équations

2ndeISI Outils de calcul chapitre 2 2009-2010
RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
Table des matières
I Équations du premier degré 1
II Équation produit 1
IIIÉquation quotient 3
IV Résolution graphique d’une équation 3
⋆⋆⋆⋆⋆⋆
I Équations du premier degré
Définition 1
Une équation du premier degré est une équation de la forme ax +b= 0 avec a6= 0 où xest l’inconnue.
ax +b= 0 ⇐⇒ x=−b
adonc : S=−b a
Graphiquement, le nombre −b
acorrespond à l’abscisse du point d’intersection de la droite d’équation
y=ax +bavec l’axe des abscisses.
Exemple 1
Résoudre dans Rles équations E1: 2x−13 = −3x+ 2 et E2:x−4 = 9x+ 6 + 2x
➔E1⇐⇒ 2x+ 3x= 2 + 13 ➔E2⇐⇒ x−9x−2x= 6 + 4
⇐⇒ 5x= 15 ⇐⇒ −10x= 10
⇐⇒ x= 3 ⇐⇒ x=−1
⇐⇒ S ={3}.⇐⇒ S ={−1}.
II Équation produit
Lorsque l’on a affaire à un produit de plusieurs facteurs qui doit être égal à 0, on utilise le théorème
important suivant :
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Théorème 1
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :
f(x)×g(x) = 0 ⇐⇒ f(x) = 0 ou g(x) = 0.
Exemple 2
Résoudre dans Rl’équation (x+ 1)(2x+ 4) −(x−7)(x+ 1) = 0
➔(x+ 1)(2x+ 4) −(x−7)(x+ 1) = 0 ⇐⇒ x+ 1)[(2x+ 4) −(x−7)] = 0
⇐⇒ (x+ 1)(x+ 11) = 0
⇐⇒ x+ 1 = 0 ou x+ 11 = 0
⇐⇒ x=−1ou x=−11
⇐⇒ S ={−11; −1}.
Théorème 2
L’équation x2=apossède :
♦deux solutions si a > 0 : S={−√a;√a},
♦une solution si a= 0 : S={0},
♦aucune solution si a > 0 : S=∅.
Démonstration pour a > 0:
x2=a⇐⇒ x2−a= 0
⇐⇒ x2−(√a)2= 0
⇐⇒ (x−√a)(x+√a) = 0
⇐⇒ x−√a= 0 ou x+√a= 0
⇐⇒ x=√aou x=−√a.
Exemple 3
Résoudre dans Rl’équation E: (x+ 2)2−9 = 0 de deux manières différentes
➔E⇐⇒ (x+ 2)2= 9 ou ➔E⇐⇒ (x+ 2)2−(3)2= 0
⇐⇒ x+ 2 = √9ou x+ 2 = −√9⇐⇒ (x+ 2 + 3)(x+ 2 −3) = 0
⇐⇒ x+ 2 = 3 ou x+ 2 = −3⇐⇒ (x+ 5)(x−1) = 0
⇐⇒ x= 3 −2ou x=−3−2⇐⇒ x+ 5 = 0 ou x−1 = 0
⇐⇒ x= 1 ou x=−5⇐⇒ x=−5ou x= 1
⇐⇒ S ={−5; 1}.⇐⇒ S ={−5; 1}.
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III Équation quotient
Théorème 3
♦L’équation f(x)
g(x)= 0 est équivalente à g(x)6= 0 et f(x) = 0.
♦L’équation f(x)
g(x)=h(x) k(x)est équivalente à g(x)6= 0 et k(x)6= 0 et f(x)×k(x) = g(x)×h(x).
Exemple 4
Résoudre l’équation x−2
−x−1= 0.
➔−x−16= 0 et x−2 = 0 soit x6=−1et x= 2
➔S={2}.
Exemple 5
Résoudre l’équation 2x+ 1
x=2x x+ 4.
➔x6= 0 et x+ 4 6= 0 et (2x+ 1) ×(x+ 4) = x×(2x),
➔x6= 0 et x6=−4et 2x2+ 8x+x+ 4 = 2x2⇐⇒ 9x+ 4 = 0 ⇐⇒ x=−4
9.
➔Conclusion : S=−4
9
IV Résolution graphique d’une équation
Soient fet gdeux fonctions de courbes représentatives Cfet Cg.
•Les solutions de l’équation f(x) = ksont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cfavec
la droite horizontale d’équation y=k.
•Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection entre Cfet Cg.
Exemple 6
On considère les courbes représentatives Cfet de Cg
de deux fonctions fet g.
Résoudre graphiquement :
➔f(x) = 0 S={−1; 3}
➔f(x) = 5 S={−2; 4}
➔f(x) = −4S={1}
➔f(x) = −5S=∅
➔f(x) = g(x)S={0; 3}
1234−1−2−3
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Cf
Cg
y= 5
y= 0
y=−4
y=−5
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