Division euclidienne et conséquences - IMJ-PRG

Chapitre 1
La division euclidienne et ses
cons´equences
1.1 La division euclidienne
Division euclidienne pour les entiers positifs
Th´eor`eme 1.1.1. Pour a∈N,b∈N∗,il existe un unique couple d’entiers (q,r)avec
a=bq +ret 0≤r<b.
M´ethodes algorithmiques :
M´ethode na¨ıve:
Entrer a≥0et b>0;
n←0;r←a;
Tantque (r>b)faire
r←r−b;
q←q+1;
Fait
Retourner qet r;
Algorithme 1: Divisioneuclidienne, m´ethode na¨ıve
Le nombre de boucle de cet algorithme est q;`a chaque ´etapeil yaune soustraction
et une comparaison;pour bfix´ela complexit´ecroˆıt lin´eairementavec a.
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Remarque 1.1.2.Si on mesure la taille de l’entier apar le nombre de chiffres de son
d´eveloppementen binaire :t=log2(a), alors la complexit´ecroˆıt exponentiellementavec
la taille de a.
Recherche dichotomique
Entrer a≥0et b>0;
n←0;
Tantque (2nb≤a)faire
n←n+1;
Fait
α←2n−1;β←2n;
Pour kde 1`an-1 faire
γ=α+β
2;
Si (γb≤a)Alors
α←γ;
Sinon
β←γ;
Fin Si
Fin Pour
Retourner q=αet r=a−bq ;
Algorithme 2: Divisioneuclidienne, recherche dichotomique
Dans le premier calcul on consid`ere la suite g´eom´etrique 2n.En sortie de la boucle
Tant que,on aun encadrementdu quotientq:
α=2n−1≤q<2n=β.
Pour le deuxi`eme calcul, on fait une recherche dichotomique ;lors de la boucle index´ee
par k,la taille de l’encadrementest :2n−1−k.En sortie :k=n−1;on aun encadrement
de taille 1qui est strict `a droite, et donc q=α.
Exercice1.1.3.Ecrire un algorithme qui ´evite la multiplication.
Cet algorithme aune complexit´equi est logarithmique en a:n∼log2(a)
log2(b)=O(ln(a)).
La complexit´e, comme fonction de la taille tde aest donc lin´eaire.
Division euclidienne pour les entiers relatifs
Th´eor`eme 1.1.4. Pour a∈Z,b∈Z∗,il existe un unique couple d’entiers (q,r)avec
a=bq +ret 0≤r<|b|.
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Exercice1.1.5.Modifier si besoin les algorithmes pr´ec´edents pour effectuer la division
euclidienne des entiers relatifs.
1.2 Sous-groupes de Z
D´efinition 1.2.1. On appelle sous-groupede Ztout sous-ensemble Hqui contient0et
qui est stable par addition et soustraction.
Exemples :nZ,aZ+bZ,l’intersection de deux sous-groupes.
Th´eor`eme 1.2.2. Tout sous-groupede Zest de la forme nZ,avecn∈N.
On dit que nest g´en´erateur du sous-groupe.
1.3 Diviseurs
Proposition 1.3.1. Pour a∈Zet b∈Z,il ya ´equivalenceentreadivise bet
bZ⊂aZ.
Proposition 1.3.2. a) Le g´en´erateur positif dde aZ+bZest le PGCD de aet b:c’est
le plus grand diviseur commun `a aet b.
b) Les diviseurs communs `a aet bsont les diviseurs du PGCD.
Proposition 1.3.3. a) Le g´en´erateur positif de aZ∩bZest le PPCM de aet b:c’est
le plus petit multiple commun `a aet b.
b) Les multiples communs `a aet bsont les multiples du PPCM.
1.4 L’algorithme d’Euclide
Proposition 1.4.1. Soient :a∈Z,b∈Z.On a pour tout m∈Z:
PGCD(a, b)=PGCD(b, a−mb).
On peut en particulier appliquer la proposition pr´ec´edente au cas o`um=qest le
quotientdans la division euclidienne de apar b.
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Fonction PGCD(a, b);
a←|a|;b←|b|;
Si (b>a)Alors
a↔b;
Fin Si
r←amodb(reste de la division euclidienne) ;
Si (rest nul) Alors
Retourner b;
Sinon
Retourner PGCD(b, r);
Fin Si
Algorithme 3: Algorithme d’Euclide, forme r´ecursive
Fonction PGCD(a, b);
a←|a|;b←|b|;
Si (b>a)Alors
a↔b;
Fin Si
Tantque (best non nul) faire
r←amodb(reste de la division euclidienne) ;
a←b;b←r;
Fait
Retourner a;
Algorithme 4: Algorithme d’Euclide, forme non r´ecursive
1.5 Th´eor`eme de Bezout
Rappel :Deux entiers relmatifs sontpremiers entre eux si et seulementsi leur PGCD
est ´egal `a 1. Un entier naturel pest premier si et seulements’il aexactementdeux
diviseurs positifs :1et p.
Th´eor`eme 1.5.1. Deux entiers aet bsont premiers entreeux si et seulement s’il existe
un couple (u, v)tel que au +bv =1.
Corollaire 1.5.2 (th´eor`eme de Gauss).Soient a,bet ctrois entiers relatifs. Si adivise
le produit bc et est premier avecb,alors adivise c.
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Corollaire 1.5.3 (th´eor`eme d’Euclide).Si un entier premier divise un produit, alors il
divise un des facteurs.
Equation ax +by =c.
Proposition 1.5.4. a) L’´equation ax +by =cades solutions si et seulement si le
PGCD de aet bdivise c.
b) Lorsque aet bsont premiers entreeux, si (x0,y0)est une solution, alors les solutions
sont :(x=x0−kb, y=y0+ka),k∈Z.
1.6 Algorithme d’Euclide ´etendu aux coefficients de
Bezout
Fonction PGCDE(a, b);[la fonction retourne 3entiers]
a←|a|;b←|b|;
Si (b>a)Alors
a↔b;
Fin Si
Effectuer la division euclidienne de apar b;r←reste ;q←quotient;
Si (rest nul) Alors
Retourner (b, 0,1) ;
Sinon
(d, u′,v′)←PGCDE(b, r);
u←v′;v←(u′−qv′);
Retourner (d, u, v);
Fin Si
Algorithme 5: Algorithme d’Euclide, forme r´ecursive
Exercice1.6.1.Ecrire un algorithme d’Euclide ´etendu non r´ecursif.
Etude de complexit´e:Soit t=ln(max(|a|;|b|)). On montre (th´eor`eme de Lam´e) que
le nombre de boucles r´ecursives est un O(t), et que la complexit´eest un O(t2). Il existe
des algorithmes am´elior´es, de complexit´equasi-lin´eaire.
1.7 D´ecomposition en facteurs premiers
Th´eor`eme 1.7.1. Tout entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2s’´ecrit de mani`ereunique
comme un produit de facteurs premiers.
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