electromagnetsme i

Université de Gabès
Faculté des Sciences de Gabès
Département de Physique
Cours
Deuxième année LFPh
ELECTROMAGNETSME I
Chapitre 1
Kamel Khirouni
Raouia Jemai
Année universitaire 2015-2016

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Table des matières
1 COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE 5
1.1 OPERATEURSDIFFERENTIELS ................................. 5
1.1.1 Gradient............................................ 5
1.1.2 Divergence .......................................... 7
1.1.3 Rotationnel.......................................... 8
1.1.4 Laplacien........................................... 11
1.1.5 Formules d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 CONSEQUENCES DES THEOREMES DE STOKES-AMPERE ET DE GREEN-OSTROGRADSKI 12
1.3 COORDONNEESCURVILIGNES ................................. 13
2 RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE 17
2.1 RAPPEL DES EQUATIONS DE L’ ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 RELATION DE CONTINUITE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Discontinuité de la composante normale du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Continuité de la composante tangentielle du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 ENERGIEELECTROSTATIQUE .................................. 20
2.3.1 Rappel : Energie électrostatique d’une charge placée dans un champ électrostatique . . . 20
2.3.2 Energie électrostatique propre d’une distribution de charges ponctuelles . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Energie électrostatique propre d’une distribution continue de charges . . . . . . . . . . . 21
2.3.4 Localisation et densité d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.5 Energie potentielle d’interaction entre deux distributions continues de charges . . . . . . . 23
2.4 DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE DE CHARGES ELECTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Potentiel électrostatique créé par une distribution multipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Résultante des forces agissant sur la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 Moment agissant sur une distribution dipolaire placée dans un champ électrostatique . . . 27
2.5.3 Energie d’interaction d’une distribution dipolaire avec un champ électrostatique . . . . . 28
2.5.4 Condition d’équilibre d’une distribution dipolaire dans un champ électrostatqiue . . . . . 28
3 COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE 29
3.1 COMPLEMENT D’ELECTROCINETIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Courant et densité volumique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Densité surfacique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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4TABLE DES MATIÈRES
3.2 RAPPEL DES EQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 NOTION DU POTENTIEL VECTEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Définition et expression du potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 Application : Calcul du champ magnétique créé par un dipôle magnétique . . . . . . . . . 33
3.3.3 Equation locale donnant le potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 FORCE D’INTERACTION ENTRE DEUX CIRCUITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 EQUATIONSDECONTINUITE................................... 37
3.5.1 Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.2 Continuité de la composante normale du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chapitre 1
COMPLEMENT D’ ANALYSE
VECTORIELLE
1.1 OPERATEURS DIFFERENTIELS
1.1.1 Gradient
1.1.1.1 Définition
Soit un champ scalaire g(−−→ OM). A un déplacement élémentaire d−→ Mest associée une variation élémentaire dg de g
dg =g(−−→ OM +d−→ M)−g(−−→ OM)
Le gradient de gen Mest le vecteur noté −−−→ gradMgtel que
dg =−−−→ gradMg·d−→ M(1.1)
Le gradient d’un champ scalaire gindique l’importance de la variation spatiale de g.
Remarque : s’il n’y a pas d’ambiguité, le point M dans la notation −−−→ gradMest souvent omis.
1.1.1.2 Propriétés
♠−−→ grad g est orthogonal à la surface d’équation g=cte.
Dem : Pour tout déplacement élémentaire d−→ M sur la surface Σd’équation g =cte, la variation dg est nulle.
Par conséquent, −−→ grad g est perpendiculaire à tout déplacement d−→ M tangent à la surface Σ. Il est donc
orthogonal à la surface Σ.
♠−−→ grad g est dirigé vers les gcroissants.
Dem :Soient deux surfaces Σ1et Σ2d’équation respectivement g =g1et g =g2telle que g2>g1. Soit un
vecteur d−→ M dirigé de Σ1vers Σ2. On a
dg =−−→ grad g ·d−→ M>0
et par suite −−→ grad g est parallèle à d−→ M.
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