2ndeISI Outils de calcul chapitre 2 2009-2010
Théorème 1
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :
f(x)×g(x) = 0 ⇐⇒ f(x) = 0 ou g(x) = 0.
Exemple 2
Résoudre dans Rl’équation (x+ 1)(2x+ 4) −(x−7)(x+ 1) = 0
➔(x+ 1)(2x+ 4) −(x−7)(x+ 1) = 0 ⇐⇒ x+ 1)[(2x+ 4) −(x−7)] = 0
⇐⇒ (x+ 1)(x+ 11) = 0
⇐⇒ x+ 1 = 0 ou x+ 11 = 0
⇐⇒ x=−1ou x=−11
⇐⇒ S ={−11; −1}.
Théorème 2
L’équation x2=apossède :
♦deux solutions si a > 0 : S={−√a;√a},
♦une solution si a= 0 : S={0},
♦aucune solution si a > 0 : S=∅.
Démonstration pour a > 0:
x2=a⇐⇒ x2−a= 0
⇐⇒ x2−(√a)2= 0
⇐⇒ (x−√a)(x+√a) = 0
⇐⇒ x−√a= 0 ou x+√a= 0
⇐⇒ x=√aou x=−√a.
Exemple 3
Résoudre dans Rl’équation E: (x+ 2)2−9 = 0 de deux manières différentes
➔E⇐⇒ (x+ 2)2= 9 ou ➔E⇐⇒ (x+ 2)2−(3)2= 0
⇐⇒ x+ 2 = √9ou x+ 2 = −√9⇐⇒ (x+ 2 + 3)(x+ 2 −3) = 0
⇐⇒ x+ 2 = 3 ou x+ 2 = −3⇐⇒ (x+ 5)(x−1) = 0
⇐⇒ x= 3 −2ou x=−3−2⇐⇒ x+ 5 = 0 ou x−1 = 0
⇐⇒ x= 1 ou x=−5⇐⇒ x=−5ou x= 1
⇐⇒ S ={−5; 1}.⇐⇒ S ={−5; 1}.
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