Algebre commutative
ALGÈBRE COMMUTATIVE
Cours à l’Université de Rennes 1 (2006–2007)
Antoine Chambert-Loir
Antoine Chambert-Loir
IRMAR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.
E-mail : [email protected]
Url : http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Version du 9 octobre 2006
La version la plus à jour est disponible sur le Web à l’adresse http://perso.univ-rennes.fr/
antoine.chambert-loir/2006-07/g1/
Mais je ne m’arrête point à expliquer ceci plus en détail, à cause que
je vous ôterais le plaisir de l’apprendre par vous-même, et l’utilité de
cultiver votre esprit en vous exerçant...
René Descartes (1596-1659)
TABLE DES MATIÈRES
1. Anneaux, idéaux, algèbres................................................. 1
§1.1. Premières définitions................................................. 1
§1.2. Éléments simplifiables, inversibles ; anneaux à division.................. 6
§1.3. Idéaux............................................................... 12
§1.4. Algèbres ; polynômes................................................. 17
§1.5. Anneaux quotients.................................................... 23
§1.6. Anneaux de fractions (cas commutatif)................................. 29
§1.7. Idéaux maximaux..................................................... 39
§1.8. Anneaux principaux, anneaux euclidiens............................... 45
§1.9. Anneaux factoriels.................................................... 47
§1.10. Factorialité des anneaux de polynômes............................... 53
2. Modules.................................................................. 59
§2.1. Premiers pas......................................................... 59
§2.2. Opérations sur les modules............................................ 64
§2.3. Quotients de modules................................................. 69
§2.4. Générateurs, bases; modules libres, modules de type fini................ 72
§2.5. Espaces vectoriels.................................................... 77
§2.6. Localisation des modules (cas d’un anneau commutatif)................ 82
§2.7. Longueur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§2.8. Opérations élémentaires sur les matrices............................... 91
§2.9. Modules de type fini sur un anneau principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§2.10. Application : Groupes abéliens de type fini............................103
§2.11. Application : Endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie 105
§2.12. Modules et anneaux noethériens.....................................109
Appendice...................................................................117
§A.1. Le théorème de Cantor-Bernstein......................................117
§A.2. Le lemme de Zorn....................................................117
§A.3. Le langage des catégories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
Index........................................................................121
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