cantor bernestein

Institut préparatoire aux études
2015-2016
d’ingénieurs de Tunis
MP 1 / MP 2
Devoir à la maison 1:
Théorème de Cantor
Bernstein
Le but de ce probleme est de démontrer le théorème de Cantor
Bernstein :
Soient E et F deux ensembles, f une injection de E dans F
et g une injection de F dans E.Il existe une bijection entre E et F
Preuve du théorème:
Rappel: Soit f une application de E dans F , et soit (Ai )i2I une famille de parties de
E. On a:
( S
S
f ( i2I Ai ) = i2I f (Ai )
T
T
et si f est injective alors f ( i2I Ai ) = i2I f (Ai )
On se place dans les hypothèse du théorème.
1. Soit X = fA 2 P(E); g[F nf (A)] EnAg. Montrer que X 6= ;:
[
2. Soit B =
A. Montrer que B 2 X, et est ainsi le plus grand element de X (au
A2X
sens de l’inclusion).
3. Soit C = Eng[F nf (B)]. Montrer que C = B en véri…ant que B
C et C 2 X:
4. Dé…nir une bijection de E dans F:
Un ensemble E est dit dénombrable si et seulement si il existe une bijection entre
l’ensemble N des entiers naturels et E Cette bijection permet alors de numéroter les él
ments de E:
1. Dans cette question, on desire établir que Z est denombrable.Pour cela on introduit
n+1
n
si n est impair.
l’application : N ! Z dé…nie par: (n) = si n est pair et (n) =
2
2
Etablir que est bijective.
2. Dans cette question, on desire établir que N2 est denombrable.Pour cela on introduit
l’application : N2 ! N de…nie par : (p; q) = 2p (2q + 1)
(a) Montrer que
est bien dé…nie et qu’elle est injective.
(b) En observant, pour tout n 2 N , l’existence d’une plus grande puissance de 2 divisant
n; établir que est surjective.
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(c) Conclure que N2 est dénombrable et qu’il en est de mA eme de Z2
3. Dans cette question, on desire établir que Q est dénombrable.
(a) Exhiber une injection de N dans Q
(b) On appelle représentant irréductible d’un nombre rationnel r l’unique fraction irrép
ductible
égale à r avec p 2 Z et q 2 N .Observer que l’application : Q ! Z N qui
q
p
à r 2 Q associe le couple (p; q) 2 Z N avec le représentant irréductible est injective.
q
Est-elle surjective?
(c) Former une injection de Q dans N.On peut alors conclure que Q est dénombrable à l’aide du théorème de Cantor -B ernstein.
4. Montrer qu’il existe une bijection de [0; 1] dans R:
5. Dé…nir une bijection de ] 0; 1 [dans R:
6. Dans cette question, on desire établir que R n’est pas dénombrable. On représente
chaque nombre de] 0; 1 [par son développement décimal: …ni si le nombre en question est
2
En fait, on conviendra
decimal, par exemple, sera représenté par 0; 4 et pas par 0, 39999
5
2
de terminer le développement, lorsqu’il est …ni, par une in…nite de 0 :
= 0, 4000 ; et
5
in…ni dans les autre cas. Ainsi, à chaque nombre réel de] 0; 1 [est associé un et un seul
développement decimal, et inversement. Si] 0; 1 [était dénombrable, on pourrait ranger tous
les nombres de] 0; 1 [en une suite: x1 ; x2 ; : : : Moyennant 10 echange éventuel de deux termes
de la suite, on peut supposer que le développement décimal de x1 commence par 0; 0 : : :On
dé…nit alors un nombre x par son développement decimal de la manière suivante:
x = 0; : : : :
-Le k ieme chi¤re après la virgule de x est nul si le k i
non nul
-Le k i
:me
chi¤re après la virgule de x est 1 si le k i
:me
:me
chi¤re après la virgule de xk est
chi¤re après la virgule de xk est
nul
Montrer que x 2] 0; 1 [et ne …gure pas dans la suite x1 ; x2 ; : : :. Conclure.
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