2ndeISI Outils de calcul chapitre 2 2009-2010
RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
Table des matières
I Équations du premier degré 1
II Équation produit 1
IIIÉquation quotient 3
IV Résolution graphique d’une équation 3
⋆⋆⋆⋆⋆⋆
I Équations du premier deg
Définition 1
Une équation du premier degré est une équation de la forme ax +b= 0 avec a6= 0 où xest l’inconnue.
ax +b= 0 x=b
adonc : S=b
a
Graphiquement, le nombre b
acorrespond à l’abscisse du point d’intersection de la droite d’équation
y=ax +bavec l’axe des abscisses.
Exemple 1
Résoudre dans Rles équations E1: 2x13 = 3x+ 2 et E2:x4 = 9x+ 6 + 2x
E12x+ 3x= 2 + 13 E2x9x2x= 6 + 4
5x= 15 ⇒ −10x= 10
x= 3 x=1
S ={3}. S ={−1}.
II Équation produit
Lorsque l’on a affaire à un produit de plusieurs facteurs qui doit être égal à 0, on utilise le théorème
important suivant :
http://mathematiques.daval.free.fr -1-
2ndeISI Outils de calcul chapitre 2 2009-2010
Théorème 1
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :
f(x)×g(x) = 0 f(x) = 0 ou g(x) = 0.
Exemple 2
Résoudre dans Rl’équation (x+ 1)(2x+ 4) (x7)(x+ 1) = 0
(x+ 1)(2x+ 4) (x7)(x+ 1) = 0 x+ 1)[(2x+ 4) (x7)] = 0
(x+ 1)(x+ 11) = 0
x+ 1 = 0 ou x+ 11 = 0
x=1ou x=11
S ={−11; 1}.
Théorème 2
L’équation x2=apossède :
deux solutions si a > 0 : S={−a;a},
une solution si a= 0 : S={0},
aucune solution si a > 0 : S=.
Démonstration pour a > 0:
x2=ax2a= 0
x2(a)2= 0
(xa)(x+a) = 0
xa= 0 ou x+a= 0
x=aou x=a.
Exemple 3
Résoudre dans Rl’équation E: (x+ 2)29 = 0 de deux manières différentes
E(x+ 2)2= 9 ou E(x+ 2)2(3)2= 0
x+ 2 = 9ou x+ 2 = 9(x+ 2 + 3)(x+ 2 3) = 0
x+ 2 = 3 ou x+ 2 = 3(x+ 5)(x1) = 0
x= 3 2ou x=32x+ 5 = 0 ou x1 = 0
x= 1 ou x=5x=5ou x= 1
S ={−5; 1}. S ={−5; 1}.
http://mathematiques.daval.free.fr -2-
2ndeISI Outils de calcul chapitre 2 2009-2010
III Équation quotient
Théorème 3
L’équation f(x)
g(x)= 0 est équivalente à g(x)6= 0 et f(x) = 0.
L’équation f(x)
g(x)=h(x)
k(x)est équivalente à g(x)6= 0 et k(x)6= 0 et f(x)×k(x) = g(x)×h(x).
Exemple 4
Résoudre l’équation x2
x1= 0.
x16= 0 et x2 = 0 soit x6=1et x= 2
S={2}.
Exemple 5
Résoudre l’équation 2x+ 1
x=2x
x+ 4.
x6= 0 et x+ 4 6= 0 et (2x+ 1) ×(x+ 4) = x×(2x),
x6= 0 et x6=4et 2x2+ 8x+x+ 4 = 2x29x+ 4 = 0 x=4
9.
Conclusion : S=4
9
IV Résolution graphique d’une équation
Soient fet gdeux fonctions de courbes représentatives Cfet Cg.
Les solutions de l’équation f(x) = ksont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cfavec
la droite horizontale d’équation y=k.
Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection entre Cfet Cg.
Exemple 6
On considère les courbes représentatives Cfet de Cg
de deux fonctions fet g.
Résoudre graphiquement :
f(x) = 0 S={−1; 3}
f(x) = 5 S={−2; 4}
f(x) = 4S={1}
f(x) = 5S=
f(x) = g(x)S={0; 3}
1234123
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
Cf
Cg
y= 5
y= 0
y=4
y=5
http://mathematiques.daval.free.fr -3-
1 / 3 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !