Devoir maison 2 Exercice 1 - Licence de mathématiques Lyon 1

Devoir maison 2
Exercice 1 :
1°) Calculer le PGCD de 8303 et 2717 et donner l'identité de Bézout correspondante.
2°) En déduire le PPCM de 8303 et 2717.
3°) Calculer le PGCD de 1001 et 315 et donner l'identité de Bézout correspondante.
Correction
1°) 8303 3 2717 152 ; 2717 17 152 133 ; 152 1 133 19 ; 133 7 19 0.
19 152 1 133 152 1 2717 17 152 1 2717 18 152
1 2717 18 8303 3 2717 18 8303 55 2717
Et 8303,2717 19
2°) 1187329
3°) 1001 3 315 56 ; 315 5 56 35 ; 56 1 35 21 ; 35 1 21 14 ; 21 1 14 7 ;
14 2 7 0.
7 21 1 14 21 1 35 1 21 1 35 2 21 1 35 2 56 1 35
2 56 3 35 2 56 3 315 5 56 3 315 17 56
3 315 17 1001 3 315 17 1001 54 315
Exercice 2 :
Soit ! , est-ce que les nombres 2" et 3" 1 sont premiers entre eux ?
Correction
Si " 1, 2" 2 et 3" 1 4, ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux donc les nombres 2" et
3" 1 ne sont pas toujours premiers entre eux.
La question était un peu ambigüe, on pouvait comprendre « y-a-t-il des nombres " telle que 2" et 3" 1 soient
premiers entre eux » ou encore « pour quelles valeurs de " les nombres 2" et 3" 1 sont premiers entre
eux ? ». Donc je vais répondre à toutes ces questions.
On remarque que
2 3" 1 3 2" 2
Donc # 2", 3" 1 divise 2, leur PGCD est donc 1 ou 2.
Premier cas si " 2$ 1, 2" 4$ 2 et 3" 1 32$ 1 1 6$ 4 donc 2 divise ces deux
nombres, ils ne sont pas premiers entre eux.
Deuxième cas si " 2$, 2" 4$ et 3" 1 6$ 1, les seuls diviseurs positifs possibles de ces deux
nombres sont 1 et 2, or 2 ne divise pas 3" 1 6$ 1 donc leur seul diviseur commun est 1, ils sont
premiers entre eux.
On aurait pu chercher une identité de Bézout entre 4$ et 6$ 1, mais c’est assez compliqué, je vous en donne
une quand même : 3$ 14$ 2$ 16$ 1 1 (obtenu avec la méthode de Gauss), cela prouve
aussi que le PGCD de 4$ et 6$ 1 est 1.
Exercice 3 :
Soit " !. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré d'un nombre impair égal à 1.
Correction
Soit 2" 1 un nombre impair.
"" 1
2" 1 4" 4" 1 8 1
2
%%&
Comme on l’a déjà vu est un entier (Si on n’est pas convaincu on fait le cas où " est pair et le cas où "
est impair), l’égalité est donc la division euclidienne de 2" 1 par 8 car le reste 1 vérifie bien : 0 ' 1 ( 8.
Le reste de la division de 2" 1 par 8 est 1.
Autre méthode :
"
"
1
1
3
9 ) 1 *8+
5
25 ) 1 *8+
7
49 ) 1 *8+
Donc tout nombre impairs au carré est congru à 1 modulo 8, comme 0 ' 1 ( 8 1 est bien le reste de la division
euclidienne de " par 8. Je ne rajoute pas cela pour faire jolie car ces nombres sont aussi congru à 9 modulo 8
et 9 n’est pas le reste de la division euclidienne de " par 8.
Exercice 4 :
Résoudre dans , , les équations suivantes :
1°) 3- 5. 13
2°) 212- 45. 3
3°) 42- 45. 4
Correction
1°) Une identité de Bézout entre 3 et 5 est 2 3 5 1, on multiplie cette égalité par 13 :
26 3 13 5 13
On soustrait 3- 5. 13 et 26 3 13 5 13 :
3- 26 5. 13 0 / 3- 26 5. 13
D’après le théorème de Gauss, comme 3 divise 5. 13 et que 3 et 5 sont premiers entre eux, 3 divise
. 13, il existe donc 0 , tel que : . 13 30, d’où . 13 30, on remplace cela dans 3- 26 5. 13, cela donne 3- 26 5 30 / - 26 50 / - 26 50. Les solutions sont :
1 226 50, 13 30, 0 ,3
2°) Il faut d’abord trouver une solution particulière de 212- 45. 3, pour cela on va écrire une équation de
Bézout entre 212 et 45, ici c’est moins évident que dans le 1.
212 4 45 32 ; 45 1 32 13 ; 32 2 13 6 ; 13 2 6 1 ; 6 6 1 0
1 13 2 6 13 2 32 2 13 2 32 5 13 2 32 5 45 1 32
5 45 7 32 5 45 7 212 4 45 7 212 33 45
On a 1 7 212 33 45, on multiplie cette égalité par 3 : 3 21 212 99 45
On soustrait cette égalité à 212- 45. 3, on trouve
21 - 212 99 . 45 0 / 4599 . 21221 -
D’après le théorème de Gauss, comme 45 et 212 sont premiers entre eux et que 45 divise 21221 -, 45
divise 21 -, il existe 0 , tel que 21 - 450 / - 21 450, on remplace cette égalité dans
4599 . 21221 -, on trouve alors que :
4599 . 212 450 / 99 . 2120 / . 2120 99
L’ensemble des solutions est 1 221 450, 99 21203
3°) 42 3 14 et 45 3 15 donc le 42,45 3 or 4 n’est pas un multiple de 3, donc il n’y a pas de
solution.
Exercice 5 :
Montrer que pour tout " , l'entier 3%& 44%& est un multiple de 11.
Correction
3%& 44%& 3 3% 4 44 % 27 3% 16 16 16% ) 5 3% 5 5 5% *11+
) 5 3% 5 25% *11+ ) 5 3% 5 3% *11+ ) 0 *11+
Donc 3%& 44%& est un multiple de 11.
Exercice 6 :
Montrer que 3 divise 5 6 si et seulement si 3 divise 5 6. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.
Correction
Avec le petit théorème de Fermat, comme 3 est premier, 5 ) 5 *3+ et 6 ) 6 *3+,
5 6 ) 0 *3+ / 5 6 ) 0 *3+
Barème
Exercice 1 :
1°) 2 points
2°) 1 point
3°) 2 points
Exercice 2 :
1 point (il suffisait de trouver un contre exemple)
Exercice 3 :
3 points
Exercice 4 :
1°) 2 points
2°) 3 points
3°) 1 point
Exercice 5 :
3 points
Exercice 6 :
2 points