Sujets de bac : Exponentielle
Sujet 1 : Polynésie – septembre 2002
On considère la fonction définie sur par


1) Etudier la parité de .
2) Montrer que pour tout , .
3) Déterminer les limites de en  et en . Donner l’interprétation graphique de ces limites.
4) Etudier les variations de et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de sur .
5) Soit un réel de l’intervalle . Montrer que l’équation admet une unique solution sur .
Sujet 2 : Réunion – juin 2007
On considère la fonction définie sur par :


On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal .
1.
a. Déterminer la limite de en .
b. Etablir que, pour tout nombre réel non nul, on a 

.
En déduire la limite de en .
2. Donner, sans démontrer, la limite de

quand tend vers et démontrer que est continue en .
3.
a. Démontrer que, pour tout nombre réel , on a
et que l’égalité n’a lieu que pour .
b. Calculer la dérivée  de la fonction et déterminer la fonction telle que, pour tout nombre réel
non nul,

.
c. Donner le tableau de variations de .
4. Soient un nombre réel non nul et les points et
 de la courbe .
a. Etablir que 

puis déterminer le coefficient directeur de la droite 
b. On admet que la fonction est dérivable en . Que suggère alors le résultat précédent ?
Sujet 3 : Amérique du Sud – novembre 2001
On considère la fonction définie sur par : 

Et sa courbe représentative
dans le repère orthonormal  (unité graphique : 2 cm).
Partie A : Etude de la fonction .
1)
a. Déterminer la limite de en  Que peut-on en déduire pour
?
b. Déterminer la limite de en .
2) Calculer
et étudier le signe de  sur .
3) Dresser le tableau de variations de .
4)
a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de
avec l’axe des abscisses.
b. Etudier le signe de suivant les valeurs de .
Partie B : Etude d’une tangente
1) On rappelle que  désigne la dérivée seconde de .
a. Montrer que, pour tout réel ,



b. Résoudre l’équation

.
2) Soit le point d’abscisse
de la courbe
. Déterminer une équation de la tangente à
en .
3) On veut étudier la position relative de
et . Pour cela, on considère la fonction définie sur par

a. Déterminer
et

.
b. Etudier le signe de

suivant les valeurs de .
En déduire le sens de variations de sur .
c. En déduire le signe de
puis le sens de variations de sur .
d. Déterminer alors le signe de suivant les valeurs de . Que peut-on en conclure sur la position
relative de
et ?
4) Dans le repère , placer les points et puis tracer et la courbe
.
Sujet 4 : Centres étrangers – juin 2010
On considère deux courbes
et 
d’équations
et 
dans un repère du plan.
On va démontrer qu’il existe une unique tangente commune aux deux courbes.
1) Sur le graphique ci-dessous, tracer approximativement une telle tangente. Lire graphiquement l’abscisse du
point de contact de cette tangente avec la courbe
puis celle du point de contact avec
.
2) On note et deux réels quelconques, le point de
d’abscisse et le point de
d’abscisse .
a. Déterminer une équation de la tangente
à
au point .
b. Déterminer une équation de la tangente
à
au point .
c. En déduire que les droites
et
sont confondues si et seulement si les réels et sont solutions
du système


d. Montrer que ce système est équivalent à




3) Nous allons démontrer que l’équation



a une unique solution dans . Pour
cela, on considère la fonction 



définie sur .
a. Montrer que pour ,

et que 
.
b. En déduire que n’a pas de solutions dans .
c. Démontrer que est strictement croissante sur .
d. Démontrer que a une unique solution dans . On note cette solution. Donner un
encadrement d’amplitude 

de .
4) On prend le point d’abscisse . Déterminer un encadrement d’amplitude 

du réel pour lequel les
droites
et
sont confondues.
2 3-1-2-3
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
Correction
Sujet 1 : Polynésie – septembre 2002
1) est définie sur qui est symétrique par rapport à et pour tout réel :










Donc la fonction est impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.
2) Pour :


 et comme

est strictement positif, nous avons :




autrement dit .
Par ailleurs,










donc .
Finalement, pour tout réel , on a 
3)





 


Ceci indique que la courbe de admet une tangente horizontale en d’équation .













 

Ceci indique que la courbe de admet une tangente horizontale en  d’équation .
4) est de la forme
avec 

dérivable sur et

dérivable sur et qui ne s’annule
pas donc est dérivable sur et :










Donc la fonction est strictement croissante sur .
De plus . On en déduit le tableau de variations et de signe de .
Signe de
Variations de
Signe de
5) est dérivable sur donc continue sur . Grâce à l’étude précédente  et comme est
strictement croissante, d’après le théorème de la bijection, tout élément de  admet un unique antécédent
par . Donc pour tout , l’équation a une unique solution dans .
Sujet 2 : Réunion – juin 2007
1.
a. Quand tend vers , on peut supposer que :





 

b. Pour : 









 

 


2. D’après le cours, la limite de

quand tend vers est égale à (utilisation de la dérivabilité de la
fonction exponentielle en ) donc : 


Pour :

:







3.
a. On considère la fonction définie sur par
.
Par somme de fonctions dérivables sur , est dérivable sur et
.
Donc est décroissante sur  et croissante sur . admet donc un minimum en qui est égal à
. Donc, pour tout réel, et n’a lieu que pour .
Donc, pour tout réel ,
et l’égalité a lieu uniquement pour .
b. est de la forme
avec 
dérivable sur et
et
dérivable
sur et s’annule en donc est dérivable sur
et :


c. Sur
,
,
donc  est du signe de . Or d’après la question précédente,
.
Signe de
Variations de
4.
a. Pour :







Coefficient directeur de 
:


 

b. On suppose que est dérivable en , donc la courbe de admet une tangente au point d’abscisse
de coefficient directeur
. Or la droite 
est une sécante à la courbe de . Quand tend vers , la sécante

tend vers la tangente à la courbe de au point d’abscisse . Les coefficients directeurs sont donc égaux.
Finalement,
Sujet 3 : Amérique du Sud – novembre 2001
Partie A
1)
a. En  : 


: en posant , on a 






 

 

On en déduit que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à
en .
b. En :








 


 


2) est de la forme
avec  dérivable sur et  dérivable sur donc est une
fonction dérivable sur et
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