cantor bernestein

Institut préparatoire aux études 2015-2016
d’ingénieurs de Tunis MP 1 / MP 2
Devoir à la maison 1:
Théorème de Cantor Bernstein
Le but de ce probleme est de démontrer le théorème de Cantor Bernstein :
Soient Eet Fdeux ensembles, fune injection de Edans F
et gune injection de Fdans E.Il existe une bijection entre Eet F
Preuve du théorème:
Rappel: Soit fune application de Edans F, et soit (Ai)i2Iune famille de parties de
E. On a:
(f(Si2IAi) = Si2If(Ai)
et si fest injective alors f(Ti2IAi) = Ti2If(Ai)
On se place dans les hypothèse du théorème.
1. Soit X=fA2 P(E); g[Fnf(A)] EnAg. Montrer que X6=;:
2. Soit B=[
A2X
A. Montrer que B2X, et est ainsi le plus grand element de X(au
sens de l’inclusion).
3. Soit C=Eng[Fnf(B)]. Montrer que C=Ben véri…ant que BCet C2X:
4. Dé…nir une bijection de Edans F:
Un ensemble Eest dit dénombrable si et seulement si il existe une bijection entre
l’ensemble Ndes entiers naturels et ECette bijection permet alors de numéroter les él
ments de E:
1. Dans cette question, on desire établir que Zest denombrable.Pour cela on introduit
l’application :N!Zdé…nie par: (n) = n
2si nest pair et (n) = n+ 1 2si nest impair.
Etablir que est bijective.
2. Dans cette question, on desire établir que N2est denombrable.Pour cela on introduit
l’application :N2!Nde…nie par : (p; q) = 2p(2q+ 1)
(a) Montrer que est bien dé…nie et qu’elle est injective.
(b) En observant, pour tout n2N, l’existence d’une plus grande puissance de 2 divisant
n; établir que est surjective.
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(c) Conclure que N2est dénombrable et qu’il en est de mAeme de Z2
3. Dans cette question, on desire établir que Qest dénombrable.
(a) Exhiber une injection de Ndans Q
(b) On appelle représentant irréductible d’un nombre rationnel rl’unique fraction irré-
ductible p
qégale à ravec p2Zet q2N.Observer que l’application :Q!ZNqui
àr2Qassocie le couple (p; q)2ZNavec p
qle représentant irréductible est injective.
Est-elle surjective?
(c) Former une injection de Qdans N.On peut alors conclure que Qest dénom-
brable à l’aide du théorème de Cantor -Bernstein.
4. Montrer qu’il existe une bijection de [0;1] dans R:
5. Dé…nir une bijection de ] 0;1[dans R:
6. Dans cette question, on desire établir que Rn’est pas dénombrable. On représente
chaque nombre de] 0;1[par son développement décimal: …ni si le nombre en question est
decimal, par exemple, 2
5sera représenté par 0;4et pas par 0, 39999   En fait, on conviendra
de terminer le développement, lorsqu’il est …ni, par une in…nite de 0:2
5= 0, 4000   ; et
in…ni dans les autre cas. Ainsi, à chaque nombre réel de] 0;1[est associé un et un seul
développement decimal, et inversement. Si] 0;1[était dénombrable, on pourrait ranger tous
les nombres de] 0;1[en une suite: x1; x2; : : : Moyennant 10echange éventuel de deux termes
de la suite, on peut supposer que le développement décimal de x1commence par 0;0: : :On
dé…nit alors un nombre xpar son développement decimal de la manière suivante:
x= 0; : : : :
-Le kieme chi¤re après la virgule de xest nul si le ki:me chi¤re après la virgule de xkest
non nul
-Le ki:me chi¤re après la virgule de xest 1 si le ki:me chi¤re après la virgule de xkest
nul
Montrer que x2]0;1[et ne …gure pas dans la suite x1; x2; : : :. Conclure.
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