Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER

Math module 3
NOMBRES COMPLEXES
SERIES DE FOURIER
TRANSFORMATIONS DE FOURIER
D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet
SEPTEMBRE 2005
2
Cours semaine 1 :Introduction,
définitions, résolution d’équations.
1-1 Introduction
Le but de ces rappels de cours et de ces exercices est que vous disposiez des notions de
base sur les nombres complexes, indispensables pour la résolution des problèmes faisant appel
aux mathématiques et rencontrés par un ingénieur. Chaque catégorie de nombres permet de
résoudre de nouveaux problèmes. Les nombres réels permettent de résoudre toutes les équations du premier degré (par exemple 3x = 5), mais ils ne permettent pas de résoudre toutes les
équations du second degré (par exemple, x2 = −1 n’a pas de solution dans R).
Les nombres complexes que nous allons étudier maintenant permettent de trouver l’ensemble des n solutions des équations algébriques de type : a + bx + cx2 + dx3 + ... + zxn = 0,
et ce, quel que soit n. Ils ont été introduit par des mathématiciens en Italie au XV I me siècle
sous l’appellation initiale de nombres imaginaires. Ils sont très utilisés pour résoudre, entre
autres, des problèmes de trigonométrie.
1-2 Définitions
1 L’ensemble C des complexes est l’ensemble des couples ordonnés z = (a, b) de nombres
réels (a ∈ R et b ∈ R).
2 ∀a ∈ R, on peut identifier le nombre (a, 0) ∈ C au nombre a ∈ R
3 ∀z ∈ C avec z = (a, b) et ∀z 0 ∈ C avec z 0 = (a0 , b0 ) ∈ C, on définit une égalité, une addition
et une multiplication comme suit :
z = z0 ⇔ [
a = a0
b = b0
z + z 0 = (a + a0 , b + b0 )
zz 0 = (aa0 − bb0 , ab0 + a0 b)
1
2
5 L’élement neutre na pour l’addition tel que ∀z ∈ C, na + z = z + na = z est le couple
na = (0, 0) noté z = 0.
5 L’élement neutre nm pour la multiplication tel que ∀z ∈ C, nm z = znm = z est le couple
nm = (1, 0).
6 A chaque nombre complexe z = (a, b) on associe un complexe conjugué.
Il est noté z et est défini par z = (a, −b).
7 l’équation z 2 = −1 s’écrit en posant z = (a, b), z 2 = (a2 − b2 , 2ab)
a2 − b2 = −1
donc z 2 = −1 ⇔ [
2ab = 0
a = 0 et b = 1 soit z = (0, 1) noté z = i
ce qui donne deux solutions [
a = 0 et b = -1 soit z = (0, −1) noté z = -i
1-3 Représentation géométrique.
A tout nombre complexe z = (a, b) on peut faire correspondre, dans un repère orthonormé
muni d’une base orthogonale directe, le point M d’abscisse a et d’ordonnée b (cf. figure 1-3.1).
Réciproquement, à tout point M du plan correspond un et un seul nombre complexe de C.
Sur la figure ci-dessous, Ox est l’axe des réels et Oy l’axe des imaginaires.
y
.M {z = (a, b)}
.
.
..
.
.
..
.
.
16...
.
... - a
1
b
x
F IG . 1-3.1 – Représentation d’un nombre complexe z par un point M
1-4 Le nombre complexe i et la notation associée
Tout nombre complexe z = (a, b) peut se mettre sous la forme :
1-4. LE NOMBRE COMPLEXE I ET LA NOTATION ASSOCIÉE
3
z = a + ib
• Le réel a est la partie réelle de z, elle est notée Re(z)
• b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z)
• Le nombre complexe i =(0,1) est solution de z 2 = −1
Si a = 0, alors z = ib est un imaginaire pur.
C’est avec cette notation dite notation complexe (z = a+ib) que les calculs sur les nombres
complexes sont effectués comme dans R, en utilisant la relation i2 = −1.
Soit z = a + ib, alors le conjugué de z est z̄ = a − ib. De plus, on montre que :
a) z̄ = z
b) (z + z 0 ) = z̄ + z¯0
c) (zz 0 ) = z̄ z¯0
6
y
b
M (z)
.....
.
.....
.
.....
..
.
.
O.
.
-a
a
.....
...
.
.....
.. ..
.
M 0 (−z) .
M 00 (z)
x-
-b
F IG . 1-4.2 – Représentation géométrique d’un nombre complexe z, de son conjugué et de son
opposé.
Nous avons vu qu’à tout élément z de C peut être associé un point M et un seul du plan
complexe (repère orthonormé muni d’une base orthogonale directe). Ce point M a pour abs-
4
cisse a et pour ordonnée b (cf. figure 1-4.2).
z est l’affixe de M.
1-5 Forme trigonométrique
−−→
Le module de z, noté |z|, est défini comme la norme du vecteur OM . Or les coordonnées
a
de ce vecteur sont ( ), donc :
b
|z| =
√
a2 + b2
−−→
L’ argument de z est la mesure (en radians) de l’angle entre l’axe des x et OM . Cet angle
est définit à 2kΠ près . Pour z=0, l’argument n’est pas défini. Sinon, on utilisera, toujours avec
les notations de la figure 1-5.3 :
arg(z) = arctan( ab )
y
b = r sin(θ)
.M {z = (a, b)}
.
.
..
.
.
.. r
.
.
.
6...
θ
... a = r cos(θ)
..............
... .....
. .....
....
....
...
...
...
...
.
r=
√
a2 + b2
x
F IG . 1-5.3 – Représentation trigonométrique d’un nombre complexe z(a,b)
Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument θ peut donc s’écrire sous la
forme
z = r(cos(θ) + i sin(θ))
Cette écriture est la forme trigonométrique du nombre complexe z.
1-6. FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN PRODUIT ET FORMULE DE MOIVRE
5
1-6 Forme trigonométrique d’un produit et formule de
Moivre
Soit z = r(cos θ + i sin θ) et z 0 = r0 (cos θ0 + i sin θ0 ), alors on remarque que :
zz 0 = rr0 (cos θ + i sin θ)(cos θ0 + i sin θ0 )
Soit zz 0 = rr0 {(cos θ cos θ0 − sin θ sin θ0 ) + i(cos θ sin θ0 + cos θ0 sin θ)}
D’où zz 0 = rr0 {cos(θ + θ0 ) + i sin(θ + θ0 )}
Donc |zz 0 | = rr0
et
arg(zz 0 ) = θ + θ0 .
L’application de cette propriété conduit à la formule de Moivre :
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
∀n ∈ N, ∀θ ∈ R
On aura donc par exemple :
(cos π4 + i sin Π4 )2003 = cos 2003Π
+ i sin 2003Π
4
4
1-7 Notation reiθ
Dans la formule de Moivre, on peut remarquer que l’argument θ se comporte comme un
exposant. On convient de noter :
z = r(cos(θ) + i sin(θ)) = reiθ
On aura donc par exemple :
√
√
Π
1 + i 3 = 2( 21 + i 23 ) = 2ei 3 car
1
2
= cos Π3 et
√
3
2
= sin Π3
Avec cette notation la formule de Moivre devient : (eiθ )n = einθ
D’autre part,∀z = reiθ ∈ C,
0
z 0 = r0 eiθ ∈ C
6
0
zz 0 = rr0 ei(θ+θ )
z
z0
0
= rr0 ei(θ−θ )
1-8 Formule d’Euler
Pour tout nombre réel θ :
cos θ =
eiθ +e−iθ
2
et
sin θ =
eiθ −e−iθ
2i
1-9 Formules trigonométriques utiles
En utilisant les résultats qui précèdent on montre que ∀a, b ∈ R :
cos a + cos b = 2 cos a+b
cos a−b
2
2
cos a − cos b = −2 sin a+b
sin a−b
2
2
sin a + sin b = 2 sin a+b
cos a−b
2
2
sin a − sin b = 2 cos a+b
sin a−b
2
2
cos a cos b = 12 (cos(a + b) + cos(a − b))
sin a sin b = 12 (cos(a + b) − cos(a − b))
sin a cos b = 12 (sin(a + b) + sin(a − b))
1-10
Interprétation géométrique d’opérations dans C
En regardant la figure précédente, on étudie les transformations suivantes :
z →z+a .
Soit a et z deux nombres complexes affixes respectifs des points M et A. Alors si z 0 =
1-11. RACINE DE L’UNITÉ DANS C
..
....
...
....
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..
....
....
...
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.........................
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.. .....
...
...
.. ...
...
.. ...
..
..
.....
7
M’ : z’=z+a
y
iθz
.M : z = |z|e
.
.
M”
..
.
.
. ....A : a = |a|eiθ
.
.
.. θ..z......
.
.
. ...
θa
........
6
θa
a
x
M 00 : z 00 = za = |z||a|ei(θz +θa )
F IG . 1-10.4 – Translation et rotation
~
z + a est l’affixe du point M’, M’ est l’image de M par la translation de vecteur ~v = OA
d’affixe a.
z → az .
∀a = |a|eiθa ∈ C ∀z = |z|eiθz ∈ C, on a alors az = |a||z|ei(θa +θz ) . Donc si M” est le
point d’affixe z 00 = az, M” est l’image de M d’affixe z par l’homothétie de centre O et
de rapport |a| et la rotation de centre O et d’angle Arg(a) = θa .
1-11
Racine de l’unité dans C
La notation complexe est utile pour résoudre ∀n ∈ N, z n = 1.
En effet, on remarque que 1 = e2iπ et que
2π
(ei n )n = ei2π = 1
π
z=e2i n est une racine nième de l’unité.
Les autres racines sont obtenues par multiplication par z.
Les n racines nième de l’unité sont donc :
2π
ei n ;
2π
e2i n ;
2π
e3i n ;
2π
... eni n
Elles se placent dans le plan complexe sur le cercle de rayon 1 centré sur l’origine et sont espacées d’un angle 2π
n
La racine troisième de l’unité est noté j (cf. figure 1-11.5).
On a j 3 = 1 et comme propriété remarquable :
8
6
y
............................
..................1
..............
......................
.............
.
..........
..
.........
..........
........
........
.......
........
.......
.......
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......
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.......
.......
.......
........
........
.........
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.
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.
.
.
...........
...........
..............
.............
........................
............................................
...j
...
...
...
...
...
...
...
...
... O
...
.. .
..
.. .
..
.. .
..
.. j 2
θ=
2Π
3
x1
F IG . 1-11.5 – Racine troisième de l’unité.
j2 = j
1 + j + j2 = 0
La notation complexe est utile pour résoudre :
∀n ∈ N, z n = reiθ .
Les n racines nième de reiθ sont :
√
n
iθ
re n
;
√
n
θ
2π
rei( n + n )
;
√
n
θ
rei( n +
2.2π
)
n
; ...;
√
n
θ
rei( n +
(n−1).2π
)
n
On
remarque que l’on obtient toutes les racines nième de reiθ en multipliant successivement
√
iθ
n
re n par les racines nième de 1
1-12
Résolutions dans C des éq. du second degré à coef. réels.
On rappelle qu’une équation de degré n a n racines dans C.
On se propose de résoudre dans C toute équation de type az 2 + bz + c où a,b et c sont des
nombres réels (a 6= 0). La factorisation canonique effectuée dans R reste valable dans C.
az 2 + bz + c = a([z +
b 2
]
2a
−
∆
)
4a2
où
∆ = b2 − 4ac
1-12. RÉSOLUTIONS DANS C DES ÉQ. DU SECOND DEGRÉ À COEF. RÉELS.
Si ∆ ≥ 0, alors on sait résoudre l’équation dans R.
Si ∆ < 0 :
p
|∆| = −∆ = (i |∆|)2 , on résout a[(z +
Elle admet deux solutions complexes conjugués :
√
−b+i |∆|
z1 =
et z2 =
2a
√
b 2
)
2a
−
[i
|∆|]2
]
4a2
=0
√
−b−i |∆|
2a
Dans le cas ∆ ≥ 0, alors on rappelle que l’équation admet deux racines réelles :
z1 =
√
−b+ ∆
2a
et z2 =
√
−b− ∆
2a
Dans tous les cas, on aura les deux propriétés suivantes :
• La somme des racines S = z1 + z2 = − ab
• Le produit des racines P = z1 z2 = ac
9
10