champs-et-interactions

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Table des matières
I. Buts de la physique.......................................................................................................... 3
II. Les interactions ............................................................................................................... 5
II.1. Types d’interaction à distance ................................................................................. 5
II.2. Champ classique ....................................................................................................... 5
II.2.1. Expression du champ gravitationnel ................................................................. 5
II.2.2. Expression du champ électrostatique ............................................................... 6
II.3. Forces ....................................................................................................................... 7
II.3.1. Lien avec le champ ............................................................................................ 7
II.3.2. Caractéristiques d’une force ............................................................................. 8
II.3.3. Force de contact ................................................................................................ 9
III. Systèmes de coordonnées ............................................................................................ 9
III.1. Coordonnées cartésiennes ...................................................................................... 9
III.2. Coordonnées polaires ........................................................................................... 10
IV. Cinématique ................................................................................................................ 13
IV.1. Référentiel............................................................................................................. 13
IV.2. Vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes ......................................... 13
IV.2.1. Vitesse d’un point matériel ............................................................................ 13
IV.2.2. Accélération d’un point matériel ................................................................... 15
IV.3. Vitesse et accélération en coordonnées polaires ................................................. 15
V. Dynamique du point..................................................................................................... 17
V.1. Définition et principe fondamental de la dynamique ........................................... 17
V.2. Applications à des mouvements typiques ............................................................. 17
V.2.1. Corps sur un plan incliné ................................................................................. 17
2
V.2.2. Objet lancé ...................................................................................................... 17
V.2.3. Particule dans un champ électrique ............................................................... 17
V.2.4. Paticule dans un champ magnétique .............................................................. 17
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Champs et Interactions
I. Buts de la physique
La physique provient du mot  qui signifie nature. La physique est donc dédiée à
tout ce qui concerne la nature et sa compréhension. Au cours des âges, la physique a bien
sûr évolué. On peut schématiser à l’extrême cette évolution (Figure 1).
Figure 1
4
La physique a d’abord été mise sous le contrôle de la métaphysique (ce qui est au-delà
de la physique). Tout était sous le signe de l’unité, de la perfection. Il n’y avait pas de
disciplines de la physique. Au cours de l’évolution, des disciplines ont vu le jour. On a vu
émerger l’optique, puis la mécanique, ensuite la thermodynamique, l’électromagnétisme, les
ondes, et enfin la physique atomique et nucléaire.
De plus, la physique a aujourd’hui de nombreuses connexions avec la chimie, ou la
biologie. Cependant, on voit apparaître un souci de réunification des disciplines.
Un des problèmes et soucis majeurs pour les chercheurs, les enseignants, et les
étudiants, est le lien entre physique et mathématique qui conduit, pour les physiciens, à une
interprétation possible des phénomènes existants. Le hiatus réside dans le fait que, trop
souvent, les physiciens se servent des mathématiques comme un refuge. Néanmoins, ce lien
existe, et il est nécessaire d’en dire quelques caractéristiques.

On peut très bien décrire et interpréter les phénomènes de la nature sans
utiliser les mathématiques. C’est vrai notamment lorsque un enseignant, qui luimême connait bien un sujet aussi bien du point de vue de la physique que des
mathématiques, essaie de décrire le sujet “avec les mains”. Par exemple, sans
traiter les forces, la gravitation, le principe fondamental de la dynamique,
mathématiquement, je peux néanmoins décrire en détail le mouvement d’un
objet que l’on lance.

Sans lien entre mathématique et physique, on peut se tromper dans la
description d’un phénomène. Prenons l’exemple d’un pendule dans une voiture
à l’arrêt. La voiture accélère avec une accélération constante. On est tenté de
penser que le pendule recule et prend une position d’équilibre vers l’arrière,
avec un angle  constant. Or il n’en est rien. Le pendule va osciller autour de
cette position d’équilibre. Les frottements vont faire en sorte que l’oscillation va
cesser au bout d’un certain temps, le pendule restant ainsi avec un angle .

La mathématisation d’un problème, c'est-à-dire la formulation mathématique,
dépend du modèle utilisé, et de la théorie que l’on croît bonne. Prenons
l’exemple de l’électron attaché à un noyau. Si l’on suppose que l’électron tourne
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autour du noyau, la mise en équation est simple. Par contre, si l’on utilise la
mécanique quantique, la formulation devient plus complexe.
Dans les six semaines à venir, il y aura bien sûr une formulation mathématique, mais
l’interprétation physique sera prépondérante.
II. Les interactions
II.1. Types d’interaction à distance
Il y a quatre types d’interactions : gravitationnelle, électromagnétique, faible et forte.
L’interaction gravitationnelle, attractive, met en jeu des particules ayant une masse.
L’interaction électromagnétique, attractive ou répulsive, concerne des particules chargées.
L’interaction forte est responsable de la cohésion des noyaux, et l’interaction faible est
responsable de la désintégration de noyaux. Les deux premières interactions sont à longue
portée, alors que les deux dernières sont à courte portée.
II.2. Champ classique
Auparavant, les interactions classiques (gravitationnelles et électromagnétiques) étaient
d’abord décrites par des forces, car c’était la partie visible des phénomènes. Par exemple, on
dit que la Terre et la Lune s’attirent, donc que chacune des deux masses exercent une force
attractive sur l’autre. Pour n pas tomber l’une sur l’autre, la Lune tourne autour de la Terre,
et la Terre tourne autour de la Lune. Aujourd’hui, on parle d’abord de champ. Champ de
gravitation pour les masses, champ électromagnétique pour les charges.
Formellement, un champ est une application qui, à tout point de l’espace, fait
correspondre un nombre (champ de scalaires) ou un vecteur (champ de vecteurs).
II.2.1. Expression du champ gravitationnel
Supposons un objet sphérique de masse M, dont le centre est situé en un point O
(Figure 1). Cet objet, à cause de sa masse, crée en tout point A de l’espace un champ que
l’on appellera G . Le point d’application du champ est le point de l’espace considéré. La
direction du champ est la droite (OA). Le vecteur G est dirigé vers O. La norme de G est
proportionnelle à M, et inversement proportionnelle au carré de la distance r = OA.
6
G  G
M
ur
r2
G est la constante de gravitation et est égale environ à 6,67 10-11 SI
Figure 1
II.2.2. Expression du champ électrostatique
Imaginons une charge q en un point A de l’espace. Cette charge crée en tout point M de
l’espace un champ E dont l’expression est
E
La quantité
1
4  o
q
ur
4  o r 2
1
est égale à 9 109. La constante  o est appelée permittivité du vide.
L’expression du champ électrostatique est tout à fait similaire à celle du champ de
gravitation. Il existe une différence fondamentale, du fait que la charge q est positive ou
négative.
La charge q possède aussi une masse. Autrement dit une charge crée à la fois un champ
électrostatique et gravitationnel. Regardons les ordres de grandeur.
A une distance r = 1m, et pour un proton, de masse 2 10-27 kg, de charge 1,6 10-19 C,
7
G = 1,3 10-37 SI
E = 1,3 10-10 SI
Le champ électrique est 1027 fois plus grand que le champ de gravitation. Celui-ci est donc
souvent négligé dans les calculs.
Remarque :
1027 est un nombre très grand, quasiment impossible à rendre compte. Pour donner un
ordre d’idée, c’est 1 milliard de milliards de milliards. Or même 109 est grand. Pour s’en
convaincre, pour compter jusqu’à 1 milliard, il faut quelques années à un homme seul, s’il
compte un par seconde !
II.3. Forces
II.3.1. Lien avec le champ
La notion de force est plus intuitive que celle de champ, car on en voit les effets. Quand
je pousse un vélo, j’exerce une force sur le vélo. C’est pour cette raison que les forces ont
été introduites avant les champs.
Reprenons les deux champs gravitationnel et électrostatique. Un objet de masse M situé
en A crée un champ en un point B de l’espace G  G
M
ur avec r = AB. Supposons qu’un
r2
objet de masse M’ soit en B. A cause du champ créé par A, B subit une force F telle que
F  M'G  G
MM'
ur
r2
F est dirigée de B vers A et est attractive.
De la même manière, B crée un champ en tout point, donc en A, de la forme
G'  G
M'
u r . L’objet A subit ainsi l’action de ce champ, donc une force
r2
F '  MG'  G
M' M
ur
r2
8
On remarque que F  F ' .
Les deux objets sont en interaction. Il en va de même en électrostatique. Deux charges q
et q’ interagissent. Si les deux charges sont de même signe, elles se repoussent. Si elles sont
de signe opposé, elle s’attirent.
II.3.2. Caractéristiques d’une force

Comme une force est un vecteur, elle possède un point d’application, une
direction, un sens, et une intensité.

Attention ! la direction d’une force ne donne pas le sens du mouvement
instantané d’un objet. Prenons l’exemple d’un objet qui, avant t = 0, a un
mouvement rectiligne uniforme (Figure 2).
Figure 2

Supposons qu’un objet ponctuel soit soumis à plusieurs forces. Comme la force
est un vecteur, l’objet, s’il est ponctuel, subit une force totale égale à la somme
des forces individuelles (Figure 3). Autrement dit, on effectue une somme
vectorielle, et non pas une somme des normes.
Figure 3
9

Lorsque la somme des forces appliquées est nulle, l’objet est soit au repos, soit
en mouvement rectiligne uniforme (1er principe de Newton).
II.3.3. Force de contact
Les forces que nous avons décrites précédemment (électrostatique, gravitationnelle)
sont sans contact, ou encore des forces à distance. Outre ces forces, il existe des forces de
contact.
Imaginons un solide posé sur un support (Figure 4). Ce solide est soumis à son poids.
Mais s’il n’y avait que le poids, le solide traverserait le support. Le support résiste au poids,
maintenant l’objet en équilibre. Cette force est appelée réaction du support, et souvent
notée R .
Supposons que le solide soit maintenant sur un plan incliné d’un angle  avec
l’horizontale. Le solide est soumis à son poids, et à la réaction R du support (Figure 5).
Figure 4
Figure 5
La composante du poids perpendiculaire au plan est compensée par la réaction du
support.
III. Systèmes de coordonnées
III.1. Coordonnées cartésiennes
Pour caractériser la norme dune force résultante, il faut pouvoir repérer les forces. A
trois dimensions, le système de coordonnées le plus naturel est le système de coordonnées
cartésiennes, avec un repère formé d’un point origine O et de trois vecteurs de bases
normés et orthogonaux (Figure 6).
10
Figure 6


Dans le repère O, u x , u y , u z , F a pour coordonnées Fx, Fy et Fz. Chacune des
coordonnées est la somme des coordonnées de chacun de vecteurs forces appliqués à
l’objet. La norme de F est F  F  Fx2  Fy2  Fz2 .
III.2. Coordonnées polaires
Le système de coordonnées cartésiennes, s’il est naturel, n’est pas nécessairement le
plus simple à utiliser. Dans des cas spécifiques, ou complexes, d’autres systèmes de
coordonnées sont utilisés : polaire, cylindrique, sphérique, elliptique.
Dans ce cours, nous allons regarder le cas le plus simple, faisant appel aux coordonnées
polaires, très utiles dans le cas d’un mouvement circulaire.


Soit un point M dans un plan (Figure 5), de coordonnées x et y dans une base u x , u y .
OM  xu x  yu y .
On peut changer de base pour caractériser le point M¸ et la choisir de telle manière que
l’expression de OM se simplifie. Prenons un vecteur unitaire u r le long de (OM).
OM  rur
avec r  OM .
11
On remarque que l’expression de OM est plus simple dans la mesure où elle en fait
appel qu’à un seul vecteur de base. Cela signifie-t-il que l’on n’a besoin que de u r ? Non,
parce que M est dans un plan, et qu’un plan est caractérisé par deux vecteurs de base. Le
deuxième vecteur, noté u , est orthogonal à u r , et normé (Figure 7).
Figure 7

Regardons le lien entre u r et u . Les coordonnées de ces vecteurs dans la base u x , u y
sont
ur
urx  cos 
ux   sin
et u
ury  sin
uy  cos 
Les coordonnées de u sont les dérivées des coordonnées de u r . Autrement dit
ux 
uy 
du rx
d
(1)
du ry
d
On note, pour simplifier :
u 
dur
d
(2)

12
Remarques :

La relation (2) n’est qu’une notation. Seules les relations (1) ont une
signification.

La relation (2) montre que dériver un vecteur unitaire par rapport à un angle
conduit à un vecteur unitaire qui a fait une rotation de  / 2.
Montrons que la dérivation donne bien un vecteur unitaire qui a tourné de  / 2 :
dur
u '  ur
par definition (Figure 8)
 lim r
d   '  '
Figure 8
Le vecteur dur  ur '  ur est orthogonal à u r . Calculons la norme de
ur '  ur
2
 cos  ' cos  2  sin ' sin 2
 cos 2  ' cos 2   2 cos  ' cos   sin2  ' sin2   2 sin ' sin
 1  1  2cos  ' cos   sin ' sin 
 2  2 cos '   2  2 cos d
Puisque d est très petit devant 1, cos d  1 
ur '  ur
2
 d 2 
  2  2  d 2  d 2
 2  21 
2 

dur
d

1
d
d
d 2
2
d ur
.
d
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d ur
est donc bien un vecteur unitaire.
d
En mécanique, on souhaite connaître les caractéristiques spatiales et temporelles d’un
objet quelconque. Cet objet est entièrement déterminé, en mécanique classique, par sa
position, sa vitesse et son accélération. Cela signifie que si l’on connaît l’une de ces trois
quantités, les deux autres s’en déduisent. En mécanique classique, on distingue la
cinématique de la dynamique. La cinématique traite le mouvement d’un objet s’en tenir
compte des forces qui ont créé le mouvement. En dynamique, on part des forces appliquées,
et on détermine le mouvement de l’objet à partir de ces forces.
IV. Cinématique
IV.1. Référentiel
Le mouvement d’un objet n’a de sens que par rapport à système d’axes dans lequel se
trouve un observateur. Un tel système d’axe est appelé référentiel. On distingue deux types
de référentiels :

Le référentiel galiléen, ou référentiel absolu, immobile ou mobile avec un
mouvement de translation uniforme. En théorie, aucun référentiel n’est galiléen.
Mais dans la pratique, on peut en trouver en 1ère approximation. Par exemple, un
référentiel lié au soleil (héliocentrique), peut être considéré comme galiléen. Sur
des temps courts et de courtes distances, un référentiel lié à la terre peut aussi
être considéré comme galiléen.

Le référentiel non galiléen, ou référentiel relatif, constitué par tous les autres
référentiels, donc soit n’ayant pas une vitesse uniforme, soit dont le mouvement
n’est pas rectiligne.
IV.2. Vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes
IV.2.1. Vitesse d’un point matériel
Par définition, la vitesse moyenne d’un objet est le rapport entre la distance parcourue
(Figure 9) et le temps qu’il a mis pour parcourir cette distance. Dans l’exemple ci-dessous, le

point a parcouru une distance d = AB en un temps t = tB – tA. La vitesse moyenne est donc
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
AB
v
tB  t A
Figure 9
Si la vitesse moyenne est une quantité utile, elle n’est pas suffisante. On a aussi besoin,
pour tout déterminer, de savoir ce qu’il s’est passé entre A et B. On définit ainsi une vitesse
instantanée, qui est définie aussi comme le rapport d’une distance et d’un temps, les deux
quantités tendant toutes les deux vers 0.
Figure 10
MM' d OM

t t ' t 't
dt
v  lim
Attention,
d OM
n’est qu’une notation. Si OM a pour coordonnées x, y et z, alors les
dt
coordonnées de
d OM
dx dy
dz
sont
,
et
.
dt
dt dt
dt
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IV.2.2. Accélération d’un point matériel
L’accélération instantanée est définie ainsi :
v'  v d v

t t ' t 't
dt
a  lim
v ' et v étant les vitesses respective aux temps t’ et t.
Les coordonnées de a sont
dv y
dv x dv y
,
et
.
dt
dt
dt
Si a  0 , le mouvement est rectiligne uniforme.
Si a  cte , le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré ou décéléré.
IV.3. Vitesse et accélération en coordonnées polaires
Nous ne traitons ici que le cas particulier du mouvement circulaire. Un point M est
astreint à se mouvoir sur un cercle de centre O et de rayon R = OM (Figure 11).
Figure 11
OM  Rur
v
du
du d
dOM dRur
d

R r R r
R
u
dt
dt
dt
d dt
dt
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Le vecteur vitesse est donc colinéaire à u , ce qui est normal, puisque u est tangent à
la trajectoire.
On pose
a
d
-1
  . Cette quantité est appelée vitesse angulaire, et est en s .
dt
du
dv
d
R
R
u  R 2 ur
dt
dt
dt
L’accélération a donc deux composantes, une tangentielle et une dirigée vers O. Relions
la vitesse angulaire à v. Prenons un élément de cercle de longueur ds (Figure 12).
Figure 12
ds
d
d
donc ds  Rd
tan
 2 
2
R
2
2
2
ds 2
 dx   dy  dx  dy
Or ds  dx  dy et v       

dt 2
dt 2
 dt   dt 
2
2
donc v 
a
2
2
2
2
ds
d
R
d’où v  R . L’accélération peut s’écrire
dt
dt
dv
v2
u  ur
dt
R
v R
aR
a
d
u
dt
d
u  R 2 ur
dt
dv
v2
u  ur
dt
R
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V. Dynamique du point
V.1. Définition et principe fondamental de la dynamique
V.2. Applications à des mouvements typiques
V.2.1. Corps sur un plan incliné
V.2.2. Objet lancé
V.2.3. Particule dans un champ électrique
V.2.4. Paticule dans un champ magnétique