
N
j=1
ε
2n=ε
On a donc Mext(E)=Mext(N)=0et par suite µ(E)=µ(IN )=0.
Remarque
La réciproque est fausse : il existe des sous ensembles de IR indénombrables mais de mesure nulle (par exemple
l’ensemble triadique de Cantor).
Exemples
1. E=Q∩[0,1].Onaµ(E)=0car c’est un ensemble dénombrable.
2. E=(IR \Q)∩[0,1].Onaµ(E)=1car E∪E=[O,1] et que Eet Esont disjoints.
Une propriété est dite vraie presque partout si l’ensemble des points où elle n’est pas vérifiée est de mesure nulle.
Définition :
Exemple
La fonction caractéristique des irrationnels inclus dans [0,1] (ou fonction de Dirichlet) est égale à 1 presque
partout sur [0,1].
fD(x)=1si x∈IR \Q∩[0,1]
0si x∈Q∩[0,1]
2.3 Fonctions Lebesgue-mesurables
Soit fune fonction définie sur un sous-espace E de IR mesurable.
La fonction fest dite Lebesgue-mesurable si, ∀a∈IR, l’ensemble {x∈E/f(x)<a}est un ensemble mesurable.
Définition :
2.4 Fonctions étagées
Soit Eun sous-espace mesurable de IR. On notera χEla fonction caractéristique de E, c’est à dire la fonction qui
prend la valeur 1sur tout élément de Eet 0 sinon.
On appelle fonction étagée toute fonction de la forme : f(x)=
n
i=1
yiχEi(x),avec:
•n∈IN (n<∞)
•les yides réels
•les Eides ensembles mesurables deux à deux disjoints.
Définition :

32 CHAPITRE 2. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Remarque
–fne prend qu’un nombre fini de valeurs différentes.
– Si les Eisont des intervalles alors fest dite en escalier.
Exemples
–f(x)=1
2si x∈[0,1]
0sinon
– la fonction de Dirichlet est réelle étagée.
2.5 Intégrale de Lebesgue d’une fonction étagée positive
Soit fune fonction étagée positive (i.e. yi∈IR +). On appelle intégrale de Lebesgue le nombre :
fdµ=
n
i=1
yiµ(Ei)
avec les précisions suivantes :
•si yi=0et si la mesure de Eiest infinie, alors yiµ(Ei)=0,
•fdµ0(mais peut être infinie).
Définition :
Proposition
L’intégrale de Lebesgue d’une fonction positive étagée est finie si et seulement si µ{x/f(x)=0}est finie.
Soit Aun sous-ensemble mesurable de IR, on définit l’intégrale de fsur A:
A
fdµ=fχ
Adµ =
n
i=1
yiµ(Ei∩A)
Définition :
Exemple
On considère fDla fonction de Dirichlet. On peut écrire, pour tout x∈IR :
fD(x)=0χQ∩[0,1] +1χ(IR \Q)∩[0,1]
Si on prend A=[0,1] alors :
A
fDdµ =0µ(Q∩[0,1] ∩A)+1µ((IR \Q)∩[0,1] ∩A)
d’où
A
fDdµ =1

2.6. INTÉGRALE DE LEBESGUE D’UNE FONCTION RÉELLE POSITIVE 33
2.6 Intégrale de Lebesgue d’une fonction réelle positive
Soit fune fonction Lebesgue-mesurable positive, on définit Σ(f)l’ensemble des fonctions étagées positives infé-
rieures ou égales à f.
On appelle intégrale de Lebesgue de fle nombre, éventuellement infini, tel que : fdµ=sup
e∈Σ(f)edµ
ab
ηk Jk
dµ
Définition :
La fonction est dite sommable au sens de Lebesgue si fdµest finie.
Définition :
2.7 Intégrale de Lebesgue d’une fonction réelle
Soit fune fonction à valeurs réelles. On peut définir deux fonctions auxiliaires f+etf−par :
f+(x)=f(x)si f(x)0
0sinon
f−(x)=−f(x)si f(x)0
0sinon
On a alors f=f+−f−.