Sujets de Bac : Exponentielle - Exercices et Corrections

Sujets de bac : Exponentielle
Sujet 1 : Polynésie – septembre 2002
On considère la fonction  définie sur  par 
1) Etudier la parité de .
2) Montrer que pour tout , .
3) Déterminer les limites de  en  et en . Donner l’interprétation graphique de ces limites.
4) Etudier les variations de  et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de  sur .
5) Soit  un réel de l’intervalle . Montrer que l’équation  admet une unique solution sur .
Sujet 2 : Réunion – juin 2007
On considère la fonction  définie sur  par :
On note  la courbe représentative de  dans un repère orthonormal .
1.
a. Déterminer la limite de  en .
b. Etablir que, pour tout nombre réel  non nul, on a  .
En déduire la limite de  en .
2. Donner, sans démontrer, la limite de quand  tend vers  et démontrer que  est continue en .
3.
a. Démontrer que, pour tout nombre réel , on a   et que l’égalité n’a lieu que pour .
b. Calculer la dérivée  de la fonction  et déterminer la fonction  telle que, pour tout nombre réel 
non nul,  .
c. Donner le tableau de variations de .
4. Soient  un nombre réel non nul et les points  et 
 de la courbe .
a. Etablir que  puis déterminer le coefficient directeur de la droite 
b. On admet que la fonction  est dérivable en . Que suggère alors le résultat précédent ?
Sujet 3 : Amérique du Sud – novembre 2001
On considère la fonction  définie sur  par : 
Et sa courbe représentative  dans le repère orthonormal  (unité graphique : 2 cm).
Partie A : Etude de la fonction .
1)
a. Déterminer la limite de  en  Que peut-on en déduire pour  ?
b. Déterminer la limite de  en .
2) Calculer 
 et étudier le signe de  sur .
3) Dresser le tableau de variations de .
4)
a. Déterminer les coordonnées du point  d’intersection de  avec l’axe des abscisses.
b. Etudier le signe de  suivant les valeurs de .
Partie B : Etude d’une tangente
1) On rappelle que  désigne la dérivée seconde de .
a. Montrer que, pour tout réel , 
b. Résoudre l’équation 
.

2) Soit  le point d’abscisse de la courbe  . Déterminer une équation de la tangente  à  en .
3) On veut étudier la position relative de  et . Pour cela, on considère la fonction  définie sur  par
a. Déterminer 
 et  .
b. Etudier le signe de 
 suivant les valeurs de .
En déduire le sens de variations de  sur .
c. En déduire le signe de 
 puis le sens de variations de  sur .
d. Déterminer alors le signe de  suivant les valeurs de . Que peut-on en conclure sur la position
relative de  et  ?
4) Dans le repère , placer les points  et  puis tracer  et la courbe  .
Sujet 4 : Centres étrangers – juin 2010
On considère deux courbes  et  d’équations  et   dans un repère du plan.
On va démontrer qu’il existe une unique tangente  commune aux deux courbes.
1) Sur le graphique ci-dessous, tracer approximativement une telle tangente. Lire graphiquement l’abscisse du
point de contact de cette tangente avec la courbe  puis celle du point de contact avec  .
2) On note  et  deux réels quelconques,  le point de  d’abscisse  et  le point de  d’abscisse .
a. Déterminer une équation de la tangente  à  au point .
b. Déterminer une équation de la tangente  à  au point .
c. En déduire que les droites  et  sont confondues si et seulement si les réels  et  sont solutions
du système 
d. Montrer que ce système est équivalent à 
3) Nous allons démontrer que l’équation   a une unique solution dans . Pour
cela, on considère la fonction   définie sur .
a. Montrer que pour ,   et que 
.
b. En déduire que  n’a pas de solutions dans .
c. Démontrer que  est strictement croissante sur .
d. Démontrer que  a une unique solution dans . On note  cette solution. Donner un
encadrement d’amplitude  de .
4) On prend  le point d’abscisse . Déterminer un encadrement d’amplitude  du réel  pour lequel les
droites  et  sont confondues.

2 3-1-2-3
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1

Correction
Sujet 1 : Polynésie – septembre 2002
1)  est définie sur  qui est symétrique par rapport à  et pour tout réel  :
Donc la fonction  est impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.
2) Pour  :
 et comme   est strictement positif, nous avons :  autrement dit .
Par ailleurs,   donc .
Finalement, pour tout réel , on a 
3)
Ceci indique que la courbe de  admet une tangente horizontale en d’équation .
Ceci indique que la courbe de  admet une tangente horizontale en  d’équation .
4)  est de la forme avec   dérivable sur  et   dérivable sur  et qui ne s’annule
pas donc  est dérivable sur  et :
Donc la fonction  est strictement croissante sur .
De plus . On en déduit le tableau de variations et de signe de .
Signe de
Variations de
Signe de
5)  est dérivable sur  donc continue sur . Grâce à l’étude précédente  et comme  est
strictement croissante, d’après le théorème de la bijection, tout élément de  admet un unique antécédent
par . Donc pour tout , l’équation  a une unique solution dans .
Sujet 2 : Réunion – juin 2007
1.
a. Quand  tend vers , on peut supposer que  :
b. Pour  : 
2. D’après le cours, la limite de
quand  tend vers  est égale à  (utilisation de la dérivabilité de la
fonction exponentielle en ) donc : 

Pour  :  :
3.
a. On considère la fonction  définie sur  par  .
Par somme de fonctions dérivables sur ,  est dérivable sur  et  .
Donc  est décroissante sur  et croissante sur .  admet donc un minimum en  qui est égal à
. Donc, pour tout  réel,  et  n’a lieu que pour .
Donc, pour tout réel ,   et l’égalité a lieu uniquement pour .
b.  est de la forme avec  dérivable sur  et  et   dérivable
sur  et s’annule en  donc  est dérivable sur  et :
c. Sur  ,  ,   donc  est du signe de . Or d’après la question précédente,
.
Signe de
Variations de
4.
a. Pour  :
Coefficient directeur de 
 :
b. On suppose que  est dérivable en , donc la courbe de  admet une tangente au point d’abscisse 
de coefficient directeur 
. Or la droite   est une sécante à la courbe de . Quand  tend vers , la sécante
 tend vers la tangente à la courbe de  au point d’abscisse . Les coefficients directeurs sont donc égaux.
Finalement, 
Sujet 3 : Amérique du Sud – novembre 2001
Partie A
1)
a. En  :  : en posant , on a 
On en déduit que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à  en .
b. En :
2)  est de la forme  avec  dérivable sur  et  dérivable sur  donc  est une
fonction dérivable sur  et