Devoir maison 2 Exercice 1 - Licence de mathématiques Lyon 1
Devoir maison 2
Exercice 1 :
1°) Calculer le PGCD de 8303 et 2717 et donner l'identité de Bézout correspondante.
2°) En déduire le PPCM de 8303 et 2717.
3°) Calculer le PGCD de 1001 et 315 et donner l'identité de Bézout correspondante.
Correction
1°) ; ; ; .
Et
2°)
3°) ; ; ; ; ;
.
Exercice 2 :
Soit , est-ce que les nombres et sont premiers entre eux ?
Correction
Si , et , ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux donc les nombres et
ne sont pas toujours premiers entre eux.
La question était un peu ambigüe, on pouvait comprendre « y-a-t-il des nombres telle que et soient
premiers entre eux » ou encore « pour quelles valeurs de les nombres et sont premiers entre
eux ? ». Donc je vais répondre à toutes ces questions.
On remarque que
Donc divise 2, leur PGCD est donc 1 ou 2.
Premier cas si , et donc 2 divise ces deux
nombres, ils ne sont pas premiers entre eux.
Deuxième cas si , et , les seuls diviseurs positifs possibles de ces deux
nombres sont 1 et 2, or 2 ne divise pas donc leur seul diviseur commun est 1, ils sont
premiers entre eux.
On aurait pu chercher une identité de Bézout entre et , mais c’est assez compliqué, je vous en donne
une quand même : (obtenu avec la méthode de Gauss), cela prouve
aussi que le PGCD de et est 1.
Exercice 3 :
Soit . Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré d'un nombre impair égal à 1.
Correction
Soit un nombre impair.
Comme on l’a déjà vu
est un entier (Si on n’est pas convaincu on fait le cas où est pair et le cas où
est impair), l’égalité est donc la division euclidienne de par 8 car le reste 1 vérifie bien : .
Le reste de la division de par 8 est 1.
Autre méthode :
Donc tout nombre impairs au carré est congru à 1 modulo 8, comme 1 est bien le reste de la division
euclidienne de par 8. Je ne rajoute pas cela pour faire jolie car ces nombres sont aussi congru à 9 modulo 8
et 9 n’est pas le reste de la division euclidienne de par 8.
Exercice 4 :
Résoudre dans les équations suivantes :
1°) 2°) 3°)
Correction
1°) Une identité de Bézout entre 3 et 5 est , on multiplie cette égalité par 13 :
On soustrait et :
D’après le théorème de Gauss, comme 3 divise et que 3 et 5 sont premiers entre eux, 3 divise
, il existe donc tel que : , d’où , on remplace cela dans
, cela donne . Les solutions sont :
2°) Il faut d’abord trouver une solution particulière de , pour cela on va écrire une équation de
Bézout entre 212 et 45, ici c’est moins évident que dans le 1.
; ; ; ;
On a , on multiplie cette égalité par 3 :
On soustrait cette égalité à , on trouve
D’après le théorème de Gauss, comme 45 et 212 sont premiers entre eux et que 45 divise , 45
divise , il existe tel que , on remplace cette égalité dans
, on trouve alors que :
L’ensemble des solutions est
3°) et donc le or 4 n’est pas un multiple de 3, donc il n’y a pas de
solution.
Exercice 5 :
Montrer que pour tout , l'entier est un multiple de 11.
Correction
Donc est un multiple de 11.
Exercice 6 :
Montrer que 3 divise si et seulement si 3 divise . On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.
Correction
Avec le petit théorème de Fermat, comme 3 est premier, et ,
Barème
Exercice 1 :
1°) 2 points
2°) 1 point
3°) 2 points
Exercice 2 :
1 point (il suffisait de trouver un contre exemple)
Exercice 3 :
3 points
Exercice 4 :
1°) 2 points
2°) 3 points
3°) 1 point
Exercice 5 :
3 points
Exercice 6 :
2 points
1
/
2
100%
