electromagnetsme i

Université de Gabès
Faculté des Sciences de Gabès
Département de Physique
Cours
Deuxième année LFPh
ELECTROMAGNETSME I
Chapitre 1
Kamel Khirouni
Raouia Jemai
Année universitaire 2015-2016
2
Table des matières
1
2
COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE
5
1.1
OPERATEURS DIFFERENTIELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2
Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3
Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.4
Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.5
Formules d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
CONSEQUENCES DES THEOREMES DE STOKES-AMPERE ET DE GREEN-OSTROGRADSKI 12
1.3
COORDONNEES CURVILIGNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE
17
2.1
RAPPEL DES EQUATIONS DE L’ ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
RELATION DE CONTINUITE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.1
Discontinuité de la composante normale du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.2
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . .
19
ENERGIE ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3
3
13
2.3.1
Rappel : Energie électrostatique d’une charge placée dans un champ électrostatique . . .
20
2.3.2
Energie électrostatique propre d’une distribution de charges ponctuelles . . . . . . . . . .
20
2.3.3
Energie électrostatique propre d’une distribution continue de charges . . . . . . . . . . .
21
2.3.4
Localisation et densité d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.5
Energie potentielle d’interaction entre deux distributions continues de charges . . . . . . .
23
2.4
DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE DE CHARGES ELECTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.5
Potentiel électrostatique créé par une distribution multipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.5.1
Résultante des forces agissant sur la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.5.2
Moment agissant sur une distribution dipolaire placée dans un champ électrostatique . . .
27
2.5.3
Energie d’interaction d’une distribution dipolaire avec un champ électrostatique . . . . .
28
2.5.4
Condition d’équilibre d’une distribution dipolaire dans un champ électrostatqiue . . . . .
28
COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE
29
3.1
COMPLEMENT D’ELECTROCINETIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.1.1
Courant et densité volumique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.1.2
Densité surfacique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3
4
TABLE DES MATIÈRES
3.2
RAPPEL DES EQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3
NOTION DU POTENTIEL VECTEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.3.1
Définition et expression du potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.3.2
Application : Calcul du champ magnétique créé par un dipôle magnétique . . . . . . . . .
33
3.3.3
Equation locale donnant le potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.4
FORCE D’INTERACTION ENTRE DEUX CIRCUITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.5
EQUATIONS DE CONTINUITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.5.1
Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique . . . . . . . . . . . . .
37
3.5.2
Continuité de la composante normale du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Chapitre 1
COMPLEMENT D’ ANALYSE
VECTORIELLE
1.1
OPERATEURS DIFFERENTIELS
1.1.1
Gradient
1.1.1.1
Définition
−−→
→
−
Soit un champ scalaire g(OM). A un déplacement élémentaire d M est associée une variation élémentaire dg de g
−−→
−−→
→
−
dg = g(OM + d M ) − g(OM)
−−−→
Le gradient de g en M est le vecteur noté gradM g tel que
−−−→
→
−
dg = gradM g · d M
(1.1)
Le gradient d’un champ scalaire g indique l’importance de la variation spatiale de g.
−−−→
Remarque : s’il n’y a pas d’ambiguité, le point M dans la notation gradM est souvent omis.
1.1.1.2
Propriétés
−−→
♠ grad g est orthogonal à la surface d’équation g = cte.
→
−
Dem : Pour tout déplacement élémentaire d M sur la surface Σ d’équation g = cte, la variation dg est nulle.
−−→
→
−
Par conséquent, grad g est perpendiculaire à tout déplacement d M tangent à la surface Σ. Il est donc
orthogonal à la surface Σ.
−−→
♠ grad g est dirigé vers les g croissants.
Dem :Soient deux surfaces Σ1 et Σ2 d’équation respectivement g = g1 et g = g2 telle que g2 > g1 . Soit un
→
−
vecteur d M dirigé de Σ1 vers Σ2 . On a
−−→
→
−
dg = grad g · d M > 0
−−→
→
−
et par suite grad g est parallèle à d M .
5
6
CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE
→
−
Si maintenant d M est dirigé de Σ2 vers Σ1 . On a
−−→
→
−
dg = grad g · d M < 0
−−→
→
−
et par suite grad g est antiparallèle à d M .
−−→
grad g est donc toujours dirigé vers les g croissants.
♠
Z B
−−→
→
−
grad g · d M =
Z B
A
dg
A
= g(B) − g(A)
La circulation
(1.2)
Z B
−−→
→
−
grad g · d M est donc indépendante du chemin allant de A vers B.
A
♠ Il en résulte de la propriété précédente que le long d’un contour fermé (A = B)
I
−−→
→
−
grad g · d M = 0
(1.3)
♠ l’opérateur gradient peut être associé à plusieurs grandeurs physiques. On cite par exemple le :
• gradient du potentiel électrique (induit le phénomène de champ électrique
• gradient de concentration (induit le phénomène de diffusion de particules
• gradient de température (induit le phénomène de diffusion thermique
• gradient d’indice optique (induit le phénomène de déviation du rayon lumineux
∂g
∂g
∂g
♠ En coordonnées cartésiennes, dg = dx + dy + dz. Par conséquent, dans ce système de coordonnées, le
∂x
∂y
∂z
−−→
vecteur grad g associé au champ scalaire g a pour composantes
 
∂g
 ∂x 

−−→ 
 ∂g 
(1.4)
grad g  
 ∂y 
 ∂g 
∂z
→
−
♠ Dans le système de coordonnées cartésiennes, on définit un vecteur nabla noté ∇ par
→
− →
∂ − ∂ →
∂
∇ =−
ex + →
ey + −
ez
∂x
∂y
∂z
il s’en suit que
→
−
−−→
grad g = ∇ g
−→ →
−
0 0 0
♠ Soient deux points
 P 0et
M de coordonnées respectivement (x , y , z ) et (x, y, z). Le rayon vecteur PM = r a
x−x
pour coordonnées y − y0 . Son module est
z − z0
r=
q
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
1.1. OPERATEURS DIFFERENTIELS
7
On obtient facilement
−r
−−−→ 1 −→
gradM = 3
r
r
−−−→ 1
= −gradP
r
 
x
−−→
→
−
♠ Si A est un vecteur uniforme et OM de coordonnées y alors
z
(1.5)
−−→ →
− −−→
→
−
grad ( A · OM) = A
(1.6)
→
−
→
−
→
− −−→
♠ Si A est un champ vectoriel, l’opérateur gradient le long du vecteur A est noté ( A · grad) et il est défini par
∂
∂
∂
→
− −−→
( A · grad) = Ax + Ay + Az
∂x
∂y
∂z
Lorsque cet opérateur est appliqué à un champ scalaire g, on a
∂g
∂g
∂g
→
− −−→
( A · grad)g = Ax + Ay + Az
∂x
∂y
∂z
(1.7)
→
−
Lorsque cet opérateur est appliqué à un champ vectoriel G , on a
∂Gx
∂Gx
∂Gx
Ax
+ Ay
+ Az
∂x
∂y
∂z
→
− −−→ →
− ∂Gy
∂Gy
∂Gy
A · grad) G = Ax
+ Ay
+ Az
∂x
∂y
∂z
∂G
∂Gz
∂Gz
z
A
+ Ay
+ Az
x
∂x
∂y
∂z
1.1.2
Divergence
1.1.2.1
Définition
(1.8)
→
−
→
−
Soit un champ de vecteurs A (M). Le flux de A à travers une surface fermée Σ délimitant un volume V est
→
− →
−
Φ = A ·d S
ZZ
Σ
→
−
→
−
La divergence de A notée div A est définie par
→
− →
−
A ·d S
ZZ
→
−
div A = lim
V →0
Σ
V
(1.9)
Un champ de vecteurs diverge en un point M si son flux à travers une surface élémentaire entourant ce point est
non nul.
8
1.1.2.2
CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE
Théorème de Green-Ostrogradski
De la définition de la divergence, on déduit que
→
− →
−
→
−
dΦ = A · d S = div A dτ
→
−
où d S est la surface fermée élémentaire délimitant le volume élémentaire dτ. En intégrant cette égalité, on obtient
le théorème de Green-Ostrogradski
→
−
Le flux sortant d’un champ vectoriel A à travers une surface fermée Σ délimitant un volume V est égal à l’intégrale de sa divergence sur ce volume
V
→
− →
−
A ·d S =
ZZ
ZZZ
1.1.2.3
→
−
div A dτ
(1.10)
V
Σ
Propriétés
♣ Un champ à divergence nulle a donc un flux nul à travers toute surface fermée : il est dit à flux conservatif.
♣ En coordonnée cartésiennes, on a d’après la figure (1.1
→
− →
−
A · d S = (Ax (x + dx, y, z) − Ax (x, y, z))dydz
+ (Ay (x, y + dy, z) − Ay (x, y, z))dxdz
+ (Az (x, y, z + dz) − Az (x, y, z))dxdy
∂Ay
∂Az
∂Ax
dxdydz +
dxdydz +
dxdydz
∂x
∂y
∂z
→
−
= div A dτ
=
D’où
− →
∂Ax ∂Ay ∂Az →
→
−
−
div A =
+
+
=∇·A
(1.11)
∂x
∂y
∂z
 
x
−−→
→
−
♣ Soit le rayon vecteur r = OM de coordonnées cartésiennes y. En utilisant la relation (11), on obtient
z
−r = 3
div→
1.1.3
Rotationnel
1.1.3.1
Définition
→
−
→
−
Soit un champ de vecteur A . La circulation de A le long d’un contour Γ est
laquelle est rapporté l’espace.
Z
Γ
−
→
− →
−
−
−
A · d ` . Soit (→
e1 , →
e2 , →
e3 ) la base à
1.1. OPERATEURS DIFFERENTIELS
9
F IGURE 1.1 – Flux à travers la surface d’un parallélépipède élémentaire
→
−
−
−
→→
Le rotationnel du vecteur A est noté rot A et a pour composantes
−
−
→→
(rot A )i = lim
dSi →0
→
−
A ·d `
,
dSi
R →
−
Γi
i = 1, 2, 3
(1.12)
−
où dSi est un élément de surface orthogonal à →
ei et s’appuyant sur Γi .
Cette définition signifie que la projection sur la normale à une surface élémentaire du rotationnel d’un champ
vectoriel est égale à la circulation, par unité de surface, de ce champ le long du contour associé à la surface (figure
1.2-a).
F IGURE 1.2 – Projection du rotationnel d’un vecteur et caractère tournant d’un vecteur à rotationnel non nul
Un champ de vecteur à rotationnel non nul en un point, effectue donc une rotation autour de ce point puisque sa
circulation sur tout contour associé au point est non nulle. Ceci permet de comprendre l’origine de la dénomination
" rotationnel" (figure 1.2-b).
1.1.3.2
Théorème de Stokes-Ampère
10
CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE
De la définition du rotationnel, on déduit que
− −
→
− →
− →
−
→→
d C = A · d ` = rot A · d S
→
−
→
−
où d S est l’élément de surface se posant sur l’élément de contour d ` .
En intégrant cette expression, on obtient le théorème de Stokes-Ampère suivant :
→
−
La circulation d’un champ vectoriel A le long d’un contour fermé Γ est
égale au flux de son rotationnel à travers toute surface Σ s’appuyant sur
ce contour
I
→
−
→
−
A (M) · d M =
ZZ
Γ
1.1.3.3
−
→
−
−
→→
rot A (Q) · d S (Q)
(1.13)
Σ
Propriétés
♠ Un champ à rotationnel nul a une circulation nulle sur tout contour fermé : il est dit à circulation conservative
♠ En coordonnées cartésiennes
−
−
→
− →
−
→→
(rot A )x dydz = A · d `
= Ay (x, y, z)dy + Az (x, y + dy, z)dz
− Ay (x, y, z + dz)dy − Az (x, y, z)dz
=
∂Ay
∂Az
dydz −
dydz
∂y
∂z
F IGURE 1.3 – circulation à travers des rectangles élémentaires
Donc
∂Az ∂Ay
−
−
→→
(rot A )x =
−
∂y
∂z
et par suite, par permutation circulaire, on obtient
1.1. OPERATEURS DIFFERENTIELS
11
∂Az ∂Ay
∂y − ∂z
− ∂A
∂A
−
→→
rot A = x − z
∂z
∂x
∂Ay ∂A
x
−
∂x
∂y
→
→
− →
− −
ex ey ez ∂
∂
∂ = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az →
− →
−
=∇∧A
1.1.4
(1.14)
Laplacien
Le laplacien d’un champ scalaire g est noté ∆g et il est défini par
−−→
∆g = div(grad g)
→
−
→
−
Le laplacien d’un champ vectoriel A est noté ∆ A et il est défini par
∆A
→
− x
∆ A = ∆Ay
∆Az
En coordonnées cartésiennes, on établit facilement que le laplacien de g est
∆g =
1.1.5
∂2 g ∂2 g ∂2 g
+
+
∂x2 ∂y2 ∂z2
Formules d’analyse vectorielle
♠ La dérivation étant une opération linéaire, il s’en suit que les opérateurs différentielles sont linéaires.
→
−
→
−
Exemple : Si U et V sont des champs scalaires, A et B sont des champs vectoriels et λ et µ sont des
constantes
−−→
−−→
−−→
grad(λU + µV ) = λ grad U + µ grad V
→
−
→
−
→
−
→
−
∆(λ A + µ B ) = λ∆ A + µ∆ B
♠ En utilisant la loi de dérivation d’un produit (( f g)0 = f 0 g + f g0 ), on démontre les relation suivantes
−−→
−−→
−−→
grad(UV ) = U grad V +V grad U
−−→ →
− →
→
− −
−
→
− −−→ →
−
−
− →
− −
−
→
− −−→ →
→→
→→
grad( A · B ) = A ∧ rot B + B ∧ rot A + ( A · grad) B + ( B · grad) A
→
−
→
− →
− −−→
div(U A ) = Udiv A + A · gradU
→
− →
− →
− −
−
→
− −
−
→→
→→
div( A ∧ B ) = B · rot A − A · rot B
−
− →
− −−→
−
→ →
−
→→
rot(U A ) = U rot A − A ∧ grad U
−
→
− −−→ →
− →
→
− →
−
− →
− →
→
− −−→ →
−
−
−
→→
rot( A ∧ B ) = A div B − B div A + ( B · grad) A − ( A · grad) B
12
CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE
Exemple de démonstration :
∂(UAx ) ∂(UAy ) ∂(UAz )
→
−
div(U A ) =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂Ay ∂U
∂U
∂Ax ∂U
∂Az
=
Ax +U
+
Ay +U
+
Az +U
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂U
∂U
∂U
∂Ax ∂Ay ∂Az
=
Ax +
Ay +
Az +U(
+
+
)
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
−−→
→
−
→
−
= grad U · A +Udiv A
♠ En utilisant les définitions, on démontre facilement que
− −−→
→
−
→
−
−
→−
→→
rot rot A = grad(div A ) − ∆ A
→
−
−
→ −−→
rot gradU = 0
−
−
→→
div rot A = 0
Exemple de démonstration :
∂ −
∂ −
∂ −
−
−
−
−
→→
→→
→→
−
→→
div(rot A ) = [(rot A )x ] + [(rot A )y ] + [(rot A )z ]
∂x
∂y
∂z
∂ ∂Az ∂Ay
∂ ∂Ax ∂Az
∂ ∂Ay ∂Ax
= (
−
)+ (
−
)+ (
−
)
∂x ∂y
∂z
∂y ∂z
∂x
∂z ∂x
∂y
∂2 Az ∂2 Ay ∂2 Ax ∂2 Az ∂2 Ay ∂2 Ax
=
−
+
−
+
−
∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y
=0
(en tenant compte du théorème de Schwartz).
1.2
CONSEQUENCES DES THEOREMES DE STOKES-AMPERE ET
DE GREEN-OSTROGRADSKI
? On peut déduire des théorèmes de Stokes-Ampère et de Green-Ostrogradski les formules suivantes
Formule de Kelvin
→
−
Ud ` = −
I
ZZ
−−→
→
−
gradU ∧ d S
(1.15)
−−→
gradUdτ
(1.16)
S
Γ
Formule du gradient
ZZ
→
−
Ud S =
ZZZ
S
V
Formule du rotationnel
→
−
→
−
A ∧d S = −
ZZ
S
ZZZ
V
−
→−
rot →
au
(1.17)
1.3. COORDONNEES CURVILIGNES
13
−−→
→
−
→
−
? Si E = −gradU, on dit que E dérive d’un potentiel scalaire U. Ceci est équivalent à
la circulation
Z B
→
−
→
−
E · d ` ne dépend que du point A et B
IA
la circulation
C
(1.18)
−
→
− →
E ·d ` = 0
(1.19)
−
− →
−
→→
rot E = 0
−
→
− →
dU = − E · d ` est une différentielle totale exacte
(1.20)
(1.21)
−
→
−
→
− −
→
−
→→
? Si B = rot A , on dit que B dérive d’un potentiel vecteur A . Ceci est équivalent à
ZZ
ZZS
−
→
− →
B · d S ne dépend que du contour Γ limitant la surface S
(1.22)
−
→
− →
B ·d S = 0
(1.23)
→
−
div B = 0
1.3
(1.24)
COORDONNEES CURVILIGNES
−
−
−
Dans un repère orthonormé (O, →
ex , →
ey , →
ez ), un point M est défini par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z).
On peut toujours définir des fonctions u1 (x, y, z), u2 (x, y, z) et u3 (x, y, z) de telle façon qu’on peut exprimer
x, y et z en fonction de u1 , u2 et u3 .
Les fonctions ui (x, y, z) définissent des surfaces Si dans l’espace. Le point M est l’intersection de ces trois
surfaces.
−r sur la surface S . On a
En fixant u et u et en faisant varier u de du , le point M se déplace de d →
2
3
1
1
1
−r
∂→
du1
∂u1
−r k→
−
= kd →
e1
−r =
d→
−
où →
e1 est le vecteur tangent à S1 en M. En posant h1 =
−r k
kd →
, on déduit que
du1
−r
∂→
∂u
→
−
e1 = 1 0
h1
(1.25)
−
−
On définit de la même manière, les vecteurs →
e2 et →
e3 tangents respectivement à S2 et S3
−r
∂→
∂u
→
−
e2 = 2
h2
−r
∂→
∂u
→
−
e3 = 3
h3
(1.26)
(1.27)
14
CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE
−r dans le cas de variation simultanée de u , u et u s’écrit
Le vecteur d →
1 2
3
−r
−r
−r
∂→
∂→
∂→
du1 +
du2 +
du3
∂u1
∂u2
∂u3
−
−
−
= h1 →
e1 du1 + h2 →
e2 du2 + h3 →
e3 du3
−r =
d→
−
−
−
On peut choisir convenablement u1 , u2 et u3 pour que (→
e1 , →
e2 , →
e3 ) forment une base orthogonale. Dans ce
cas les coordonnées (u1 , u2 , u3 ) sont dites coordonnées curvilignes orthogonales ou coordonnées généralisées.
−
−
−
La base (→
e1 , →
e2 , →
e3 ) est une base locale, elle dépend du point M. Les coefficients h1 , h2 et h3 sont des
−r k2 (qui est indépendant du
multiplicateurs relatifs au choix de u1 , u2 et u3 . En calculant le module de kd →
→
−
choix de la base) en utilisant l’expression de r en fonction de (u , u , u ) et en la comparant à
1
2
3
−r k2 = (h du )2 + (h du )2 + (h du )2
kd →
1 1
2 2
3 3
(1.28)
on détermine les coefficients multiplicateurs.
Les coordonnées cylindriques et sphériques sont des exemples de coordonnées curvilignes orthogonales.
Déterminons, à titre d’exemple les coefficients multiplicateurs pour les coordonnées cylindriques :
−r est défini par
Les coordonnées cylindriques du point M sont (u , u , u ) = (ρ, ϕ, z) et le vecteur →
1
2
3
→
−r = ρ→
−
−
eρ + z→
ez
On en déduit que
−r = dρ→
−
−
−
d→
eρ + ρdϕ→
eϕ + dz→
ez
→
−
2
2
2
2
d r = (dρ) + ρ (dϕ) + (dz)2
(1.29)
En comparant (28) à (29), on déduit que
h1 = 1, h2 = ρ et h3 = 1
De la même façon, on démontre que pour les coordonnées cartésiennes (h1 , h2 , h3 ) = (1, 1, 1) et que pour
les coordonnées sphériques (h1 , h2 , h3 ) = (1, r, r sin θ).
Les coordonnées curvilignes permettent de donner une expression générale des opérateurs différentiels. Par
exemple, de
−r = h du →
−
→
−
→
−
d→
1 1 e1 + h2 du2 e2 + h3 du3 e3
∂g
∂g
∂g
du1 +
du2 +
du3
∂u1
∂u2
∂u3
−→
−r · −
= d→
grad g
dg =
on déduit que
−−→
1 ∂g →
1 ∂g →
1 ∂g →
−
−
−
gradg =
e1 +
e2 +
e3
h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
→
−
−
−
−
D’autre part, si A est un champ de vecteur de composantes (A1 , A2 , A3 ) dans (→
e1 , →
e2 , →
e3 ), on a
→
−
−
−
−
A (M) = A1 →
e1 + A2 →
e2 + A3 →
e3
(1.30)
1.3. COORDONNEES CURVILIGNES
15
F IGURE 1.4 – Variation élémentaire des coordonnées généralisées
→
− →
−
A · d S = [(A1 h2 h3 )(u1 + du1 , u2 , u3 ) − (A1 h2 h3 )(u1 , u2 , u3 )]du2 du3
+ [(A2 h3 h1 )(u1 , u2 + du2 , u3 ) − (A2 h3 h1 )(u1 , u2 , u3 )]du3 du1
+ [(A3 h1 h2 )(u1 , u2 , u3 + du3 ) − (A3 h1 h2 )(u1 , u2 , u3 )]du1 du2
∂(h3 h1 A2 )
∂(h2 h3 A1 )
du1 du2 du3 +
du1 du2 du3
∂u1
∂u2
∂(h1 h2 A3 )
du1 du2 du3
+
∂u1
=
Par ailleurs
→
− →
−
A · d S = divA dτ
= div A h1 h2 h3 du1 du2 du3
on en déduit que
→
−
div A =
1
∂
∂
∂
(h2 h3 A1 ) +
(h3 h1 A2 ) +
(h1 h2 A3 )
h1 h2 h3 ∂u1
∂u2
∂u3
(1.31)
On admet sans démonstration que
→
h1 −
e1
1 ∂
−
−
→→
rot A =
h1 h2 h3 ∂u1
h1 A1
Des expressions (30), (31) et (32) on déduit qu’en
−
h2 →
e2
∂
∂u2
h2 A2
−
h3 →
e3 ∂ ∂u3 h3 A3 (1.32)
16
CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE
coordonnées cylindriques : (ρ, ϕ, z)
−−→
∂U →
1 ∂U →
∂U →
−
−
−
grad U =
eρ +
eϕ +
ez
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
1 ∂ ∂U
1 ∂2U ∂2U
∆U =
(ρ ) + 2 2 + 2
ρ ∂ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
∂A
1 ∂
1 ϕ ∂Az
→
−
div A =
(ρAρ ) +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
∂A
∂A
∂Aϕ 1 ∂Aρ →
1
∂A
∂Az →
→
−
ρ
ϕ →
−
→
z
rot A = [
−
]−
eρ + [
−
]−
eϕ + [
−
]−
ez
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ
coordonnées sphériques :(r, θ, ϕ)
−−→
1 ∂U →
1 ∂U →
∂U →
−
−
−
er +
eθ +
eϕ
grad U =
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1 ∂
∂U
1
∂U
1 ∂2U
∂
∆U = 2 (r2
)+ 2
(sin θ ) + 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
1 ∂
1 ∂
1 ∂Aϕ
→
−
div A = 2 (r2 Ar ) +
(sin θAθ ) +
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂
∂(rAθ ) →
−
−
→→
rot A = 2
[ (r sin θAϕ ) −
]−
er
r sin θ ∂θ
∂ϕ
1 ∂Ar
∂
1 ∂
∂Ar →
−
+
[
− (r sin θAϕ )]→
eθ + [ (rAθ ) −
]−
eϕ
r sin θ ∂ϕ ∂r
r ∂r
∂θ
Chapitre 2
RAPPEL ET COMPLEMENT DE
L’ELECTROSTATIQUE
2.1
RAPPEL DES EQUATIONS DE L’ ELECTROSTATIQUE
L’électrostatique qui s’intéresse à l’étude des effets des charges fixes est régi par des équations qui peuvent
s’écrire sous une forme locale
−
− →
−
→→
rot E = 0
(2.1)
ρ
→
−
(équation de Gauss locale )
(2.2)
div E =
ε0
ou sous une forme intégrale
I
−
→
− →
E ·d ` = 0
(2.3)
C
−
→
− →
∑ qintérieure
E ·d S =
ε0
Σ
ZZ
(théorème de Gauss)
(2.4)
→
−
Au champ électrique E est associé la force électrique (qui coïncide avec la force de Lorentz puisque la
→
−
vitesse v des charges est nulle)
→
−
→
−
F = qE
(2.5)
et le potentiel électrostatique défini par la relation
−−→
→
−
E = −grad V
(2.6)
Les expressions générales permettant un calcul direct du champ et potentiel électrostatique en un point M
sont


→
−
E =

−→ ZZ
−→ ZZZ
−→ 
−−→ Z
1 
σdSPM
ρdτPM 
∑ qi Pi M + λd`PM +

−−→
−→
−→ +
−→ 
4πε0 
Γ kPMk3
Σ kPMk3
V kPMk3 
 i kPi Mk3
| {z } | {z } |
{z
} |
{z
}
(A)
et
(B)
(C)
(2.7)
(D)




Z
ZZ
ZZZ
1 
qi
λd`
σdS
ρdτ 


V=
∑ −−→ + Γ k−
→ +
−→ +
−→ 
4πε0 
Σ kPMk
V kPMk 
PMk
 i kPi Mk
| {z } | {z } | {z } |
{z
}
(A)
(B)
(C)
17
(D)
(2.8)
18
CHAPITRE 2. RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE
où
(A) est la contribution des charges ponctuelles qi aux points Pi .
(B) est la contribution de la distribution linéique de charges de densité λ(P) sur la courbe Γ. d` est l’élément
de longueur de Γ entourant le point P.
(C) est la contribution de la distribution surfacique de charges de densité σ(P) sur la surface Σ. dS est
l’élément de surface de Σ entourant le point P.
(D) est la contribution de la distribution volumique de charges de densité ρ(P) dans le volume V . dτ est
l’élément de volume de V entourant le point P (Figure (2.1)).
F IGURE 2.1 – Differents types de distribution
Le potentiel électrique est défini à une constante additive près. S’il n’y a pas de charge à l’infini, il
est commode de choisir cette constante de telle façon que le potentiel soit nul loin des charges. Il est
toujours continu contrairement au champ électrostatique.
2.2
RELATION DE CONTINUITE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE
Nous allons étudier le comportement du champ électrique à la traversée d’une surface Σ chargée avec une
densité σ et séparant l’espace en deux régions 1 et 2 .
2.2.1
Discontinuité de la composante normale du champ électrique
→
−
Calculons le flux dφ de E à travers la surface d’un cylindre élémentaire dont les bases sont de part et d’autre
de Σ.
Si dφlat est le flux à travers la surface latérale, le flux dφ s’écrit
→
− −
→
−
−
→
→
dφ = E2 (M2 ) · d S2 + E1 (M1 ) · d S1 + dφlat
→
−
→
−
−→
Pour un cylindre aplati, on peut négliger dφlat . Comme en plus d S2 = dS−
n→
12 et d S1 = −dSn12 , on obtient
2.2. RELATION DE CONTINUITE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE
19
F IGURE 2.2 – Cylindre élémentaire à cheval entre deux milieux
−
→ −
→ →
dφ = (E2 − E1 ) · −
n12 dS
σ
= dS
ε0
→
−
d’où l’équation donnant la discontinuité des composantes normales de E
σ
−
→ −
→
−
n→
12 · (E2 − E1 ) =
ε0
2.2.2
(2.9)
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique
→
−
Calculons la circulation d C du champ électrique E le long du contour fermé IJKL de la figure 2-3.
−
→ →
− −
→ −→
d C = E1 · JI + E2 · LK + d Clat = 0 Si M1 est voisin de M2 , le contour est aplati et on peut négliger la
−
→ −
→ −→
circulation d Clat sur les segments latéraux. On obtient alors que (E2 − E1 ) · LK = 0.
F IGURE 2.3 – Rectangle élémentaire à cheval entre deux milieux
−→
−→ →
−
→
−
Comme LK = kLKk T où T est le vecteur tangentielle à Σ, on en déduit que la composante tangentielle
du champ électrique est continue à la traversée de la surface Σ
E1T = E2T
Ce résultat peut aussi être exprimé sous la forme
→
−
−
→ −
→
−
n→
12 ∧ (E2 − E1 ) = 0
(2.10)
20
CHAPITRE 2. RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE
2.3
2.3.1
ENERGIE ELECTROSTATIQUE
Rappel : Energie électrostatique d’une charge placée dans un champ électrostatique
L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q1 placée en M1 dans un champ extérieur est l’énergie
qu’on pourrait récupérer en éloignant la charge de sa position jusqu’à l’infini où le potentiel est nul.
C’est aussi le travail minimum fourni pour amener la charge q de l’infini au point M.
Si V (M1 ) est le potentiel électrostatique au point M dont dérive le champ électrostatique, on a
W = q1V (M1 )
(2.11)
Si V (M1 ) est créé par une charge q2 en M2 ; on a
V (M1 ) = V21
q2
−−−→
4πε0 kM2 M1 k
1
q1 q2
W=
−−→
4πε0 k−
M2 M1 k
=
W est aussi le produit de la charge q2 par le potentiel V12 créé par q1 en M2 . L’énergie électrostatique d’une
distribution de deux charges est donc
W = q1V21
= q2V12
1
= (q1V21 + q2V12 )
2
2.3.2
(2.12)
Energie électrostatique propre d’une distribution de charges ponctuelles
Soit une distribution de n charges ponctuelles qi placées en Mi . On peut calculer l’énergie potentielle de
cette distribution en additionnant les énergies des charges deux à deux.
F IGURE 2.4 – distribution de charges ponctuelles
L’énergie de la charge qi placée en Mi et de la charge q j placée en M j est
Wi j = q jVi j
q j qi
1
=
−−→
4πε0 k−
Mi M j k
2.3. ENERGIE ELECTROSTATIQUE
21
L’énergie totale de la distribution est
W = W12 +W13 + . . . +W1n +W23 . . . +W2n +W34 . . .
n
n
= ∑ ∑ Wi j
i=1 j>i
n n
q j qi
1
−−−→
4πε
0
kMi M j k
i=1 j>i
= ∑∑
La deuxième sommation se fait pour j > i pour ne pas compter deux fois le même terme.
Cette quantité se transforme en
W=
q j qi
1 n n 1
∑
∑
−
→
2 i=1 j6=i 4πε0 kM−i−
M jk
où on a compté chaque terme deux fois et on a pris la moitié de la somme.
n
qj
1
Or ∑
−
−
−→ est le potentiel créé par toutes les charges sauf qi au point Mi . C’est le potentiel
j6=i 4πε0 kMi M j k
V (Mi ) = Vi . Par suite
W=
2.3.3
1
qiVi
2∑
i
(2.13)
Energie électrostatique propre d’une distribution continue de charges
Si on a un système où il y a continuité de la distribution de charges, l’expression (45) reste valable en
considérant des éléments de charges dq(M) et en remplaçant la sommation discrète par une intégration sur
le domaine chargé D
1
dq(M)V (M)
2 D
Z
W=
(2.14)
Il vient pour une distribution :
♣ linéique dq = λd` =⇒ W =
1
2
Z
λ(M)V (M)d`
Γ
1
σ(M)V (M)dS
2 Σ
ZZZ
1
♣ volumique dq = ρdτ =⇒ W =
ρ(M)V (M)dτ
2
V
♣ surfacique dq = σdS =⇒ W =
2.3.4
ZZ
Localisation et densité d’énergie
On considère un volume V chargé avec une densité ρ. L’énergie électrostatique de cette distribution est
1
ρ(M)V (M)dτ
2
V
ZZZ
1
=
ρ(M)V (M)dτ
2
Ω
ZZZ
W=
22
CHAPITRE 2. RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE
où Ω est la sphère de rayon infini de surface Σ entourant V . En changeant le domaine d’intégration on ne
modifie pas W car ρ(M) est nulle à l’extérieur de V .
ρ
→
−
Or d’après la forme locale du théorème de Gauss div E (M) = ; donc
ε0
1
W=
2
ZZZ
→
−
ε0 div E (M)V (M)dτ
Ω
Comme
→
−
→
− →
− −−→
div(V E ) = V div E + E · grad V
→
−
→
−
= V div E − k E k2
on a
1
1
→
−
ε0 div(V E )dτ +
ε0 E 2 dτ
2
2
Ω
Ω
ZZ
ZZZ
ε0
− 1
→
− →
=
V (M) E · d S +
ε0 E 2 dτ
2 Σ
2
Ω
ZZZ
ZZZ
W=
1
1
−
→
− →
Pour une sphère de rayon R, V varie en , E varie en 2 et dS varie en R2 . Par conséquent V E · d S varie
R
R
1
en . Il en résulte que la première intégrale de W ci-dessus tend vers 0 lorsque le rayon R tend vers l’infini.
R
On obtient alors
1
W = ε0
2
ZZZ
E 2 dτ
(2.15)
espace
et on déduit que l’énergie électrostatique propre W est toujours positive.
Appliquons la formule (2.15) pour calculer l’énergie électrostatique propre d’une sphère de rayon R0 , de
centre O et portant une charge Q uniformément répartie sur sa surface. Il est facile de montrer que le champ
électrostatique créé par cette distribution est
→
−
0
si r < R0
→
−
E =
Q →
−

ur si r > R0
4πε0 r2
Il en résulte que
1
ε0 E 2 dτ
espace 2
2
Z +∞
Q
1
=
ε0
4πr2 dr
4πε0 r2
R0 2
ZZZ
W=
=
Q2
8πε0 R0
Si on comprime la sphère pour amener son rayon de R0 à R0 + dR0 (dR0 < 0) tout en conservant sa charge,
l’énergie électrostatique varie de la quantité
Q2
dW = d
8πε0 R0
=−
Q2
dR0
8πε0 R20
2.3. ENERGIE ELECTROSTATIQUE
23
Par ailleurs cette contraction n’a modifié le champ électrostatique que dans la région comprise entre les
sphères de rayons R0 − |dR0 | et R0 , où il est passé d’une valeur nulle à une valeur non nulle voisine de
Q
. La variation de l’énergie est donc
4πε0 R20
ε0 E 2
dτ
2
2
Q
ε0
(−4πR20 dR0 )
=
2 4πε0 R20
dW =
=−
Q2
dR0
8πε0 R20
La variation de l’énergie est donc liée à la variation du champ. On dit que l’énergie est localisée dans les
régions de l’espace où existe un champ électrique non nul.
En particulier dans les régimes variables, il existe des situations où les sources du champ électrique disparaissent mais il subsiste toujours un champ dans l’espace. Il en résulte de (47) et de la remarque ci-dessus,
que l’énergie électromagnétique est non nulle, alors que l’expression (46) prévoit le contraire. L’expression
(47) se généralise donc plus facilement aux régimes variables.
On appelle densité d’énergie, la quantité
u=
dW
dτ
u=
ε0 E 2
2
D’après l’expression (47) on déduit que
(2.16)
L’équation aux dimensions de u est
ML2 T −2
L3
MLT −2
=
L2
[Force]
=
[Sur f ace]
[u] =
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Donc u a la dimension d’une pression. On l’appelle aussi pression électrostatique.
2.3.5
Energie potentielle d’interaction entre deux distributions continues de charges
Soient deux distributions 1 et 2 continues s’étalant sur les volumes V1 et V2 (figure 2.5).
L’énergie potentielle de cette distribution est
ZZZ
ZZZ
1
1
dq1 (M)(V1 (M) +V2 (M)) +
dq2 (M)(V1 (M) +V2 (M))
W=
2
2
V∞
V∈
où V1 (M) est le potentiel électrostatique créé par la distribution 1 en M et V2 (M) est le potentiel électrostatique créé par la distribution 2 en M.
W=
1
2
+
ZZZ
V∞
1
2
dq1 (M)V1 (M) +
1
2
ZZZ
V∈
dq2 (M)V1 (M) +
ZZZ
V∞
1
2
dq1 (M)V2 (M)
ZZZ
V∈
dq2 (M)V2 (M))
24
CHAPITRE 2. RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE
F IGURE 2.5 – Deux distributions en interaction
1
dq1 (M)V1 (M) est l’énergie propre de 1 si elle est était seule dans l’espace.
2
V∞
ZZZ
1
dq2 (M)V2 (M) est l’énergie propre de 2 si elle est était seule dans l’espace.
W2 =
2
V∈
ZZZ
ZZZ
1
dq1 (M)V2 (M) +
dq2 (M)V1 (M) est l’énergie d’interaction (ou l’énergie mutuelle)
W12 =
2
V∞
V∈
des distributions 1 et 2 .
ZZZ
W1 =
En réunissant, donc, deux distributions de charges, l’énergie totale n’est pas la somme des énergies propres.
Il s’y ajoute le terme d’énergie mutuelle.
En remplaçant V2 (M) et V1 (M) par leur expressions
dq2
−−→ et V1 (M) =
V∈ 4πε0 kOMk
ZZZ
V2 (M) =
dq1
−−→
V∞ 4πε0 kOMk
ZZZ
on démontre que les deux termes de W12 sont égaux. Il vient alors
ZZZ
ZZZ
1
dq1 (M)V2 (M) +
dq2 (M)V1 (M)
W12 =
2
V∞
V∈
ZZZ
=
V∞
dq1 (M)V2 (M)
ZZZ
=
V∈
dq2 (M)V1 (M)
(2.20)
−
→ −
→
Par ailleurs, si E1 et E2 sont les champs créés par 1 et 2 ; on a
1
−
→ −
→
W = ε0
(E1 + E2 )2 dτ
2
espace
ZZZ
ZZZ
ZZZ
1
1
−
→
−
→
−
→ −
→
= ε0
E1 2 dτ + ε0
E2 2 dτ + ε0
E1 · E2 dτ
2
2
espace
espace
espace
ZZZ
On déduit que
ZZZ
W12 = ε0
2.4
espace
−
→ −
→
E1 · E2 dτ
(2.21)
DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE DE CHARGES ELECTRIQUES
2.5. POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE CRÉÉ PAR UNE DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE
2.5
25
Potentiel électrostatique créé par une distribution multipolaire
Soit un ensemble de charges qi placées en Ai . On se propose de calculer le potentiel électrostatique créé en
un point M assez éloigné de l’ensemble des charges.
F IGURE 2.6 – Distribution multipolaire créant un champ électrostatique en un point éloigné di
Pour cela on pose
−−→ →
OM = −r
−→ →
OAi = −
ai
−−→ →
−
AM= r
i
i
−→
−−→
\
θi = (OAi , OM)
On a
V (M) = ∑
i
1 qi
4πε0 ri
(2.22)
D’après la figure (2.6), on a
ri2 = r2 + a2i − 2rai cos θi
− 21
1
a2i
2ai
1
1+ 2 −
cos θi
=
ri
r
r
r
ai
En faisant un développement limité en
(qui est très inférieur à 1) et en se limitant au second ordre, on
r
obtient
1
1
ai
1 a2i
3 4ai 2 cos2 θi
=
1 + cos θi − 2 +
ri
r
r
2r
8
r2
2
1
ai
(3 cos θi − 1)a2i
=
1 + cos θi +
r
r
2r2
En portant cette expression dans (2.22), on obtient que
V (M) =
1
qi
1
qi ai cos θi
1
(3 cos2 θi − 1)a2i qi
+
+
4πε0 ∑
4πε0 ∑
r2
4πε0 ∑
2r3
i r
i
i
(2.23)
26
CHAPITRE 2. RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE
1
V (M) s’écrit donc en une série de termes en ( )i , de plus en plus petit à mesure que l’exposant augmente.
r
Examinons à présent le comportement de quelques distributions particulières :
♠ Premier cas ∑ qi 6= 0
i
Ce cas se présente lorsque la distribution n’est pas électriquement neutre. Dans ce cas on peut se limiter au
premier terme de (52) :
1
qi
V (M) =
(2.24)
∑
4πε0 i r
L’ensemble des charges est équivalent à une seule charge q = ∑ qi placée en O. On dit qu’on a une distrii
bution unipolaire. C’est le cas de tout les ions polyatomiques.
♠ Deuxième cas ∑ qi = 0 et ∑ ai qi cos θi 6= 0
i
i
C’est le cas d’une distribution neutre globalement, mais qui n’est pas symétrique par rapport à l’origine.
Dans ce cas le premier terme de (52) est nul et on peut se limiter au deuxième terme :
V (M) =
=
En posant
1
ai qi cos θi
∑
4πε0 i
r2
→
−r
→
−
ai qi · →
−
1
krk
4πε0 ∑
i
r2
→
−p = q →
∑ i −ai
(2.25)
i
on obtient
−p · →
−
1 →
u
2
4πε0 r
V (M) =
(2.26)
−p et placé
C’est l’expression du potentiel électrostatique créé par un dipôle électrique de moment dipolaire →
→
−
en O. La distribution est dite distribution dipolaire de moment p .
−p est indépendant de l’origine O choisie
Montrons que le moment →
→
→
−p = q −
∑ i OAi
i
−−→ −−→
= ∑ qi (OO1 + O1 Ai )
i
−−→
−−→
= OO1 ∑ qi + ∑ qi O1 Ai
i
i
|{z}
=0
−−→
= ∑ qi O1 Ai
i
Donc
∀O,
→
→
−p = q −
∑ i OAi
i
♠ Troisième cas ∑ qi = 0 et ∑ ai qi cos θi = 0
i
i
Les deux premiers termes de (2.23) sont nuls et on a
2.5. POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE CRÉÉ PAR UNE DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE
V (M) =
27
1
qi ai 2 (3 cos2 θi − 1)
∑
4πε0 i
r3
La distribution est dite quadripolaire.
2.5.1
Résultante des forces agissant sur la distribution
Dans la suite, on considère une distribution dipolaire de charges formée par des charges qi placées en
→
−
des points Ai situés au voisinage de O et soumise à un champ éléctrostatique E .
La résultante des forces agissant sur la distribution est
→
−
→
−
R = ∑ qi E (Ai )
i
→
−
Le champ E (Ai ) varie très peu entre les points O et Ai . En première approximation, on peut écrire
→
−
→
−
→
−
∂E
∂E
∂E
→
−
→
−
(O)xi +
(O)yi +
(O)zi + . . .
E (Ai ) = E (O) +
∂x
∂y
∂z
et par suite
→
−
→
−
→
−
∂E
∂E
∂E
→
−
→
−
R = ∑ qi E (O) + ∑ qi
(O)xi + ∑ qi
(O)yi + ∑ qi
(O)zi
∂x
∂y
∂z
i
i
i
i
| {z }
=0
→
−
→
−
→
−
∂E
∂E
∂E
(O) ∑ qi xi +
(O) ∑ qi yi +
(O) ∑ qi zi
=
∂x
∂y
∂z
i
i
i
| {z }
| {z }
| {z }
px
py
pz
→
−
En particulier la composante de R suivant Ox est
∂Ex
∂Ex
∂Ex
px +
py +
pz
∂x
∂y
∂z
−→ →
−
−p · −
= (→
grad)x E
Rx =
Les autres composantes s’obtiennent de la même façon, et on conclut que
−→ →
→
−
−
−p · −
R = (→
grad) E
(2.27)
→
−
Cette résultante de force est généralement faible. Elle est nulle lorsque le champ E est uniforme. L’action
du champ est essentiellement un couple de forces qui a tendance à orienter la distribution dipolaire.
2.5.2
Moment agissant sur une distribution dipolaire placée dans un champ électrostatique
28
CHAPITRE 2. RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE
On a
−→
→
−
→
−
Γ = ∑ OAi ∧ qi E (Ai )
i
"
#
→
−
→
−
→
−
∂E
∂E
∂E
−→
→
−
= ∑ OAi ∧ qi E (O) +
(O)xi +
(O)yi +
(O)zi + . . .
∂x
∂y
∂z
i
!
−→
→
−
= ∑ qi OAi ∧ E (O) + des termes de second ordre en xi2
i
−
−p ∧ →
'→
E (O)
→
− →
→
−
Γ = −p ∧ E
2.5.3
(2.28)
Energie d’interaction d’une distribution dipolaire avec un champ électrostatique
L’énergie d’interaction de la distribution dipolaire avec le champ électrostatique est
W = ∑ qiV (Ai )
i
= ∑ qi (V (O) + dVi )
i
−−→ −→
= ∑ qi (V (O) + gradV · OAi )
i
−−→
−→
= V (O) ∑ qi +gradV · ∑ qi OAi
i
i
|{z}
=0
−
−p · →
= −→
E
−
−p · →
W = −→
E
(2.29)
−p k est constant) et en différentiant (59), on obtient
En considérant un dipôle rigide (dont le module k→
−
−
−p · d →
−p · →
dW = −→
E − d→
E
→
−
Le premier terme ne peut provenir que d’une translation du dipôle (subissant ainsi une variation de E ) et le
−p ne peut que tourner). On retrouve ainsi
deuxième terme ne peut provenir que d’une rotation du dipôle (→
les deux actions d’un champ électrostatique sur le dipôle : une force provoquant une translation et un couple
provoquant une rotation.
2.5.4
Condition d’équilibre d’une distribution dipolaire dans un champ électrostatqiue
−
→
− →
−
→
− →
→
−
La distribution est en équilibre si R = 0 et Γ = 0 . Ceci a lieu lorsque le champ E est quasi-uniforme
−
−p est parallèle ou anti-parallèle à →
et si →
E . D’après (2.29), on déduit que la position d’équilibre stable est
→
−
→
−
lorsque p est parallèle à E .
Le champ électrostatique a tendance à aligner le moment dipolaire de la distribution sur lui même.
Chapitre 3
COMPLEMENT DE LA
MAGNETOSTATIQUE
3.1
COMPLEMENT D’ELECTROCINETIQUE
3.1.1
Courant et densité volumique de courant
On peut définir le courant électrique en utilisant la théorie des conducteurs. En effet, considérons deux
conducteurs A et B portant des charges QA et QB et de potentiels VA et VB tel que VA est supérieur à VB .
Relions ces deux conducteurs par un fil conducteur (filiforme pour négliger la charge qu’il porte). Alors il y
aura écoulement de charges jusqu’à ce que les potentiels s’égalisent à une valeur commune V . L’écoulement
des charges dans le fil dépend de son matériau. Donc le temps mis pour établir le nouvel état d’équilibre
dépend du conducteur.
F IGURE 3.1 – Deux conducteurs reliés par un fil conducteur
Soit dq la quantité de charge écoulée au cours du temps dt. L’intensité de courant est
I=
dq
dt
(3.1)
→
−
Cette intensité de courant est reliée à la densité volumique de courant J par la relation
−
→
− →
J ·d S
ZZ
I=
Σ
29
(3.2)
30
CHAPITRE 3. COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE
avec
→
−
−
J = ρ→
v
(3.3)
−
où ρ et →
v sont respectivement la densité volumique et la vitesse des charges.
F IGURE 3.2 – Ecoulement de charges électriques à travers une surface
3.1.2
Densité surfacique de courant
→
−
Considérons le conducteur de la figure (3.3-a) traversé par une densité de courant J . Un élément de volume
→
− −
construit sur d S et →
v dt contient la charge
→
−
−
d 2 q = ρ→
v dt · d S
F IGURE 3.3 – Passage de la densité de courant volumique à la densité de courant surfacique
Si l’épaisseur e du conducteur est très faible, la distribution volumique de charge de densité ρ tend vers une
→
−
−
−
distribution surfacique de densité σ, l’élément de surface d S = dS→
n tend vers le vecteur d`→
n ; l’élément
→
−
→
−
2
de charge d q devient stocké dans la surface construite sur v dt et d` n (figure 3.3-b).
−
−
d 2 q = σ→
v dt · d`→
n
Le courant élémentaire est
d2q
dt
−
−
= σ→
v · d`→
n
dI =
3.2. RAPPEL DES EQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUE
31
apparaît comme étant la quantité de charges qui traverse d` pendant dt. On définit le vecteur densité surfa→
−
cique de courant ks par
→
−
−
ks = σ→
v
(3.4)
et on a
→
− →
ks · −
n d`
Z
I=
(3.5)
Γ
→
−
−
où →
n est la normale à d` dans le plan formé par d` et ks .
3.2
RAPPEL DES EQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUE
La magnétostatique concerne l’étude des interactions magnétiques en régime permanent, c’est-à-dire lorsque
les circuits sont parcourus par des courants permanents et que ces courant n’entraînent aucune accumulation
de charges.
Elle est complètement décrite par l’équation
→
−
div B = 0 ⇐⇒
ZZ
−
→
− →
B ·d S = 0
(3.6)
S
→
−
qui exprime l’inexistence des charges magnétiques ou le fait que le champ B est à flux conservatif et par
l’équation
I
−
→
−
→
− →
rotB = µ0 J ⇐⇒
B · d ` = µ0 Iint
(3.7)
Γ
qui exprime le théorème d’Ampère sous sa forme locale ou intégrale.
−
L’effet du champ magnétostatique sur une particule de charge q de vitesse →
v se traduit par l’action d’une
force magnétique
→
−
→
−
−
F = q→
v ∧B
(3.8)
Le champ magnétostatique obéit au principe de superposition. La loi de Biot et Savart permet de calculer le
champ créé par un ensemble de circuits en additionnant les champs élémentaires créé par des éléments de
→
−
courant Id ` :
µ0
→
−
B =
4π
→
− −→
Id ` ∧ PM
−→
Γ kPMk3
Z
(3.9)
→
−
Pour des courants répartis en volume avec une densité volumique de courant J ou en surface avec une
→
−
densité de courant surfacique ks , on a l’égalité suivante
→
− →
→
−
−
Id ` = J dτ = ks dS
(3.10)
Par suite, les champs créés par ces distributions sont respectivement
32
CHAPITRE 3. COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE
F IGURE 3.4 – Circuit filiforme créant un champ magnétostatique
F IGURE 3.5 – Différente distributions de courant créant un champ magnétostatique
µ0
→
−
B =
4π
→
−
−→
J dτ ∧ PM
−→
V kPMk3
ZZZ
et
µ0
→
−
B =
4π
−
ZZ →
Σ
3.3
NOTION DU POTENTIEL VECTEUR
3.3.1
Définition et expression du potentiel vecteur
−→
ks dS ∧ PM
−→
kPMk3
(3.11)
−
→
−
→
−
→→
Comme div B = 0 et div −
rot A = 0 ; il existe mathmatiquement un vecteur A tel que
−
→
− −
→→
B = rot A
(3.12)
→
−
A
est appel potentiel vecteur. C’est un outil mathmatique sans signification physique.
Son intrt rside dans le fait que dans certains problmes, il est plus facile de calculer
→
−
→
−
A que B . D’aprs sa dfinition, le potentiel vecteur n’est pas unique. Il est dfini un
→
− →
→
−
− −−→
gradient prs. En effet, si A est une solution, A0 = A + grad f est aussi une solution.
→
−
On impose A d’obir une deuxime quation qu’on appelle condition de jauge. En
→
−
rgime permanent on impose A de satisfaire
→
−
div A = 0
(3.13)
3.3. NOTION DU POTENTIEL VECTEUR
33
−−−→ 1
r
→
−
Pour calculer l’expression de A , utilisons l’quation (85) et le fait que gradM = −
→
−r = −
avec →
PM . Il vient
µ0
→
−
B =
4π
→
−r
r3
−−−→ 1 →
−
gradM ∧ J (P)dτ
r
V
ZZZ
Or
−
− −−→
→
−
−
→ →
−
→→
rot( f A ) = f rot A + grad f ∧ A
donc
→
−
−−−→ 1 →
1 −−→→
−
−
−−→ J (P)
gradM ∧ J (P) = rotM (
) − rotM J (P)
r
r
r | {z }
→
−
=0
Il en rsulte que
!
→
−
J (P)
dτ
r
V
!
−
ZZZ →
J (P)
µ0 −−→
rotM
dτ
=
4π
r
V
µ0
→
−
B =
4π
ZZZ
−−→
rotM
et par suite
µ0
→
−
A =
4π
→
−
J (P)
dτ
r
V
ZZZ
(3.14)
En utilisant (84 ?) on obtient pour une distribution filiforme et pour une distribution surfacique de courant
µ0
→
−
A =
4π
3.3.2
→
−
Id `
Γ r
Z
et
µ0
→
−
A =
4π
−
ZZ →
Σ
ks (P)
dS
r
(3.15)
Application : Calcul du champ magnétique créé par un dipôle magnétique
Utilisons la notion du potentiel vecteur pour calculer le champ magntique cr par
un diple magntique form par une boucle circulaire centre l’origine du plan (xOy),
de rayon a et parcourue par un courant d’intensit I . Calculons le potentiel vecteur
en un point P du plan zOx trs loign de la boucle. En coordonnes sphriques, le plan
(xOz) a pour quation ϕ = 0. Le point P a pour coordonnes (r, θ, 0). Par ailleurs, on a
→
−
µ0 I d ` (M)
→
−
dA =
→
4π k−
MPk
34
CHAPITRE 3. COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE
F IGURE 3.6 – Boucle circulaire de courant créant un potentiel vecteur en un point
En reprant le point M dans le plan (xOy) par ses coordonnes polaire (a, α), il vient
→
−
→
−
→
−
d ` = adα−
u→
α = adα(− sin α ex + cos α ey ).
En plus on a
−→ −−→ −→
MP = MO + OP
−
−
−
−
= −a(cos α→
e + sin α→
e ) + r(sin θ→
e + cos θ→
e )
x
y
x
z
−
−
−
= (r sin θ − a cos α)→
ex − a sin α→
ey + r cos θ→
ez
2a
a2
−→
kMPk2 = r2 (1 − cos θ sin α + 2 )
r
r
− 12
1
2a
a2
1
−→ = r 1 − r sin θ cos α + r2
kMPk
a
Comme 1, on peut faire un dveloppement limit de l’expression ci-dessus. En
r
se limitant au terme du premier ordre, on obtient
1
1
a
−→ ' r (1 + r sin θ cos α)
kMPk
Donc
µ0 I a
→
−
A =
4π r
2π
Z
a
−
(1 + sin θ cos α)(− sin α)dα→
ex
r
Z 2π
a
−
+
(1 + sin θ cos α)(cos α)dα→
ey
r
0
0
2π
µ0 I a2
−
=
sin θ→
ey
cos2 αdα
2
4π r
0
µ0 I πa2
−
=
sin θ→
ey
4π r2
Z
Pour exprimer le potentiel vecteur en coordonnes sphriques, il suffit de remarquer
−
−
que pour le point P, →
ey concide avec →
eϕ . Il vient alors que
µ0 I πa2
→
−
−
sin θ→
eϕ
A =
4π r2
3.3. NOTION DU POTENTIEL VECTEUR
35
En utilisant l’expression du rotationnel en coordonnes sphriques, on dduit le
champ magntique :
−
→
− −
→→
B = rot A
→
→
−
→
−
−
eϕ er eθ
1 ∂
∂
∂ = 2
r sin θ ∂r ∂θ
∂ϕ 0
0 r sin θAϕ 

µ0
2 2 cos θ
(Iπa
)
 4π
r2 


=  µ0
2 sin θ 
(Iπa ) 2 

4π
r
0
L’expression de ce champ magntique est analogue celle du champ lectrique cr par
un diple lectrique.
On rappelle que le moment magntique de la boucle est
−
→
→
−
−
M = Iπa2 →
ez = I S
→
−
o S est la surface de la boucle.
Il est facile de voir que le potentiel vecteur peut se mettre sous la forme
−
→ −
µ0 M ∧ →
r
→
−
A =
4π r3
(3.16)
Enfin remarquons que dans le cas d’une boucle quelconque
−
→
M=
3.3.3
ZZ
→
−
Id S
(3.17)
S
Equation locale donnant le potentiel vecteur
−
−
→
−
→
− −
→→
→→
Comme −
rot B = µ0 J et B = rot A , on en dduit que
−−→
−
→
−
→
−
−
→−
→→
rot(rot A ) = grad div A − ∆ A
→
−
= µ0 J
→
−
En adoptant la condition de jauge div A = 0, on obtient
→
−
→
−
∆ A = −µ0 J
(3.18)
Cette quation est analogue l’quation de Poisson reliant le potentiel lectrique et
le densit volumique de charge. Elle se rsout avec la mme procdure mathmatique
→
−
→
−
et permet de calculer A puis B .
36
CHAPITRE 3. COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE
3.4
FORCE D’INTERACTION ENTRE DEUX CIRCUITS
→
−
On sait qu’un lment de longueur d ` parcouru par un courant d’intensit I et plac
→
−
dans un champ magntique B est soumis la force de Laplace
→
− →
→
−
−
d f = Id ` ∧ B
Considrons maintenant deux circuits C∞ et C∈ parcourus par des courants lectriques
d’intensit I1 et I2 . Ces deux circuits crent des champs magntiques et il en rsulte
des forces d’interaction. Soient
→
− →
Z
µ0 I2
d `2 ∧ −
r21
3
4π C∈
r21
→
−
d `1 de C∞ est
→
− −→
−→
d F21 = I1 d `1 ∧ B21
→
− →
Z
d `1 ∧ −
r12
−→ µ0 I1
B12 =
3
4π C∞
r12
−→
le champ cr par C∞ et B21 =
le champ cr par C∈ . La force qui s’exerce sur un lment de longueur
F IGURE 3.7 – Deux circuite filiformes en interaction
→
−
De mme, la force qui s’exerce sur un lment de longueur d `2 de C∈ est
→
− −→
−→
d F12 = I2 d `2 ∧ B12
Il en rsulte que
→
− →
Z
→
− µ0 I1
d `1 ∧ −
r12
−→
d F12 = I2 d `2 ∧
3
4π C∞
r12
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−→
−
→
−
→
Comme d `2 ∧ (d `1 ∧ −
r→
12 ) = (d `2 · r12 )d `1 − (d `1 · d `2 )r12 , on dduit que d F12 est dans le plan
→
−
−
−
→
−
→ →
(−
r→
12 , d `1 ). De mme, on dmontre que d F21 est dans le plan (r12 , d `2 ). Le principe de
l’action et de la raction n’est pas donc respect par les lments de force.
−→
Calculons la force totale F12
− → →
−
→
− →
− →i
1 h →
−→ µ0 I1 I2
F12 =
(d `2 · −
r12 )d `1 − (d `1 · d `2 )−
r12
3
4π C∈ C∞ r12
Z
Or
Z
3.5. EQUATIONS DE CONTINUITE
Z
C∈
37
→
−
→
−
Z
Z
→
− → d `1
→
−
d `2 · d −
r→
12
(d `2 · −
r12 ) 3 =
d `1
3
r12
r12
C∞
C∞
C∈
Z
Z
→
−
→
− −−→ 1
=
d `1
(−d `2 ) · grad
r12
C∞
C∈
Z
Z
→
−
1
=
d `1
−d( )
r12
C∞
C∈
=0
Z
Par suite,
→
− →
− →
Z Z
(d `1 · d `2 )−
r12
−→ −µ0 I1 I2
F12 =
3
4π
r12
C∈ C∞
(3.19)
→
− →
− →
Z Z
(d `1 · d `2 )−
r21
−→ −µ0 I1 I2
F21 =
3
4π
r21
C∈ C∞
(3.20)
De mme ;
−→
−→
−
→
Comme −
r→
12 = −r21 , on a bien F21 = −F12 .
Remarque : La force d’interaction est l’origine de la dfinition de l’ampre :
un ampère est l’intensité du courant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles de longueur infinie,
de section négligeable, et placés à une distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces
deux conducteurs une force égale à 2 × 10−7 newton par mètre de longueur.
F IGURE 3.8 – Montage permettant de définir l’ampère
Cette définition équivaut à choisir la valeur numérique 4π × 10−7 NA−2 de la perméabilité magnétique du
vide µ0 .
Historiquement, la mesure de la force magnétique d’interaction a permis de définir l’ampère. Ensuite on a
défini le coulomb comme étant 1As puis le volt, l’ohm,...
3.5
EQUATIONS DE CONTINUITE
→
−
Soit ks une densit superficielle de courant sur la surface Σ sparant une rgion 1 d’une rgion 2 .
3.5.1
Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique
38
CHAPITRE 3. COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE
Calculons la circulation du vecteur champ magntique le long du contour ferm ACDEA applati de
la figure 4-9.
→
−
→ −→ −
→ −
d C = B2 · DE + B1 · AC + d Clat
→
−
→ −→ −
→ −
' B2 · DE + B1 · AC
−
→ −
→ −→
= (B2 − B1 ) · DE
→
− − −→
= µ (k ·→
n )kDEk
0
s
0
F IGURE 3.9 – Contour à cheval entre deux milieux pour calculer la circulation du champ magnétostatique
−→
−→
−
Or →
n0 kDEk = −
n→
12 ∧ DE. Il en rsulte que
→
− → −→
−
→ −
→ −→
(B2 − B1 ) · DE = µ0 ks · (−
n12 ∧ DE)
→
− −→ −→
= µ ( k ∧ n ) · DE
0
s
12
→
− →
−
→ −
→
B2 − B1 = µ0 ( ks ∧ −
n12 )
− −→
−
→
−
→
−
−→ →
n→
12 ∧ (B2 − B1 ) = µ0 n12 ∧ ( ks ∧ n12 )
→
−
= µ0 ks
→
−
On a donc une discontinuit de la composante tangentielle de B :
→
−
−
→ −
→
−
n→
12 ∧ (B2 − B1 ) = µ0 ks
3.5.2
(3.21)
Continuité de la composante normale du champ magnétique
→
−
Comme div B = 0, le calcul du flux du champ magntique travers la surface d’un cylindre lmentaire
cheval sur les deux milieux est nul.
F IGURE 3.10 – Cylindre applâti à cheval entre deux milieux pour calculer le flux du champ magnétostatique
On en dduit que
3.5. EQUATIONS DE CONTINUITE
39
−
→ −
→
−
n→
12 · (B2 − B1 ) = 0
→
−
La composante normale de B est par consquent continue.
(3.22)