Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER

Math module 3
NOMBRES COMPLEXES
SERIES DE FOURIER
TRANSFORMATIONS DE FOURIER
D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet
SEPTEMBRE 2005

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Cours semaine 1 :Introduction,
définitions, résolution d’équations.
1-1 Introduction
Le but de ces rappels de cours et de ces exercices est que vous disposiez des notions de
base sur les nombres complexes, indispensables pour la résolution des problèmes faisant appel
aux mathématiques et rencontrés par un ingénieur. Chaque catégorie de nombres permet de
résoudre de nouveaux problèmes. Les nombres réels permettent de résoudre toutes les équa-
tions du premier degré (par exemple 3x= 5), mais ils ne permettent pas de résoudre toutes les
équations du second degré (par exemple, x2=−1n’a pas de solution dans R).
Les nombres complexes que nous allons étudier maintenant permettent de trouver l’en-
semble des n solutions des équations algébriques de type : a+bx +cx2+dx3+... +zxn= 0,
et ce, quel que soit n. Ils ont été introduit par des mathématiciens en Italie au XV Ime siècle
sous l’appellation initiale de nombres imaginaires. Ils sont très utilisés pour résoudre, entre
autres, des problèmes de trigonométrie.
1-2 Définitions
1L’ensemble Cdes complexes est l’ensemble des couples ordonnés z= (a, b)de nombres
réels (a∈Ret b∈R).
2∀a∈R, on peut identifier le nombre (a, 0) ∈Cau nombre a ∈R
3∀z∈Cavec z= (a, b)et ∀z0∈Cavec z0= (a0, b0)∈C, on définit une égalité, une addition
et une multiplication comme suit :
z=z0⇔[a=a0
b=b0
z+z0= (a+a0, b +b0)
zz0= (aa0−bb0, ab0+a0b)
1

2
5L’élement neutre napour l’addition tel que ∀z∈C,na+z=z+na=zest le couple
na= (0,0) noté z= 0.
5L’élement neutre nmpour la multiplication tel que ∀z∈C,nmz=znm=zest le couple
nm= (1,0).
6A chaque nombre complexe z= (a, b)on associe un complexe conjugué.
Il est noté zet est défini par z= (a, −b).
7l’équation z2=−1s’écrit en posant z= (a, b),z2= (a2−b2,2ab)
donc z2=−1⇔[a2−b2=−1
2ab = 0
ce qui donne deux solutions [a = 0 et b = 1 soit z= (0,1) noté z = i
a = 0 et b = -1 soit z= (0,−1) noté z = -i
1-3 Représentation géométrique.
A tout nombre complexe z= (a, b)on peut faire correspondre, dans un repère orthonormé
muni d’une base orthogonale directe, le point M d’abscisse a et d’ordonnée b (cf. figure 1-3.1).
Réciproquement, à tout point M du plan correspond un et un seul nombre complexe de C.
Sur la figure ci-dessous, Ox est l’axe des réels et Oy l’axe des imaginaires.
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y
x
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M{z= (a, b)}
b
a
1
1
FIG. 1-3.1 – Représentation d’un nombre complexe z par un point M
1-4 Le nombre complexe i et la notation associée
Tout nombre complexe z= (a, b)peut se mettre sous la forme :

1-4. LE NOMBRE COMPLEXE I ET LA NOTATION ASSOCIÉE 3
z=a+ib
•Le réel a est la partie réelle de z, elle est notée Re(z)
•b est la partie imaginaire de z, on note b=Im(z)
•Le nombre complexe i =(0,1) est solution de z2=−1
Si a= 0, alors z=ib est un imaginaire pur.
C’est avec cette notation dite notation complexe (z=a+ib) que les calculs sur les nombres
complexes sont effectués comme dans R, en utilisant la relation i2=−1.
Soit z=a+ib, alors le conjugué de z est ¯z=a−ib. De plus, on montre que :
a) ¯z=z
b) (z+z0) = ¯z+¯ z0
c) (zz0) = ¯z¯ z0
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y
x
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M(z)
M0(−z)M00(z)
b
-b
-a a
O
FIG. 1-4.2 – Représentation géométrique d’un nombre complexe z, de son conjugué et de son
opposé.
Nous avons vu qu’à tout élément z de Cpeut être associé un point M et un seul du plan
complexe (repère orthonormé muni d’une base orthogonale directe). Ce point M a pour abs-