Chapitre 8 Applications différentiables - IMJ-PRG

Chapitre 8
Applications différentiables
Soit f : I → E, où I est une intervalle de R, et E est un espace vectoriel normé réel.
On rappelle la définition du vecteur dérivé en a :
1
f ′ (a) = lim (f (a + h) − f (a)) .
h→0 h
La dérivabilité en a, c’est à dire l’existence de la limite précédente équivaut à l’existence
d’un développement limité d’ordre 1 :
f (a + h) = f (a) + hv + o(h) .
C’est ce point de vue qui se généralise. L’application linéaire continue :
R → E
h 7→ hv
est l’application linéaire tangente. On va la noter dfa :
dfa (h) = hv ∈ E , dfa ∈ L(R, E) .
Et lorsque f est dérivable sur I, df est une application de I dans L(R, E).
8.1
Différentiabilité
Définition 8.1.1. Soient E et F des espaces vectoriels normés (sur R ou C), U un
ouvert de E et a ∈ U .
f est différentiable en a si et seulement s’il existe une application linéaire continue L
telle que :
f (a + h) = f (a) + L(h) + o(||h||)
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Proposition 8.1.2. Lorsque f est différentiable en a, l’application L est unique.
On note dfa l’application linéaire continue L de la définition précédente. On l’appelle
la différentielle de f en a.
Définition 8.1.3. On dit que f est différentiable sur U lorsque f est différentiable en
tout point a de U ; df note alors l’application de U dans L(E, F ) qui à a associe dfa .
f est de classe C 1 sur U si et seulement si df : U → L(E, F ) est continue.
Proposition 8.1.4. Si f est différentiable en a alors elle est continue en a.
Remarque 8.1.5. La différentiabilité est locale : on ne modifie ni la différentiabilité en a,
ni la différentielle en a, si on restreint à un voisinage de a.
Exemple 8.1.6. Soit f : E → F , une application linéaire continue. L’application f est
différentiable de classe C 1 sur E ; pour tout a ∈ E, dfa = f ; df est constante.
Exemple 8.1.7. Soit f : E × F → G, une application bilinéaire continue. L’application
f est différentiable sur E. Pour (a, b) ∈ E × F , dfa,b (h, k) = f (h, b) + f (a, k).
Exercice 8.1.8. Démontrer que dans l’exemple 8.1.7, l’application f est de classe C 1 .
8.2
Différentiation des fonctions composées
Théorème 8.2.1. Soient E, F , G des espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, V
un ouvert de F , f : U → V , g : V → G, a ∈ U , b = f (a) ∈ V .
a) Si f est différentiable en a et g différentiable en b, alors g ◦ f est différentiable en a,
et d(g ◦ f )a = dgb ◦ dfa .
b) Si f est de classe C 1 sur U et g de classe C 1 sur V , alors g ◦ f est de classe C 1 sur
U.
Exercice 8.2.2. Soit E un espace vectoriel réel préhilbertien, de produit scalaire noté
h , i.
1. Déterminer la différentielle en a ∈ E de q : E → R définie par q(x) = hx, xi.
2. Déterminer la différentielle en a ∈ E de l’application norme : n définie par
1
n(x) = q(x) 2 .
8.3
Dérivée suivant un vecteur
Définition 8.3.1. Soient E et F des espaces vectoriels normés (sur R ou C), U un
ouvert de E, a ∈ U et v ∈ E.
L’application f est différentiable suivant le vecteur v si et seulement si f ◦ γv est
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différentiable en 0, où γv (t) = a + tv (pour t ∈ K, dans un voisinage de zéro). Dans ce
cas, on note dv fa la différentielle, et fv′ (a) le vecteur dérivé :
dv fa (h) = hfv′ (a) .
Remarque 8.3.2. Lorsque f est différentiable en a, alors elle admet des différentielles
suivant tout vecteur en a, obtenues avec le théorème des applications composées. La
réciproque est fausse.
8.4
8.4.1
Différentiation et espaces produits
Application à valeur dans un produit
Proposition 8.4.1. Une application à valeur dans un produit est différentiable (resp.
de classe C 1 ) si et seulement si ses composantes le sont.
8.4.2
Différentielles partielles
Soit U un ouvert de E1 × · · · × En , et f : U → F . (les Ej , 1 ≤ j ≤ n, et F sont
des espaces vectoriels normés). Pour a = (a1 , . . . , an ) ∈ U et 1 ≤ j ≤ n, on considère les
applications
ij,a : xj 7→ (a1 , . . . , aj−1 , xj , aj+1 , . . . an ) .
Définition 8.4.2. On appelle différentielles partielles de f en a, les différentielles des
composées f ◦ ij,a .
On les note dj fa .
Proposition 8.4.3. Avec les notations précédentes, si f est différentiable en a, alors
les différentielles partielles existent, et :
dfa (h1 , . . . , hn ) = d1 fa (h1 ) + · · · + dn fa (hn )
La réciproque est fausse en général, sauf avec une hypothèse de continuité des
différentielles partielles.
Proposition 8.4.4. Avec les notations précédentes, f est de classes C 1 sur U si et
seulement si les différentielles partielles existent et sont continues.
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8.4.3
Matrice jacobienne
On s’intéresse ici au cas où E = Kn et F = Km (K note R ou C). Une application
f : U → Km , avec U ouvert de Kn est déterminée par ses composantes f1 ,. . .,fm .
Lorsqu’elles existent, les différentielles partielles des composantes sont les applications
linéaires de K dans K :
∂fi
dj fi : hj 7→
hj .
∂xj
Définition 8.4.5. La matrice jacobienne de f en a est la matrice des dérivées partielles :
J(f )a =
Ç
∂fi
∂xj
å
.
1≤i≤m
1≤j≤n
Proposition 8.4.6. Si f est différentiable en a, alors la matyrice de dfa dans les bases
canoniques est la matrice jacobienne J(f )a .
Remarque 8.4.7. f est de classe C 1 sur U si et seulement si la matrice jacobienne existe
et est continue sur U .
8.5
Accroissements finis
On rappelle :
Théorème 8.5.1 (Rolle). Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[,
alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f ′ (c).
Théorème 8.5.2 (Accroissement finis). Soient f une application d’un intervalle [a, b]
dans un espace vectoriel normé réel F , et k une application de [a, b] dans R.
Si f et g sont continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[ et si :
∀x ∈]a, b[ , ||f ′ (x)|| ≤ k ′ (x) ,
alors :
||f (b) − f (a)|| ≤ k(b) − k(a) .
Définition 8.5.3. Une partie U d’un espace vectoriel est convexe si et seulement si :
∀a ∈ U , ∀b ∈ U , ∀t ∈ [0, 1] , (1 − t)a + tb ∈ U .
Corollaire 8.5.4. Soient E et F deux espaces vectoriel normés, U un ouvert convexe
de E, f : U → F différentiable sur U .
Si ∀x ∈ U , N (dfx ) ≤ M , alors :
∀a ∈ U , ∀b ∈ U , ||f (b) − f (a)|| ≤ M × ||b − a|| .
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Corollaire 8.5.5. Soient E et F deux espaces vectoriel normés, U un ouvert convexe
de E, f : U → F différentiable sur U , L une application linéaire continue de E dans F .
Si ∀x ∈ U , N (dfx − L) ≤ M , alors :
∀a ∈ U , ∀b ∈ U , ||f (b) − f (a) − L(b − a)|| ≤ M × ||b − a|| .
Remarque 8.5.6. On peut en particulier appliquer le corollaire précédent à L = dfa . C’est
un point clef de la preuve du théorème sur les différentielles partielles continues.
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