PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN (PGDC)

PLUSGRANDDIVISEUR
COMMUN
(PGDC)
I. Définition
Soient a et b deux entiers naturels. Ils ont au moins un diviseur commun : 1 (et peut-êt
d’autres diviseurs communs). On appelle
le plus grand de leurs diviseurs communs.
Voici quelques exemples de PGCD :



On peut établir la remarque suivante : si a divise b, alors
.
1. Lemme d’Euclide
Soient a et b deux entiers naturels, avec
.
La division euclidienne de a par b s’écrit :
avec
Alors on a l’égalité suivante :
.
.
Voici la démonstration de ce lemme :
Soit d un diviseur commun à a et b.
De plus, on a :
Or,
Ainsi,
et
d’après l’égalité
donc on en déduit que
et donc
et
.
Soit d un diviseur commun à b et r.
.
.
De plus, on a l’égalité
Or,
.
donc on en déduit que
Et
donc on en déduit que
Ainsi,
et donc
et
.
.
.
La démonstration est bien terminée : on a prouvé les deux implications contraires, c
dire l’équivalence.
2. Algorithme d’Euclide
Soient a et b deux entiers naturels, avec
.
L’algorithme d’Euclide consiste à effectuer une suite de divisions euclidiennes jusqu’à arri
obtenir un dernier reste qui est nul. L’algorithme se termine, c’est-à-dire qu’il comporte to
un nombre fini d’étapes. Les lignes qui suivent présentent plus en détails cet algorithme,
étapes principales de calculs.
On effectue la division euclidienne de a par b :
, avec
.
Il y a deux possibilités :


, alors
, alors
On effectue la division euclidienne de b par r :
, avec
Il y a deux possibilités :


, alors
, alors
On continue alors jusqu’à obtenir un reste nul, c’est-à-dire
.
La valeur du
est alors le dernier reste non-nul, donc
.
.
Exécutons cet algorithme au travers d’un exemple :
On veut connaître la valeur de :
.






Donc on a le résultat suivant :
.
On peut établir la remarque suivante : les diviseurs communs à deux nombres a et b sont
diviseurs de leur PGCD.
II. Propriétés du PGCD
Propriété 1 : Soient a et b deux entiers naturels. Pour tout entier naturel k, on peut dire
.
Dans le cas de l’algorithme d’Euclide, tous les membres des égalités sont multipliés par k
Prenons un exemple de cette propriété :

Propriété 2 : Soient a et b deux entiers naturels. Soit un entier naturel k, un diviseur com
et b. Alors on peut dire que( :
)
.
Démontrons cette propriété :
On a :
et
.
(
Ainsi, on en déduit d’après la propriété 1 :
Donc nous avons bien (:
)
.
).
Propriété 3 : Si a et b sont des entiers relatifs, alors on a :
.
Par exemple, nous avons :

Propriété 4 : Si
, alors on peut dire que a et b sont premiers entre eux.
Propriété 5 : Si
, alors on peut dire que
et sont premiers entre eux.
Démontrons cette propriété :
On suppose qu’on a
.
Ainsi, d’après la propriété 2, on (a :
)
.
D’après la propriété 4, on en déduit bien
et que
sont premiers entre eux.