Etude de la stationnarité des séries temporelles

Société congolaise d’économétrie
Mars 2014 – Papier SCE 1
Jean – Paul K. Tsasa Vangu
Chercheur au Lareq
Web : www.lareq.com
Mail : [email protected]
MATHEMATIQUES DES SERIES TEMPORELLES
Résumé
Ce texte est le premier d’une suite à venir sur la série de papiers consacrés à l’initiation aux
mathématiques des séries temporelles. L’objectif de cette série de textes est de constituer un
ensemble de prérequis devant faciliter ultérieurement le traitement des thèmes plus avancés.
Ainsi, dans ce papier, nous introduisons le concept de processus [stochastique, brownien,
markovien et martingale], et caractérisons la notion de stationnarité en nous servant de
concepts des racines polynomiales [équation caractéristique] et de cercle unité.
Mot–clé : Processus, stationnarité et cercle unité
Préambule
Une lecture préalable de ce papier est recommandée afin de mieux comprendre ce que l’on fera
par la suite tout au long de cette série. En effet, dans les papiers qui suivront :
Papier 2
:
Nous analyserons la dynamique des chroniques [fonction d’autocovariance,
fonction d’autocorrélation et fonction d’autocorrélation partielle] ; nous fournirons
la preuve du théorème de Donsker en recourant notamment à la notion de
mouvement brownien standard [processus de Wiener] et enfin, nous dériverons
la loi asymptotique du test de racine unité tel que suggéré par Dickey et Fuller en
nous basant sur les corollaires du théorème de Donsker.
Papier 3
:
Nous procéderons aux corrections paramétriques et non paramétriques de test de
racine unité DF.
Papier 4
:
Nous introduirons analytiquement et illustrerons sur machine, la stratégie de
Campbell-Perron dans le processus de stationnarisation des séries temporelles,
Etude de la stationnarité des séries temporelles
1
afin de corriger le biais causé par le choix automatique du paramètre de
troncature par les logiciels tels que Eviews, stata ou autres.
Papier 5
:
Nous prouverons de façon parcimonieuse, deux théorèmes : [1] le théorème de
décomposition de Wold, en nous basant sur le concept d’espace de Hilbert ; [2] le
théorème de représentation de Granger-Engle.
Nous montrerons que toute étude sur la modélisation VAR et sur la cointégration
repose implicitement sur ces deux théorèmes respectifs.
Papier 6
:
Et en considérant les résultats des papiers précédents, nous proposerons une
introduction analytique, avec illustration sur logiciel aux :
(i)
modèles AR et MA à changement de régimes markoviens
(ii)
modèles VAR, VAR cointégré, VARMA et VEC
(iii)
modèles VAR structurel bayésien
(iv)
modèles
VAR
structurel
bayésien
à
changement
de
régimes
markoviens, suivant la stratégie de Sims, Waggoner et Zha.
Il sied de noter que l’objectif de ces différentes présentations est de fournir un cadre d’analyse
techniquement prescriptif, et donc nous ne visons pas l’exhaustivité au sens strict. In fine, nous
vous serons reconnaissant pour toute suggestion, remarque ou critique pouvant contribuer à
l’amélioration du cadre d’analyse en cause.
I. Introduction
Les études empiriques, e.g. en économétrie ou en macroanalyse, utilisent généralement les
chroniques. Dans la littérature, ces dernières sont habituellement désignées par séries
temporelles. Pour caractériser la dynamique de ces chroniques, le modélisateur cherche à
identifier les processus (stochastiques) appropriés qui les représentent avec parcimonie, en
procédant
notamment
d’une
part,
à
l’extraction
de
leurs
fonctions
d’autocovariance,
d’autocorrélation et d’autocorrélation partielle, et d’autre part à l’analyse des résultats fournis
pas les différents critères d’information [Akaike, SIC ou HQ]. Avant de s’y pencher, analysons
tout d’abord les propriétés fondamentales de processus stochastiques, considérés comme
l’ingrédient premier dans toute analyse recourant à l’usage des séries temporelles1.
II. Processus stochastique
Un processus stochastique [concept théorique] est une application de l’espace probabilisé
dans un espace probabilisable de fonction
2
états du processus . Ainsi, pour
tel que
désigne un espace des
le processus est réel et pour
le processus
est à espace d’états discrets.
Par construction, un processus est décrit par une suite de variables aléatoires indexées par la
variable
Formellement, il s’écrit :
Ainsi, un processus associé à tout élément
de
est une fonction de la variable
telle
que :
où
est l’application
trajectoire de la variable
Ainsi, pour tout
fixé,
décrit la
pour l’objet mathématique
De cette analyse, trois cas peuvent être distingués :

Cas i :
le processus est donc continu ;

Cas ii :
le processus est discret, dans ce cas,

Cas iii :
fixé,
;
est une variable aléatoire réelle.
En analyse économique, l’espace
de la variable aléatoire
est défini par
est généralement associé au temps
sur l’individu
(instant d’observations
). Dans ce cas, le processus est dit stochastique au sens
1
A noter d’ores et déjà, alors qu’un processus est un concept théorique, une série temporelle est une
réalisation d’un processus, i.e. un échantillon d’observations.
2
Pour ne pas alourdir le texte, nous ne reviendrons pas sur la notion d’espace et de mesure.
L’intéressé peut se rapporter à Tsasa (2012 ; 2013).
2
Etude de la stationnarité des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Etude de la stationnarité des séries temporelles
où on l’attribue en économie. Ainsi, pour
3
à valeurs discrètes et équidistantes, le processus est
une chronique (série chronologique ou série temporelle).
Un processus possède différentes caractéristiques au regard de propriétés qu’il satisfait. Ainsi,
lorsqu’un processus possède les propriétés d’invariance par translation du temps, il est dit
stationnaire :
Cette condition étant trop restrictive, elle est généralement substituée par sa version faible
traduite par les propriétés ci–après :
(i)
Espérance mathématique constante,
;
(ii)
Variance constante,
(iii)
Autocovariance uniquement fonction de la différence des temps,
;
Notons qu’un processus non stationnaire peut le devenir après transformation. Ainsi, un
processus est à accroissements stationnaires si la variable aléatoire
pour toutes les valeurs de
Cette transformation (filtre aux différences) est souvent sollicitée
en économétrie des séries temporelles.
Soit un processus aléatoire non stationnaire suivant :
tel que
et
Il vient que :
Il découle don que
Considérons à présent le processus :
Pour
Il vient que
on a :
et
est stationnaire
Le processus
étant centré, on obtient :
Il ressort que
est un processus stationnaire et
un processus à accroissements stationnaires.
Analysons à présent le processus à accroissements indépendants du temps. Par définition, un
processus
indexé dans un ensemble
est à accroissements indépendants du temps si
quelle que soit la suite croissante d’indices :
les variables aléatoires :
représentant les accroissements du processus sur les intervalles :
sont indépendants en probabilité.
Ainsi, pour
avec des variables
correspondant à un tel processus, les différences
seront mutuellement indépendantes.
III. Martingale, Mouvement brownien et Processus de Markov
Dans cette section, nous introduisons quelques concepts fondamentaux dans l’analyse des
séries temporelles. Ces concepts nous serviront d’input dans l’analyse de la loi asymptotique du
test de racine unité et par ailleurs, dans les papiers à venir, ils seront utiles dans l’analyse des
modèles bayésiens à changement de régimes markoviens.
Avant d’énumérer les principales caractéristiques d’un mouvement brownien, définissons la
notion de martingale3. Bien qu’étudiée pour la première fois, en 1718, par le mathématicien
français Abraham de Moivre, la notion de martingale ne fut rigoureusement définie que plus tard
par les mathématiciens français Paul Pierre Levy (1935 – 1937) et Jean André Ville (1939),
après que Kolmogorov ait établi le lien entre théorie de l’intégration et calcul des probabilités.
Un processus aléatoire
défini sur l’espace
est une martingale si : (i)
Cette
définition
correspond
; (ii)
à
la
martingale de Doob.
Parallèlement, si l’on considérait la martingale de Wald4, le processus
fonction génératrice des moments (finie) des variables aléatoires
3
serait défini par une
telle que:
A l’origine, le mot martingale (en théorie de probabilité) apparut pour la première dans le chapitre 4
(paragraphe 2) de la thèse de Jean – André Ville (1939).
4
Cf. Karlin et Taylor (1975, page 243) pour plus de détails.
4
Etude de la stationnarité des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Etude de la stationnarité des séries temporelles
5
De ce qui précède, on peut dès lors noter qu’un processus décrit un mouvement brownien
lorsqu’il est : (i) à accroissements indépendants du temps ; (ii) stationnaire ; (iii) gaussien ; (iv)
markovien ; (v) une martingale. Dans la section qui suit nous décrivons les caractéristiques d’un
processus markovien.
Pour définir le processus de Markov, nous partons des considérations suivantes :
(i)
le système est à évolution aléatoire5 ;
(ii)
l’état du système est connu à l’instant ;
(iii)
à l’instant
le passé et le futur sont indépendants.
Nous nous limitons à un cas spécifique (chaînes de Markov) et donc, nous supposons que le
système est observé en suite discrète d’instants
dénombrable). L’état du système à l’instant
et d’états en nombre fini (ou
est désigné par
Ainsi, un processus est de Markov s’il vérifie la condition suivante appelée propriété de Markov.
Plus spécifiquement, la relation (7a) décrit un processus de Markov d’ordre 1. Parallèlement, un
processus de Markov d’ordre 2 s’écrira :
Un processus de Markov est discret si la suite
continu si la suite
des instants est dénombrable
des instants est dénombrable
et il est
Par ailleurs, pour une suite d’instants
discrète, on distingue, relativement à l’ensemble des états, trois cas selon que ce dernier est
fini
; dénombrable
ou continu
. De par cette distinction, c’est le premier cas
qui apparaît plus pertinent pour l’économiste. Cette restriction nous conduira à introduire, dans
les publications ultérieures, la notion de chaîne de Markov homogène.
IV. Stationnarité et Illustration
Précédemment, nous avons fournit la définition formelle d’un processus stochastique
D’après cette définition, un processus stochastique est
si ses deux
premiers moments sont temporellement invariants.
5
Un système à évolution aléatoire est un système dont l’évolution dans le temps est fonction du
hasard ou de l’aléa. Un tel système ne peut être analysé à l’aide des outils standard fournis par le
calcul de probabilités classique. Ainsi, Markov (1906) et plus tard, Lévy (1931), suivi de Doob (1933),
puis de Kolmogorov (1936) se sont intéressé à une étude plus approfondie de ce type de systèmes.
C’est notamment grâce à leurs travaux, on parvient à dériver et à proposer une définition rigoureuse
d’un processus stochastique (aléatoire).
Par exemple, un bruit blanc (faible) est un processus stationnaire. En effet, un bruit blanc est un
processus à valeurs réelles et en temps discret, d’espérance mathématique nulle, de variance
constante et d’autocovariance nulle.
De ce fait, pour un bruit blanc faible, on a que :

;

;

Il sied de noter qu’il est également possible d’exprimer ces conditions en se servant des
espérances conditionnelles.
Graphique 1 : Illustration d’un bruit blanc
15
10
5
0
-5
-10
-15
Lorsque le terme d’erreur vérifie cette condition, les résidus sont dits sphériques. Dans la
littérature, on rencontre également, la notion de bruit blanc fort, bruit blanc gaussien et de
différence de martingale6.
Par contre, une marche aléatoire n’est pas stationnaire. Considérons pour ce faire, une marche
aléatoire sans dérive telle que :
Par récurrence, on obtient :
6
6
Cf. Tsasa (2012, 2013).
Etude de la stationnarité des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Etude de la stationnarité des séries temporelles
En
:
Graphique 2 : Illustration d’une marche aléatoire
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
Considérons à présent une forme plus générale d’une marche aléatoire :
Par récurrence, on obtient en
où
est un bruit blanc
:
(bruit blanc fort).
En exécutant, les conditions de stationnarité, on établit les résultats suivants:

Espérance mathématique :

Variance :

Autocovariance :
avec :
7
Ainsi, en vertu de la relation (11), on écrit :
Par l’indépendance de
:
Tableau 1 : Analyse de la stationnarité
Conditions de stationnarité
Résultats obtenus
Analysons à présent la sensibilité des résultats obtenus par rapport aux différentes valeurs
éventuelles de la racine
Tableau 2 : Analyse de la sensibilité
Valeur
racine
de
la
Espérance
mathématique
Variance
Covariance
série géométrique
de raison supérieure à 1
(Divergence).
D’où, les conclusions reprises dans le tableau suivant.
Tableau 3 : Analyse de la stationnarité
Valeur de la racine
Nature du processus
Série asymptotiquement stationnaire
Série non stationnaire
Série non stationnaire
8
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Jean – Paul K. Tsasa
Etude de la stationnarité des séries temporelles
Le graphique suivant illustre le comportement d’une série asymptotiquement stationnaire.
Graphique 3 : Série asymptotiquement stationnaire
140
120
100
80
60
40
20
0
V. Stationnarité et Cercle unité
Considérons à présent, un processus tel que :
Soit
où
un operateur de retard tel que :
est un entier naturel.
En se servant de l’opérateur de retard, l’expression
peut être réécrite comme suit :
On peut également l’exprimer comme suit :
En égalisant
et
on trouve la relation ci–après :
9
Ainsi partant de (14), on établit les correspondances suivantes :
et
La solution à l’équation caractéristique (15) :
est tel que
et elle est donnée par :
Puisque pour un processus stationnaire :
il suit que :
Ainsi, un processus serait stationnaire si la racine
est à l’extérieur du cercle unité.
En parallèle, en considérant les correspondances suivantes :
et
il vient qu’on peut écrire :
ou encore :
En réaménageant les équations (16), on obtient :
et
10
Etude de la stationnarité des séries temporelles
Jean – Paul K. Tsasa
Etude de la stationnarité des séries temporelles
11
En résolvant les équations quadratiques (17), on établit que :
Ainsi, sous cette optique, un processus serait stationnaire si les racines
c’est – à – dire,
si elles sont à l’intérieur du cercle unité. Donc, on peut utiliser l’un ou l’autre jargon, tout en
spécifiant correctement l’objet mathématique considéré.
Dans
un
prochain
papier,
nous
analyserons
la
dynamique
des
chroniques
(fonction
d’autocovariance, fonction d’autocorrélation et fonction d’autocorrélation partielle) et par
ailleurs, nous nous proposerons de prouver le théorème de Donsker, avant de procéder à la
dérivation de la loi asymptotique du test de racine unité tel que suggéré par Dickey et Fuller.
Mars 2014
Québec, Montréal
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Jean – Paul K. Tsasa