A. Introduction B. Rappel C. Exercices

201-NYB-05 — Calcul intégral Équations différentielles
A. Introduction
1. Une équation différentielle est une équation com-
portant (au moins) une dérivée.
2. L’ordre d’une équation différentielle est celui de
la dérivée d’ordre le plus élevé qui y figure. Ainsi,
y′′ −y′= 0 est une équation différentielle d’ordre
2. Nous nous limiterons aux équations différen-
tielles d’ordre 1.
3. Résoudre une équation différentielle, c’est
chercher la ou les fonctions qui la satisfont.
4. La solution d’une équation différentielle est
générale si aucune des constantes d’intégration
n’est déterminée; une solution est particulière si
toutes les constantes d’intégration ont été déter-
minées (généralement à partir de conditions ini-
tiales). Ainsi y= 7 e−2xest une solution par-
ticulière, alors que y=Ae−2xest la solution
générale, de l’équation différentielle y′=−2y.
5. Une équation différentielle d’ordre 1 est dite à
variables séparables si elle peut être ramenée à
la forme M(x)dx =N(y)dy.
6. Pour résoudre une équation différentielle à vari-
ables séparables, on intègre chaque membre de
l’équation par rapport à sa variable séparée.
B. Rappel
Si l’équation différentielle n’est pas donnée, il faut
l’établir à partir des informations qui nous sont don-
nées. Pour ce faire, il est important de se rappeler
que lorsqu’on dit que Aest proportionnel à B, cela
s’écrit A=kB, et que lorsqu’on dit que Aest in-
versement proportionnel à B, cela s’écrit A=k
B, où
kest constant. De plus, si on nous dit que Aest
proportionnel à Bet à C, cela s’écrit A=kBC.
C. Exercices
1. Résoudre dx
dt = 4√xavec x(9) = 1.
2. Résoudre dy
dx =−x yavec y(3) = −4.
3. Intégrez dp
dt + 2p= 8 si p(0) = 1.
4. Résoudre dx
dy =1 xy .
5. Résoudre dy
dx = e2x−y.
6. Résoudre (1 + ex)ydy −exdx = 0
7. Écrivez chacun des énoncés suivants sous la
forme d’une équation différentielle.
(a) Le taux de variation de l’aire Ad’un cercle
par rapport à son rayon rest proportionnel
au rayon du cercle.
(b) Le taux de variation d’une population P,
par rapport au temps, est proportionnel à
l’écart entre cette population et un nombre
limite Ld’individus que le milieu peut sup-
porter.
(c) Au temps t, le taux de croissance d’une
population de bactéries est proportionnel
au nombre Nde bactéries à l’instant tet
à la différence entre le nombre limite Lde
bactéries que le milieu peut supporter et le
nombre de bactéries à l’instant t.
(d) On administre un médicament par voie in-
traveineuse à raison de 3 mg/h et ce médica-
ment s’élimine naturellement du corps à un
taux proportionnel à la quantité présente.
(e) Le taux de propagation, dans une forêt,
d’un champignon microscopique qui
s’attaque à une certaine variété d’arbres
est proportionnel à la racine carrée du
nombre Nd’arbres déjà atteints et inverse-
ment proportionnel au temps écoulé depuis
le début de l’infestation.
8. Le radium se décompose en quantité proportion-
nelle à la quantité non encore décomposée. Si
la moitié de la quantité initiale disparaît en 1600
ans, alors exprimez la quantité restante au temps
tannées.
9. Le taux de refroidissement d’un corps dans l’air
est proportionnel à la différence entre la tem-
pérature du corps et celle du milieu dans lequel
il se trouve. La température de l’air étant de
20◦C, un corps se refroidit de 100◦C à 60◦C en
20 minutes. Exprimez la température du corps
en fonction du temps.
10. Un marin se trouve sur un bateau, leur masse
totale étant 200 kg. Si la force de propulsion
est de 60 newtons et si la résistance du milieu
en newton est le double de la vitesse en m/s,
trouvez la vitesse tsecondes après le démarrage.
11. Un bateau se déplace sur l’eau à 15 m/s. La ré-
sistance du milieu agissant sur l’embarcation est
proportionnelle au carré de la vitesse. Définir la
vitesse du bateau en fonction du temps tsecon-
des après que l’on ait coupé le moteur.
12. En chimie, l’ordre d’une réaction est défini par
l’équation différentielle qui décrit la vitesse de
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réaction. L’ordre étant la puissance de la concen-
tration du réactif dans l’équation. Déterminez le
temps de demie réaction d’une réaction d’ordre
deux.
13. Un réservoir contient initialement 100 litres de
liquide dans lequel sont dissous 60 grammes de
sel. De l’eau pure coule dans le réservoir à rai-
son de 2litres par minute, et la solution, main-
tenue uniforme par brassage, s’écoule en quantité
égale. Exprimez la quantité de sel restante dans
le réservoir au temps tminutes.
14. Un réservoir contient initialement 100 litres de
liquide dans lequel sont dissous 20 kg de sel. On
y verse 3litres par minute d’une solution de con-
centration en sel de 1/10 kg par litre. Le mélange
est maintenu uniforme par brassage. On retire
3litres par minute du réservoir, de sorte que le
volume reste constant. Trouvez la masse de sel
dans le réservoir au temps t.
15. Lorsqu’une source de tension constante de E
volts, une résistance de Rohms et une bobine de
Lhenrys sont montées en série, alors le courant
Idu circuit, tsecondes après la fermeture du
circuit, obéit à l’équation différentielle
LdI
dt +RI =E
Définissez Ien fonction de tsachant que I(0) = 0
ampère.
16. La plupart des produits pharmaceutiques,
comme la pénicilline, s’éliminent du sang à une
vitesse proportionnelle à la quantité restante y
dans le sang.
(a) Montrez que y(t) = y0e−kt pour une con-
stante k > 0si y0est la quantité initiale-
ment injectée.
(b) Si le produit est injecté à raison de I
mg/min, exprimez yen fonction du temps,
si y(0) = 0.
(c) Si la demi-vie du produit est deux heures,
quel est le taux d’injection qui maintiendra
à long terme la présence de 100 mg dans le
sang ?
17. Une substance γest formée par la combinaison
de deux autres, αet β, de façon que 2 g de αet
3 g de βforment 5 g de γ. Le taux de formation
de γest proportionnel au produit des quantités
de αet de βnon encore transformées [réaction
chimique de second ordre]. La constante de pro-
portionnalité est 1/20. La quantité initiale de γ
est nulle. Exprimez la quantité de γen fonction
du temps.
(a) S’il y a initialement 40 g de αet 60 g de β.
(b) S’il y a initialement 50 g de αet 50 g de β.
D. Réponses
1. √x= 2t+ 1
2. x2+y2= 25
3. p(t) = 4 −3e−2t
4. y=Aexp x2/2
5. y= log (A+ e2x/2)
6. y2= 2 log (1 + ex) + C
7. (a) dA
dr =kr
(b) dP
dt =k(L−P)
(c) dN
dt =kN(L−N)
(d) dQ
dt = 3 −kQ
(e) dN
dt =k√N t
8. dQ
dt =−kQ ;Q(t) = Qo(1/2)t/1600
9. dT
dt =−k(T−20) ;T(t) = 20 + 80e−ln (2)t/20
10. 200 dv
dt = 60 −2v;v(t) = 30 1−e−t/100m/s
11. mdv
dt =−v2;v(t) = 15 1+15kt/m m/s
12. d[α]
dt =−k[α]2,[α] = [α]0 1+k[α]0t,t1/2=1 k[α]0
13. dm =−dt ·2·m
100 ;m(t) = 60 e−t/50 g
14. dm
dt = 3( 1 10 −m 100 );m(t) = 10 + 10e−3t/100 kg
15. I(t) = E
R1−e−Rt/Lampères
16. (b) y(t) = I
k1−e−kt
(c) 5/6 log (2) mg/min
17. (a) z(t) = 120t
1+1,2t
(b) z(t) = 250 e0,5t−1
3e0,5t−2
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