RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIÈNE
Faculté de Mathématiques
Mémoire
Présenté pour l'obtention du diplôme de Magister
En: MATHÉMATIQUES
Spécialité: Recherche Opérationnelle: Méthodes Stochastiques
Par
Nacer DEMMOUCHE
Étude probabiliste des équations aux récurrences
Stochastiques et applications statistiques
Résumé : Dans ce mémoire, on s'intéresse à l'étude de l'équation aux récurrences stochastique
de type 𝑋𝑡 = 𝑎𝑡 𝑋𝑛−1 + 𝑏𝑛−1 , 𝑛 ∈ ℤ, où ((𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ))𝑛 ∈ ℤ est une suite de variables
aléatoires 𝑖. 𝑖. 𝑑, où 𝑎𝑛 est une matrice carrée inversible de taille 𝑑 × 𝑑 et 𝑏𝑛 un vecteur de
taille 𝑑. Notre étude consiste à chercher des conditions suffisantes sur la suite ((𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ))𝑛 ∈ ℤ
assurant l'existence et l'unicité d'une solution vérifiant les propriétés: non-anticipation,
stationnarité stricte, stationnarité faible, ergodicité, existence des moments d'ordres
supérieurs, ergodicité géométrique, les propriétés (𝛼, 𝛽)–mélanges et la variation régulière.
Les modèles Autorégressifs Conditionnellement Hétéroscédastiques 𝐴𝑅𝐶𝐻 et les modèles
Autorégressifs Conditionnellement Hétéroscédastiques Généralisés 𝐺𝐴𝑅𝐶𝐻 peuvent s'écrire
sous forme d'équation aux récurrences stochastiques dont les coefficients aléatoires s'écrivent
en fonction des coefficients et les innovations de ces modèles. Les propriétés de nonanticipation, ergodicité, stationnarité stricte, stationnarité faible, ergodicité, ergodicité
géométrique et les propriétés (𝛼, 𝛽)–mélanges sont préservées pour ces types de processus.
Finalement, on étudie la probabilité de large déviation et la probabilité de ruine de la solution
non-anticipative strictement stationnaire de l'équation aux récurrences stochastique.