COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE I- FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE Définition 1 : soit θ un nombre réel. On pose : cos Théorème 1 (admis) : soit et sin deux nombres réels. Alors : Définition 2 : soit r un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel. Soit z le nombre complexe de module r et d’argument θ. est une forme exponentielle de z. Théorème 2 (admis) : un complexe non nul z possède une infinité de formes exponentielles. et Si sont deux formes exponentielles de z, alors relatif k tel que et il existe un entier . 2 Théorème 3 (admis) : soit z, z1, z2 trois nombres complexes non nuls de formes , exponentielles respectives et . Alors : o o o o Pour tout entier naturel n, o o Exemples : Le nombre complexe z de module Le nombre complexe z de module exponentielle : a pour forme . exponentielle : o et dont un argument est et dont un argument est a pour forme . Remarque : une exponentielle complexe peut être un réel négatif. ( 1). Applications : o Calculs avec les formes exponentielles : Euler n° 755 (inverse) ; 756 (quotient) ; 757 (produit) ; 761 (puissance). o Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement : Euler n° 764 et 763. Maths – Tnale STI o 1 COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE o II- Placer un point dans un repère : Euler n° 1014. FORMULE DE MOIVRE. FORMULES D’EULER Dans ce paragraphe, on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour établir des formules de calcul qui s’utilisent surtout pour transformer des expressions trigonométriques. 1) Formule de Moivre Abraham de Moivre (1667-1754) est un mathématicien britannique d’origine française. Il découvrit sa formule en 1717 en résolvant des équations algébriques issues de la trigonométrie. Théorème : soit θ un nombre réel et n un entier naturel. Alors : Démonstration : Nous savons que nous pouvons écrire le nombre complexe de module 1 et dont un argument vaut θ ( ) de la manière suivante : De plus, pour entier naturel n : cos Ainsi : cos sin sin cos . sin cos sin . Exemple : Leonhard Euler (1707-1783) mathématicien et physicien suisse, découvrit l’extraordinaire parenté entre les exponentielles et la trigonométrie vers 1740. Il écrit alors dans son Introduction à l’analyse infinitésimale la fameuse formule Maths – Tnale STI 2) Formules d’Euler 2 COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE 1 0, qu’Euler appelait la plus belle formule des mathématiques car elle réunit les cinq nombres les plus importants en mathématiques : 0, 1, π, e et i. Théorème : soit θ un nombre réel. Alors : Démonstration : Nous savons : cos sin et cos sin sin . cos cos sin cos sin En additionnant, puis en soustrayant les deux égalités membres à membres, on On a : obtient les formules d’Euler. Exemple : Remarque : les formules d’Euler servent particulièrement lors de la linéarisation de polynômes trigonométriques. III- TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES ASSOCIÉES 1) Translation Théorème : soit z, z’ et a des nombres complexes. La transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’, tel que z’ = z + a, est la translation de vecteur ayant pour affixe a. « Ajouter un nombre a c’est translater d’un vecteur d’affixe a ». Démonstration : Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ; , , on considère le point A d’affixe a, le point M d’affixe z et le point M’ d’affixe z’. , alors : dire que M’ est l’image de M par la translation de vecteur signifie : . Ce qui se traduit en termes d’affixes par : z – z’ = a. D’où le théorème. Maths – Tnale STI Si on pose 3 COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE Exemple : dans le plan muni d’un repère orthonormal 2 , soit A la point d’affixe ; , 3. Quelle est l’affixe du point B, image du point A par la translation de vecteur On a 1 2 1 1,2 ? 5. 2) Rotation « Multiplier par c’est faire tourner d’un angle θ». Théorème 1 (admis) : on considère un point M quelconque du plan muni d’un repère orthonormal direct et θ un nombre réel qulconque. Dire qu’un point M d’affixe ; , z a pour image un point M’ d’affixe z’ par la rotation de centre O et d’angle θ équivaut à . dire que : Théorème 2 (admis) : on considère un point M quelconque du plan muni d’un repère orthonormal direct et θ un nombre réel quelconque. Dire qu’un point M ; , d’affixe z a pour image un point M’ d’affixe z’ par la rotation de centre le point Ω d’affixe . et d’angle θ, équivaut à dire que : Illustration : Exemple : dans le plan muni d’un repère orthonormal A et B d’affixes respectives et 1 ; , , on considère les points . Par quelle transformation géométrique le point B est-il l’image de A ? B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle . Déterminer les coordonnées du point B. Donc B a pour coordonnés : Soit le point C d’affixe √ ; 1 2 √3 2 √3 2 √ . Par quelle transformation géométrique le point C est-il l’image de B ? Calculer les coordonnées de C. C est l’image de B par la translation de vecteur d’affixe i, et Maths – Tnale STI 1 2 4 COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE 1 Donc C a pour coordonnées : √ ; √3 2 3 √3 2 √ Applications : fiche applications cours n°9 (extraits de sujets de bac) Maths – Tnale STI 5