Fiche d`exercices 2

Universit´e Claude Bernard Lyon I
Licence troisi`eme ann´ee : calcul diff´erentiel Diff´erentielle d’une fonction
Ann´ee 2004-2005
1 Cas de la dimension finie.
Exercice 1 Pour chacune des fonctions fsuivantes, trouver l’ensemble des points o`u fest continue
(resp. poss`ede des d´eriv´ees partielles premi`eres, est diff´erentiable, est de classe C1) :
a) f:R2→Rd´efinie par f(x, y) = (xy
x2+y2si (x, y)6= (0,0),
0 si (x, y) = (0,0).
b) f:R2→Rd´efinie par f(x, y) = (xy
√x2+y2si (x, y)6= (0,0),
0 si (x, y) = (0,0).
c) f:R2→R2d´efinie par f(x, y) = 
(x2+y2) sin 1
√x2+y2,(x−1)3−(y−1)3
(x−1)2+(y−1)2si (x, y)∈R2\ {(0,0),(1,1)},
(0,0) si (x, y) = (0,0),
(2 sin 1
√2,0) si (x, y) = (1,1).
Exercice 2 La fonction f:R2→Rd´efinie par f(x, y) = p|xy|est-elle diff´erentiable en (0,0) ?
Exercice 3 Etudier la continuit´e et la diff´erentiabilit´e de la fonction f:R2→Rd´efinie par
f(x, y) = (1
1+y2tan2xsi (x, y)∈D:= Sk∈Z]−π 2+kπ, π 2+kπ×R),
0 si (x, y)6∈ D.
Exercice 4 Etudier la continuit´e et la diff´erentiabilit´e de f:R2→Rd´efinie par
f(x, y) = (x2si |x|<|y|,
y2si |x|>|y|.
Exercice 5 Soient Iun intervalle de R,f:I→Rune fonction continˆument d´erivable sur I. On
d´efinit une fonction g:I×I→Rpar
g(x, y) = (f(x)−f(y)
x−ysi x6=y,
f0(x) si x=y.
a) Montrer que gest continue sur I×I.
b) Montrer que gest de classe C1sur (I×I)\ ∪x∈I{(x, x)}.
c) Soit x0∈I. On suppose que f”(x0) existe. Montrer que gposs`ede des d´eriv´ees partielles
premi`eres en (x0, x0).
d) En d´eduire que gest diff´erentiable en (x0, x0).
Exercice 6 Soient fet gdeux applications de classe C1de R2dans R. On d´efinit l’application
F:R2→Rpar
F(x, y) = (f(x, y) si g(x, y)>0,
f(x, y) + (g(x, y))2si g(x, y)60.
Montrer que Fest de classe C1sur R2.
Exercice 7 Soit f:R→Rune fonction continue. On d´efinit g:R∗×R→Rpar
g(x, y) = 1
xZxy
x
f(t)dt.
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a) Etudier la continuit´e de g. Montrer qu’on peut prolonger gen une fonction continue egde R2
dans R.
b) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres de gen (x, y)∈R∗×R.
c) On suppose que f0(0) existe. Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres de gen (0, y0)∈ {0}×R.
d) Trouver une condition n´ecessaire et suffisante portant sur fpour qu’il existe une fonction
ϕ:R→Rtelle que g(x, y) = ϕ(y), ∀(x, y)∈R∗×R.
Exercice 8 Soit Nune norme sur Rn,n>1. Montrer que Nn’est pas diff´erentiable en 0.
Exercice 9 On d´esigne par {e1,...,en}la base canonique de Rn. Pour x= (x1, . . . , xn)∈Rn, on
pose
N1(x) = |x1|+···+|xn|, N2(x) = qx2
1+···+x2
n, N∞(x) = max
16i6n|xi|.
a) Montrer que N2est diff´erentiable en tout point de Rn\{0}et calculer dN2,x(ζ), x∈Rn\{0},
ζ∈Rn.
b) (i) Soit x∈Rntel que xi6= 0, pour tout 1 6i6n. Montrer que N1est diff´erentiable au
point xet calculer dN1,x(ζ), ζ∈Rn. (On pourra utiliser la d´efinition de la diff´erentiabilit´e
et utiliser des vecteurs htels que N1(h)6min16i6n|xi|.)
(ii) Soit x∈Rntel qu’il existe m∈ {1,...,n}tel que xm= 0. Calculer
lim
t→0
t>0
N1(x+th)−N1(x)
t,avec h=emet avec h=−em.
En d´eduire que N1n’est pas diff´erentiable au point x.
c) (i) Soit x∈Rntel qu’il existe un unique m∈ {1,...,n}tel que |xm|=N∞(x). Montrer
que, si h= (h1,...,hn)∈Rnest suffisamment petit, on a
N∞(x+h)−N∞(x) = sgn(xm)hm.
En d´eduire que N∞est diff´erentiable au point x.
(ii) Soit x∈Rntel qu’il existe au moins deux entiers let m, 1 6l, m 6n, tels que |xl|=
|xm|=N∞(x). Montrer que N∞n’est pas diff´erentiable au point x. (On pourra raisonner
par l’absurde et utiliser une m´ethode analogue `a celle employ´ee en b)(ii).
Exercice 10 Soit Eun espace vectoriel de dimension finie nsur Rou Crapport´e `a une base B=
{e1,...,en}. Montrer que l’application
(v1,...,vn)7−→ ϕ(v1,...,vn) := d´et B(v1,...,vn)
est diff´erentiable en tout point de Enet calculer sa diff´erentielle.
Exercice 11 Soit Mn(R) l’espace vectoriel des matrices r´eelles carr´ees d’ordre n. Si on pose, pour
A∈ Mn(R) :
kAk=nmax
16i,j6n|ai,j |, A = (ai,j )16i,j6n,
rappelons que (Mn(R),k · k) devient une alg`ebre de Banach.
Montrer, par diff´erentes m´ethodes, que l’application M→Mm, o`u m∈N, est diff´erentiable et
calculer sa diff´erentielle.
Exercice 12 On note ϕla fonction d´eterminant et tr la fonction trace sur l’espace Edes matrices
r´eelles n×n.
a) Montrer que ϕest de classe C1sur Eet que dϕId = tr, o`u Id est la matrice identit´e.
b) En d´eduire que, pour tous X, H de E, on a
dϕX(H) = tr(tXH),
o`u Xest la comatrice de X.
(On pourra supposer d’abord Xinversible, puis ´etendre le r´esultat par densit´e des matrices
inversibles dans E.)
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2 Cas de la dimension infinie
Exercice 13 Soit El’espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans Rnorm´e par f→ kfk=
supa6x6b|f(x)|. Montrer que l’application Φ : E→Rd´efinie par
Φ(f) = Zb
a
(f(t))2dt
est diff´erentiable en tout point f∈Eet calculer dΦf(h), h∈E.
Exercice 14 Soient Eet Fdes espaces vectoriels norm´es, Uun ouvert de E,a∈U,f:U→E. On
dira que fadmet en aune d´eriv´ee suivant le vecteur v∈Esi et seulement si
lim
t→0
t>0
f(a+tv)−f(a)
t
existe. On la notera f0
v(a).
a) Montrer que si fest diff´erentiable au point a,fposs`ede en aune d´eriv´ee suivant tout vecteur
de E.
b) Soit f:R2→Rd´efinie par f(x, y) = (x5
(y−x2)2+x6si (x, y)6= (0,0),
0 si (x, y) = (0,0).
Montrer que fa en (0,0) une d´eriv´ee suivant tout vecteur v∈R2et que fn’est pas continue
en (0,0).
c) Que pensez-vous de la r´eciproque de a) ?
Exercice 15 Soient F= C([0,1],R) et E={ϕ∈C2([0,1],R) : ϕ(0) = ϕ(1) = 0}munis respective-
ment des normes
kfk∞= sup
t∈[0,1] |f(t)|,(f∈F) et kϕk=|ϕ0(0)|+kϕ00k∞,(ϕ∈E).
Montrer que l’application f:E→Fd´efinie par f(ϕ) = ϕ00 −ϕ3est diff´erentiable et calculer dfϕ(h),
(ϕ, h)∈E2.
Exercice 16 On d´esigne par `1l’espace vectoriel des suites r´eelles x= (xn)n>1telles que Pn>1|xn|<
∞, muni de la norme
kxk1=X
n>1|xn|.
On rappelle que (`1,k· k1) est un espace de Banach.
a) Soit c= (cn)n>1une suite de nombre r´eels telle que supn>1|cn|<∞. Pour tout x∈`1, on
pose
Φc(x) = X
n>1
cnxn.
(i) Montrer que l’on d´efinit ainsi une forme lin´eaire continue Φcsur `1, de norme kΦck=
supn>1|cn|.
(ii) Montrer que toute forme lin´eaire continue sur `1est de la forme Φc, o`u cest comme
indiqu´e ci-dessus.
b) (i) Montrer que si l’application f:x7−→ kxk1de `1dans R+est diff´erentiable en un point
z= (zn)n>1de `1, alors zn6= 0, pour tout n>1, et on a dfz= Φc, avec cn:= sgn(zn).
(ii) D´eterminer l’ensemble des points o`u fest diff´erentiable.
Exercice 17 Soit f∈C1(R,R) telle que f(0) = 0. On d´efinit F:`1→`1par
F(x) = (f(xi))i>1, x = (xi)i>1∈`1.
a) Montrer que Fest bien d´efinie.
b) Montrer que Fest diff´erentiable en tout point a∈`1et calculer dFa(h), h∈`1.
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Exercice 18 Pour x= (xn)n>1∈`1, on pose
f(x) = X
n>1|xn|2.
a) Montrer que f:`1→Rest bien d´efinie.
b) Montrer que fest de classe C1sur `1et calculer dfa(h), o`u (a, h)∈`1×`1.
Exercice 19 Soit Eun espace vectoriel r´eel muni d’un produit scalaire (x, y)→ hx, yiet de la norme
associ´ee kxk=hx, xi1/2. Soit uun endomorphisme continu, auto-adjoint de E, c’est-`a-dire v´erifiant,
pour tous xet yde E:
hx, u(y)i=hu(x), yi.
Enfin soit f:E\ {0} → Rl’application d´efinie par f(x) = hx, u(x)i
hx, xi.
a) Montrer que l’application de Edans R,x7−→ hx, u(x)iest diff´erentiable sur E. Calculer sa
diff´erentielle.
b) Montrer que fest diff´erentiable sur E\ {0}et calculer sa diff´erentielle.
c) Montrer qu’un ´el´ement non nul ade Ev´erifie dfa= 0 si et seulement si aest un vecteur propre
de u.
Exercice 20 L’espace vectoriel E= C([a, b],R) est muni de la norme de la convergence uniforme
kfk∞:= supt∈[a,b]|f(t)|,f∈E. Soit ϕ:R→Rune application de classe C1. Montrer que l’application
G:E→R,
G(f) := Zb
a
ϕ(f(x)) dx
est diff´erentiable sur Eet que sa diff´erentielle au point fest donn´ee, pour u∈Epar
dGf(u) = Zb
a
ϕ0(f(x))u(x)dx.
Exercice 21 Soit ϕ:`1→ϕ1l’application d´efinie par ϕ(u) = v, o`u v= (vn)n>1, avec pour tout
entier n>1,
vn=
n
X
p=1
upun−p.
a) Montrer que ϕest bien d´efinie.
b) Montrer que ϕest de classe C1sur `1et d´eterminer sa diff´erentielle.
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