Chapitre 8 Applications différentiables - IMJ-PRG

Chapitre 8
Applications diff´erentiables
Soit f:I→E,o`uIest une intervalle de R,et Eest un espace vectoriel norm´er´eel.
On rappelle la d´efinition du vecteur d´eriv´een a:
f′(a)=lim
h→0
1
h(f(a+h)−f(a)) .
La d´erivabilit´een a,c’est `a dire l’existence de la limite pr´ec´edente ´equivaut `a l’existence
d’un d´eveloppementlimit´ed’ordre 1:
f(a+h)=f(a)+hv +o(h).
C’est ce pointde vue qui se g´en´eralise. L’application lin´eaire continue :
R→E
h7→ hv
est l’application lin´eaire tangente. On vala noter dfa:
dfa(h)=hv ∈E,dfa∈L(R,E).
Et lorsque fest d´erivable sur I,dfest une applicationde Idans L(R,E).
8.1 Diff´erentiabilit´e
D´efinition 8.1.1. SoientEet Fdes espaces vectoriels norm´es (sur Rou C), Uun
ouvert de Eet a∈U.
fest diff´erentiable en asi et seulements’il existe une application lin´eaire continue L
telle que :
f(a+h)=f(a)+L(h)+o(||h||)
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Proposition 8.1.2. Lorsque fest diff´erentiable en a,l’application Lest unique.
On note dfal’application lin´eaire continue Lde la d´efinition pr´ec´edente. On l’appelle
la diff´erentielle de fen a.
D´efinition 8.1.3. On dit que fest diff´erentiable sur Ulorsque fest diff´erentiable en
tout pointade U;dfnote alors l’application de Udans L(E,F)qui `a aassocie dfa.
fest de classe C1sur Usi et seulementsi df:U→L(E,F)est continue.
Proposition 8.1.4. Si fest diff´erentiable en aalors elle est continue en a.
Remarque 8.1.5.La diff´erentiabilit´eest locale :on ne modifie ni la diff´erentiabilit´een a,
ni la diff´erentielle en a,si on restreint`a un voisinage de a.
Exemple 8.1.6.Soit f:E→F,une application lin´eaire continue. L’applicationfest
diff´erentiable de classe C1sur E;pour tout a∈E,dfa=f;dfest constante.
Exemple 8.1.7.Soit f:E×F→G,une application bilin´eaire continue. L’application
fest diff´erentiable sur E.Pour (a, b)∈E×F,dfa,b(h, k)=f(h, b)+f(a, k).
Exercice8.1.8.D´emontrer que dans l’exemple 8.1.7, l’application fest de classe C1.
8.2 Diff´erentiation des fonctions compos´ees
Th´eor`eme 8.2.1. Soient E,F,Gdes espaces vectoriels norm´es, Uun ouvert de E,V
un ouvert de F,f:U→V,g:V→G,a∈U,b=f(a)∈V.
a) Si fest diff´erentiable en aet gdiff´erentiable en b,alors g◦fest diff´erentiable en a,
et d(g◦f)a=dgb◦dfa.
b) Si fest de classe C1sur Uet gde classe C1sur V,alors g◦fest de classe C1sur
U.
Exercice8.2.2.Soit Eun espace vectoriel r´eel pr´ehilbertien, de produit scalaire not´e
h,i.
1. D´eterminer la diff´erentielle en a∈Ede q:E→Rd´efinie par q(x)=hx, xi.
2. D´eterminer la diff´erentielle en a∈Ede l’application norme :nd´efinie par
n(x)=q(x)1
2.
8.3 D´eriv´ee suivantun vecteur
D´efinition 8.3.1. SoientEet Fdes espaces vectoriels norm´es (sur Rou C), Uun
ouvert de E,a∈Uet v∈E.
L’application fest diff´erentiable suivantle vecteur vsi et seulementsi f◦γvest
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diff´erentiable en 0, o`uγv(t)=a+tv (pour t∈K,dans un voisinage de z´ero). Dansce
cas, on note dvfala diff´erentielle, et f′
v(a)le vecteur d´eriv´e:
dvfa(h)=hf′
v(a).
Remarque 8.3.2.Lorsque fest diff´erentiable en a,alors elle admet des diff´erentielles
suivanttout vecteur en a,obtenues avec le th´eor`eme des applications compos´ees. La
r´eciproque est fausse.
8.4 Diff´erentiation et espaces produits
8.4.1 Application `avaleur dans un produit
Proposition 8.4.1. Une application `a valeur dans un produit est diff´erentiable (resp.
de classe C1)si et seulement si ses composantes le sont.
8.4.2 Diff´erentielles partielles
Soit Uun ouvert de E1×···×En,et f:U→F.(les Ej,1≤j≤n,et Fsont
des espaces vectoriels norm´es). Pour a=(a1,...,an)∈Uet 1≤j≤n,on consid`ere les
applications
ij,a :xj7→ (a1,...,aj−1,xj,aj+1, . . . an).
D´efinition 8.4.2. On appelle diff´erentielles partielles de fen a,les diff´erentielles des
compos´eesf◦ij,a.
On les note djfa.
Proposition 8.4.3. Avecles notations pr´ec´edentes, si fest diff´erentiable en a,alors
les diff´erentielles partielles existent, et :
dfa(h1,...,hn)=d1fa(h1)+· · · +dnfa(hn)
La r´eciproque est fausse en g´en´eral, sauf avec une hypoth`esede continuit´edes
diff´erentielles partielles.
Proposition 8.4.4. Avecles notations pr´ec´edentes, fest de classes C1sur Usi et
seulement si les diff´erentielles partielles existent et sont continues.
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8.4.3 Matrice jacobienne
On s’int´eresse ici au cas o`uE=Knet F=Km(Knote Rou C). Une application
f:U→Km,avec Uouvert de Knest d´etermin´ee par sescomposantes f1,. . .,fm.
Lorsqu’elles existent, les diff´erentielles partielles des composantes sontles applications
lin´eaires de Kdans K:
djfi:hj7→ ∂fi
∂xj
hj.
D´efinition 8.4.5. La matrice jacobienne de fen aest la matrice des d´eriv´ees partielles :
J(f)a=Ç∂fi
∂xjå1≤i≤m
1≤j≤n
.
Proposition 8.4.6. Si fest diff´erentiable en a,alors la matyricede dfadans les bases
canoniques est la matricejacobienne J(f)a.
Remarque 8.4.7.fest de classe C1sur Usi et seulementsi la matrice jacobienne existe
et est continue sur U.
8.5 Accroissements finis
On rappelle :
Th´eor`eme 8.5.1 (Rolle).Si f: [a, b]→Rest continue sur [a, b]et d´erivable sur ]a, b[,
alors il existe c∈]a, b[tel que f(b)−f(a)=(b−a)f′(c).
Th´eor`eme 8.5.2 (Accroissementfinis).Soient fune application d’un intervalle [a, b]
dans un espacevectoriel norm´er´eel F,et kune application de [a, b]dans R.
Si fet gsont continues sur [a, b],d´erivables sur ]a, b[et si :
∀x∈]a, b[,||f′(x)|| ≤k′(x),
alors :
||f(b)−f(a)|| ≤k(b)−k(a).
D´efinition 8.5.3. Une partie Ud’un espace vectoriel est convexe si et seulementsi :
∀a∈U,∀b∈U,∀t∈[0,1] ,(1 −t)a+tb ∈U.
Corollaire 8.5.4. Soient Eet Fdeux espaces vectoriel norm´es, Uun ouvert convexe
de E,f:U→Fdiff´erentiable sur U.
Si ∀x∈U,N(dfx)≤M,alors :
∀a∈U,∀b∈U,||f(b)−f(a)|| ≤M×||b−a|| .
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Corollaire 8.5.5. Soient Eet Fdeux espaces vectoriel norm´es, Uun ouvert convexe
de E,f:U→Fdiff´erentiable sur U,Lune application lin´eaire continue de Edans F.
Si ∀x∈U,N(dfx−L)≤M,alors :
∀a∈U,∀b∈U,||f(b)−f(a)−L(b−a)|| ≤M×||b−a|| .
Remarque 8.5.6.On peut en particulier appliquer le corollaire pr´ec´edent`a L=dfa.C’est
un pointclef de la preuvedu th´eor`eme sur les diff´erentielles partielles continues.
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