I- FORME EXPONENTIELLE D`UN NOMBRE COMPLEXE

COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE
Maths–TnaleSTI
1
I- FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Définition 1 : soit θ un nombre réel. On pose :
 cossin
Théorème 1 ( admis ) : soit  et  deux nombres réels. Alors :
Définition 2 : soit r un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel. Soit z le
nombre complexe de module
r et d’argument θ .
 est une forme exponentielle de z.
Théorème 2 ( admis ) : un complexe non nul z possède une infinité de formes
exponentielles.
Si  et  sont deux formes exponentielles de z, alors  et il existe un entier
relatif k tel que 2.
Théorème 3 ( admis ) : soit z, z1, z2 trois nombres complexes non nuls de formes
exponentielles respectives ,  et . Alors :
o 
o 
o 
o Pour tout entier naturel n, 
o 
o 
Exemples :
o Le nombre complexe z de module 
 et dont un argument est   a pour forme
exponentielle : 
.
o Le nombre complexe z de module 
 et dont un argument est  a pour forme
exponentielle : 
.
Remarque : une exponentielle complexe peut être un réel négatif. ( 1).
Applications :
o Calculs avec les formes exponentielles : Euler n° 755 (inverse) ; 756 (quotient) ;
757 (produit) ; 761 (puissance).
o Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement : Euler n°
764 et 763.

COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE
Maths–TnaleSTI
2
o Placer un point dans un repère : Euler n° 1014.
II- FORMULE DE MOIVRE. FORMULES D’EULER
Dans ce paragraphe, on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour
établir des formules de calcul qui s’utilisent surtout pour transformer des expressions
trigonométriques.
1) Formule de Moivre
Abraham de Moivre (1667-1754) est un mathématicien britannique d’origine
française. Il découvrit sa formule en 1717 en résolvant des équations algébriques
issues de la trigonométrie.
Théorème : soit θ un nombre réel et n un entier naturel. Alors :
Démonstration :
Nous savons que nous pouvons écrire le nombre complexe de module 1 et dont un
argument vaut
θ () de la manière suivante : .
De plus, pour entier naturel n : cossin cossin
Ainsi : cossincossin.
Exemple :
2) Formules d’Euler
Leonhard Euler (1707-1783) mathématicien et physicien suisse, découvrit
l’extraordinaire parenté entre les exponentielles et la trigonométrie vers 1740.
Il écrit alors dans son
Introduction à l’analyse infinitésimale la fameuse formule

COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE
Maths–TnaleSTI
3
 10, qu’Euler appelait la plus belle formule des mathématiques car elle réunit les cinq
nombres les plus importants en mathématiques : 0, 1, π, e et i.
Théorème : soit θ un nombre réel. Alors :
Démonstration :
Nous savons :  cossin et  cossincossin.
On a :  cossin
 cossin
En additionnant, puis en soustrayant les deux égalités membres à membres, on
obtient les formules d’Euler.
Exemple :
Remarque : les formules d’Euler servent particulièrement lors de la linéarisation de
polynômes trigonométriques.
III- TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES ASSOCIÉES
1) Translation
Théorème : soit z, z’ et a des nombres complexes. La transformation du plan qui à tout
point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’, tel que z’ = z + a, est la translation de
vecteur 
ayant pour affixe a.
Démonstration :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ;
, ,
on considère le point A d’affixe a, le point M d’affixe z
et le point M’ d’affixe z’.
Si on pose 
, alors : dire que M’ est l’image de M
par la translation de vecteur 
signifie :  .
Ce qui se traduit en termes d’affixes par : z – z’ = a.
D’où le théorème.
«Ajouterunnombreac’est
translaterd’unvecteurd’affixea».

COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE
Maths–TnaleSTI
4
Exemple : dans le plan muni d’un repère orthonormal ; , , soit A la point d’affixe
23.
Quelle est l’affixe du point B, image du point A par la translation de vecteur 
1,2?
On a 
1215.
2) Rotation
Théorème 1 ( admis ) : on considère un point M quelconque du plan muni d’un repère
orthonormal direct ;
,  et θ un nombre réel qulconque. Dire qu’un point M d’affixe
z a pour image un point M’ d’affixe z’ par la rotation de centre O et d’angle θ équivaut à
dire que : .
Théorème 2 ( admis ) : on considère un point M quelconque du plan muni d’un repère
orthonormal direct ;
,  et θ un nombre réel quelconque. Dire qu’un point M
d’affixe z a pour image un point M’ d’affixe z’ par la rotation de centre le point Ω
d’affixe  et d’angle θ, équivaut à dire que : .
Illustration :
Exemple : dans le plan muni d’un repère orthonormal ; , , on considère les points
A et B d’affixes respectives 1 et 
.
Par quelle transformation géométrique le point B est-il l’image de A ?
B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle 
.
Déterminer les coordonnées du point B.
1
2√3
21
2√3
2
Donc B a pour coordonnés : √
;√
Soit le point C d’affixe . Par quelle transformation géométrique le point C
est-il l’image de B ? Calculer les coordonnées de C.
C est l’image de B par la translation de vecteur  d’affixe i, et
«Multiplierparc’estfaire
tournerd’unangle
θ
».

COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE
Maths–TnaleSTI
5
1√3
23√3 2
Donc C a pour coordonnées : √
;√
Applications : fiche applications cours n°9 (extraits de sujets de bac)