exercices sur les fonctions derivables

EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES
DERIVEES - DERIVABILITE
1. Calculer les limites des fonctions fdéfinies ci-dessous aux points indiqués.
a)f(x) = tan x−1
x−π/4(x→π/4) b)f(x) = e3x−e3 x3−1(x→1)
c)f(x) = x1−cos 1
x(x→+∞) d) f(x) = x+ ln(1 −e2−x)−ln(x−2) (x→2)
2. Calculer la dérivée des fonctions fdéfinies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de
définition).
a) f(x) = tan p1−x2,b) f(x) = ln |x−extan x|,c) f(x) = (1 + x)x2,d) f(x) = sin(cos(sin x))
e) f(x) = sin(2x)
sin(3x),f) f(x) = ln |tan x−xex|,g) f(x) = (1 + x2)1+x2.
3. Donner une formule de dérivation pour la composée f◦g◦h.
4. Calculer pour x6= 0 la dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = arctan x+ arctan 1
x,et retrouver
la valeur de f(x).
5. Soit fune fonction numérique dérivable sur R. Que peut-on dire de f′si fest paire, si fest impaire,
si fest périodique ? Examiner les réciproques.
6. Calculer la dérivée n-ième des fonctions définies ci-dessous.
a) f(x) = 1
ax +b(a6= 0) ,b) g(x) = ln |x|,c) h(x) = 1 x2−1,d) k(x) = 1
√x.
7. a) Soit nun entier positif. On définit sur Rla fonction fnen posant fn(x) = xn. Calculer les dérivées
successives de fn.
b) Calculer la dérivée d’ordre nde f2ndirectement, puis en écrivant f2n=fn·fnet en utilisant la formule
de Leibniz. En déduire la relation n
X
k=0 n
k2
=2n
n.
1

8. Déterminer si les fonctions fsuivantes sont dérivables sur R.
a) f(x) = (x−1)2si x≤ −1
−4x+ 1 si x > −1b) f(x) = (x−1)2si x≤1
(x−1)3si x > 1
c) f(x) = (x−1)2si x≤2
x3−10xsi x > 2d) f(x) = 3(x+ 1)2si x≤ −1
(2x+ 1)(x+ 1)3si x > −1
9. Déterminer aet bpour que la fonction fsuivante soit dérivable sur R.
f(x) = x2+x+ 1 si x≥1
ax3+bx + 2 si x < 1.
10. Déterminer aet bpour que la fonction fsuivante soit dérivable sur R.
f(x) = x2−x+ 1 si x≥2
(ax +b)2si x < 2.
11. Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x) = ch √xsi x≥0
cos √−xsi x < 0.
Montrer, de deux façons différentes, que fest dérivable en 0. Cette fonction est-elle deux fois dérivable
en zéro ?
12. Démontrer que la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 1
2x|x|est dérivable sur R, et calculer sa
dérivée f′.
13. Soit la fonction fdéfinie sur ] 0,+∞[par
f(x) = x√x.
Par quelle valeur faut-il prolonger fen 0, pour que le prolongement e fsoit continu sur R+. Dans ce cas,
étudier si e fest dérivable sur R+.
14. Déterminer si les fonctions fsuivantes possèdent une dérivée à droite en 0, et calculer f′(0) si c’est
le cas, puis calculer f′(x)pour tout x > 0. Si fest dérivable sur [ 0,+∞[est-elle de classe C1sur cet
intervalle ?
a)f(x) = px2+√x5b)f(x) = x·ln xsi x > 0
0 si x= 0
c)f(x) = xxsi x > 0
1 si x= 0 d)f(x) = xxxsi x > 0
0 si x= 0
15. Soit la fonction fdéfinie sur Rpar
f(x) = x3ln |x|si x6= 0
0 si x= 0 .
Déterminer la plus grande valeur ktelle que fsoit de classe Cksur R.
16. a) Soit fla fonction définie sur R+par
f(x) = x2sin √x .
2

La fonction fest-elle dérivable en 0 ? deux fois dérivable en 0 ?
b) Mêmes questions avec les fonctions get hdéfinies sur R+par
g(x) = (sin √x)2et h(x) = (sin √x)3.
17. Déterminer l’ensemble des points de Roù la fonction fdéfinie par
f(x) = |x−1| − 2
est dérivable.
18. Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x) = cos[πx E(x)] .
a) Déterminer les points de Rpour lesquels fest continue.
b) Déterminer les points de Rpour lesquels fest dérivable.
19. Soit nun entier strictement positif. On définit une fonction fsur Ren posant
f(x) = 
xnsin21
xsi x6= 0
0 si x= 0
Etudier suivant les valeurs de n, si
a) fest continue sur R
b) fest dérivable sur R
c) fest continûment dérivable sur R.
20. a) Soient nun entier naturel, et αun nombre réel. On définit la fonction fn,α sur Rpar
fn,α(x) = 
xnsin 1
x−αsi x6= 0
0 si x= 0
a) Montrer que fn,α est de classe C1sur R∗, et exprimer f′
n,α à l’aide des fonctions fp,β.
b) Déterminer, pour quelles valeurs de nla fonction fn,α
b1) admet une limite en 0
b2) est continue en 0
b3) est dérivable en 0
b4) est de classe C1sur R
b5) est deux fois dérivable en 0.
21. Soit fla fonction définie sur ]−π/2, π/2 [ \{0}par
f(x) = tan x−sin x
x3.
Montrer que fest prolongeable par continuité en 0, puis, que son prolongement e fest dérivable en 0. La
fonction e fest-elle deux fois dérivable en 0 ?
3

22. Soit fla fonction définie sur R∗par
f(x) = sh x−sin x
x3.
Montrer que fest prolongeable par continuité en 0, puis, que son prolongement e fest dérivable en 0. La
fonction e fest-elle deux fois dérivable en 0 ?
23. a) Montrer que la fonction fde Rdans Rdéfinie par
f(x) = x+ex
est bijective. On note gl’application réciproque de f. Justifier que gest deux fois dérivable sur R. Calculer
g(1),g′(1) et g′′(1).
b) Même problème pour la fonction fde Rdans Rdéfinie par
f(x) = 2x+ cos x .
24. Soit f la fonction de Rdans Rdéfinie par
f(x) = 2x+ sin x .
a) Montrer que f est bijective. Déterminer son développement limité à l’ordre 3 en 0.
b) On pose g=f−1. Justifier que l’application gest trois fois dérivable sur R, et ainsi qu’elle admet un
développement limité à l’ordre 3 en 0.
Ecrire ce développement à l’aide des nombres a=g(0),b=g′(0),c=g′′(0) et d=g′′′(0), puis calculer
a, b, c et den identifiant le développement limité à l’ordre 3 en 0 des deux membres de l’égalité g◦f= Id.
25. Soit fla fonction définie par
f(x) = e−1/x2si x6= 0
0 si x= 0 .
a) Montrer que fest continue sur R.
b) Montrer que pour tout entier n≥1, il existe un polynôme pair Pnde degré 2(n−1), dont le coefficient
du terme de plus haut degré vaut an= (−1)n+1(n+ 1)!, tel que Pn(0) = 2n, et qui vérifie, pour tout x
non nul
f(n)(x) = f(x)Pn(x)
x3n.
c) Calculer la limite de f(n)(x)lorsque xtend vers zéro, et en déduire que fest de classe C∞sur R, ainsi
que la valeur de f(n)(0).
26. Soit fdéfinie sur Rpar
f(x) = 
3 + 2x+x3E1
xsi x6= 0
3 si x= 0
a) Montrer que fpossède un d.l. d’ordre 2 au voisinage de 0.
4

b) Montrer que fest dérivable en zéro. Est-elle dérivable dans un intervalle [−h, h ] (h > 0) ? Est-elle
deux fois dérivable en zéro ?
27. Soient fune fonction numérique définie sur R,aun nombre réel, et θla fonction définie sur R∗par
θ(h) = f(a+h)−f(a−h)
2h.
a) Montrer que si fest dérivable à gauche et à droite en a, la fonction θadmet une limite en 0, que l’on
calculera en fonction de f′
g(a)et f′
d(a)(cette limite est appelée dérivée centrée de fen a).
b) Etudier la réciproque. (Remarquer que si fest une fonction paire et si a= 0, alors θadmet une limite
en zéro).
28. On cherche les applications fde Rdans R, dérivables en 0, et telles que, pour tout xréel,
f(2x) = 2f(x).
a) Calculer f(0).
b) Montrer que pour tout réel xet tout entier npositif
2−nf(x) = f(2−nx).
c) On pose yn= 2−nx. Calculer de deux manières différentes la limite, quand ntend vers l’infini, du
rapport f(yn)/yn.
d) En déduire les applications cherchées.
29. Soit f(x) = sin xet g(x) = cos x. Les fonctions fet gsont continues sur R. On veut démontrer
que les fonctions fet gsont dérivables sur R, en sachant uniquement que fest dérivable en 0et que
f′(0) = 1 (et les formules de trigonométries usuelles).
a) Montrer qu’alors g′(0) = 0.
b) Montrer que fest dérivable sur Ret que f′=g,
c) Déduire de b) que g′=−f.
30. a) Effectuer le développement limité à l’ordre 2 en zéro de
f(x) = ln ex+cos x−e
x+x2.
En déduire que fse prolonge par continuité en 0.
b) Montrer que son prolongement est dérivable en zéro, et faire l’étude locale de la fonction au voisinage
de 0. (Equation de la tangente, position de la courbe par rapport à la tangente, dessin).
REMARQUE : d’autres études locales se trouvent dans la feuille « Développements limités ».
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