Devoir maison 2 Exercice 1 - Licence de mathématiques Lyon 1

Devoir maison 2
Exercice 1 :
1°) Calculer le PGCD de 8303 et 2717 et donner l'identité de Bézout correspondante.
2°) En déduire le PPCM de 8303 et 2717.
3°) Calculer le PGCD de 1001 et 315 et donner l'identité de Bézout correspondante.
Correction
1°)        ;        ;        ;       .
Et    
2°)   
3°)        ;        ;        ;        ;        ;
      .
Exercice 2 :
Soit   , est-ce que les nombres  et    sont premiers entre eux ?
Correction
Si   ,    et     , ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux donc les nombres  et
   ne sont pas toujours premiers entre eux.
La question était un peu ambigüe, on pouvait comprendre « y-a-t-il des nombres  telle que  et    soient
premiers entre eux » ou encore « pour quelles valeurs de  les nombres  et    sont premiers entre
eux ? ». Donc je vais répondre à toutes ces questions.
On remarque que
Donc       divise 2, leur PGCD est donc 1 ou 2.
Premier cas si     ,      et             donc 2 divise ces deux
nombres, ils ne sont pas premiers entre eux.
Deuxième cas si   ,    et       , les seuls diviseurs positifs possibles de ces deux
nombres sont 1 et 2, or 2 ne divise pas        donc leur seul diviseur commun est 1, ils sont
premiers entre eux.
On aurait pu chercher une identité de Bézout entre  et   , mais c’est assez compliqué, je vous en donne
une quand même :         (obtenu avec la méthode de Gauss), cela prouve
aussi que le PGCD de  et    est 1.
Exercice 3 :
Soit   . Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré d'un nombre impair égal à 1.
Correction
Soit    un nombre impair.
Comme on l’a déjà vu 
 est un entier (Si on n’est pas convaincu on fait le cas où  est pair et le cas où 
est impair), l’égalité est donc la division euclidienne de    par 8 car le reste 1 vérifie bien :     .
Le reste de la division de    par 8 est 1.
Autre méthode :
Donc tout nombre impairs au carré est congru à 1 modulo 8, comme      1 est bien le reste de la division
euclidienne de  par 8. Je ne rajoute pas cela pour faire jolie car ces nombres sont aussi congru à 9 modulo 8
et 9 n’est pas le reste de la division euclidienne de  par 8.
Exercice 4 :
Résoudre dans    les équations suivantes :

1°)      2°)      3°)     
Correction
1°) Une identité de Bézout entre 3 et 5 est       , on multiplie cette égalité par 13 :
On soustrait      et          :
D’après le théorème de Gauss, comme 3 divise    et que 3 et 5 sont premiers entre eux, 3 divise
  , il existe donc    tel que :     , d’où     , on remplace cela dans   
  , cela donne                  . Les solutions sont :
2°) Il faut d’abord trouver une solution particulière de     , pour cela on va écrire une équation de
Bézout entre 212 et 45, ici c’est moins évident que dans le 1.
       ;        ;        ;        ;       
On a         , on multiplie cette égalité par 3 :         
On soustrait cette égalité à     , on trouve
D’après le théorème de Gauss, comme 45 et 212 sont premiers entre eux et que 45 divise   , 45
divise   , il existe    tel que           , on remplace cette égalité dans
     , on trouve alors que :
L’ensemble des solutions est        
3°)      et      donc le   or 4 n’est pas un multiple de 3, donc il n’y a pas de
solution.
Exercice 5 :
Montrer que pour tout   , l'entier    est un multiple de 11.
Correction
Donc    est un multiple de 11.
Exercice 6 :
Montrer que 3 divise   si et seulement si 3 divise   . On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.
Correction
Avec le petit théorème de Fermat, comme 3 est premier,   et  ,
Barème
Exercice 1 :
1°) 2 points
2°) 1 point
3°) 2 points
Exercice 2 :
1 point (il suffisait de trouver un contre exemple)
Exercice 3 :
3 points
Exercice 4 :
1°) 2 points
2°) 3 points
3°) 1 point
Exercice 5 :
3 points
Exercice 6 :
2 points