Feuille de TD no5 - Université de Bordeaux

Université de Bordeaux I – 2012/13 MOSE 1003
Feuille de TD no5
Vecteurs propres, valeurs propres, diagonalisation
Exercice 1
On considère la matrice définie par A=1 2
−1 4.
1. Déterminer les valeurs propres de Apuis les vecteurs propres associés.
2. Expliquer pourquoi la matrice Aest diagonalisable.
3. Trouver des matrices Ddiagonale et Pinversible telles que A=P DP −1.
4. En déduire en fonction de nla matrice Anpour tout entier naturel n.
Exercice 2
Soit la matrice définie par A=m1
1−m0où mest un paramètre réel.
1. Montrer que les valeurs propres de Asont données par 1et m−1.
2. En déduire en fonction de mles vecteurs propres associés.
3. Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si m6= 2.
4. Écrire dans ce cas Asous la forme A=P DP −1où Ddiagonale et Pinversible.
5. Calculer la matrice Akpour tout entier naturel k.
* Exercice 3
Soient Cl’ensemble des nombres complexes et la matrice définie par A=2 1
−5−2.
1. Déterminer dans Cles valeurs propres de A.
2. En déduire les vecteurs propres associés.
3. Déduire de ce qui précède une diagonalisation de Adans C.
Diagonalisation et ses applications
Exercice 4
Soient (xn)et (yn)deux suites vérifiant pour tout entier n≥0le système d’équations récurrentes
xn+1 =xn−yn
yn+1 = 2xn+ 4yn.
On cherche à exprimer le terme général xnen fonction de net x0, de même le terme général ynen fonction
de net y0. Pour cela, on pose pour tout entier n≥0,Xn=xn
yn.
1. Vérifier que le système ci-dessus s’écrit Xn+1 =AXnavec A=1−1
2 4 .
2. En déduire que Xn=AnX0pour tout entier n≥0.
3. Déterminer les valeurs propres de Apuis les vecteurs propres associés.
4. Donner une diagonalisation de la matrice Apuis calculer Anpour tout entier n≥0.
5. Conclure en utilisant l’égalité Xn=AnX0.
26 novembre 2012 – feuille de TD no51 / 2

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** Exercice 5 Système différentiel linéaire à coefficients constants
Soient x=x(t)et y=y(t)deux fonctions de la variable t. On considère le système d’équations linéaires 2×2
(1) (dx
dt =x−y
dy
dt = 2x+ 4y.
On veut résoudre ce système différentiel à deux inconnues xet y. On cherche donc à trouver des fonctions x(t)
et y(t)verifiant le système. Soit le vecteur colonne X=x
y.
1. Vérifier que le système (1) est équivalent à l’égalité
(2) dX
dt =AX avec A=1−1
2 4 .
2. Déterminer les valeurs propres de Apuis les vecteurs propres associés.
3. En déduire des matrices Ddiagonale et Pinversible telles que D=P−1AP .
4. On pose Y=P−1X. En utilisant l’égalité (2) puis en remarquant que X=P Y , montrer que
(3) dY
dt =P−1dX dt =DY.
5. On pose Y=u
v. Montrer que l’égalité (3) est équivalente au système différentiel linéaire
(4) (du
dt =au
dv
dt =bv
où aet bsont respectivement les valeurs propres de la matrice A.
6. Montrer que les solutions du système (4) sont de la forme
(5) (u=C1eat
v=C2ebt
où C1et C2sont des constantes arbitraires.
7. En revenant à l’égalité X=P Y , déduire des solutions données par (5) l’ensemble des solutions du
système (1).
26 novembre 2012 – feuille de TD no52 / 2