Signal sinusoïdal (TPe)

PCSI - Lycée Carnot Le signal sinusoïdal : production et observation
1/8
LE SIGNAL SINUSOIDAL : PRODUCTION ET OBSERVATION
Le but de ce premier TP est d’une part la prise en main du matériel nécessaire pour l’observation des ondes lors de la prochaine séance
(utilisation de l’oscilloscope), et d’autre part la mesure des grandeurs caractéristiques d’un signal sinusoïdal (cours sur les ondes mais
aussi sur l’oscillateur harmonique).
I Production du signal sinusoïdal
1) Branchements
Le signal sinusoïdal est produit par le générateur basse-fréquence (GBF) et son observation est réalisée grâce à l’oscilloscope.
Pour cela, relier directement la sortie du G.B.F. à la voie CH1 de l’oscilloscope ; plus précisément, on relie d’une part les deux
bornes noires entre elles (ces bornes de masse ont en effet un rôle particulier du fait de leur connexion à la terre du secteur), puis
les deux bornes rouges. On utilise la voie CH1 de l’oscilloscope plutôt que la voie CH2 car cet appareil synchronise les signaux
par défaut sur cette voie.
La fréquence du signal délivré par le GBF sera approximativement réglée à 1 kHz. Dans l’attente de voir dans le détail la
manière de régler l’oscilloscope, on utilisera la touche « AUTO », en haut et à droite de la façade, permettant comme son nom
l’indique par un réglage automatique des échelles d’obtenir un premier tracé convenable sur l’écran.
2) Définitions
La tension instantanée fournie par le générateur est une fonction sinusoïdale du temps t de la forme :
€
uG(t)=UGm cos ω t+ ϕ
G
( )
.
Par un choix judicieux de l’origine des temps, il pourra être écrit
€
uG(t)=UGm cos ω t
( )
et est alors représenté par le graphe ci-
dessous :
UGm exprimée en Volt (V) et définie positive est l’amplitude du signal, c’est à dire la valeur maximale atteinte par uG(t).
On définit aussi la valeur efficace de cette même tension sinusoïdale u(t) par
€
UG=UGm
2
, ce qui permet d’écrire la tension
instantanée sous la forme
€
uG(t)=UG2 cos ω t+ ϕ
G
( )
. L’intérêt de cette grandeur sera vu par la suite, mais signalons
simplement à ce stade que lorsque l’on mentionne la valeur de 220 V pour le secteur, il s’agit bien de la valeur efficace de la
tension que l’on indique et non son amplitude.
ω est la pulsation du signal et s’exprime en radian par seconde (rad.s-1).
uG
UGm
-UGm
0
T
t
T

PCSI - Lycée Carnot Le signal sinusoïdal : production et observation
2/8
La période temporelle du signal est alors T =
€
2 π
ω
et s’exprime en seconde (s).
Elle correspond à l’intervalle de temps nécessaire pour que uG(t) retrouve la même valeur en évoluant dans le même sens
(croissant ou décroissant) par exemple aux passages à 0, ou encore à l’intervalle de temps entre deux maximum (ou minimum
successifs). Expérimentalement, la mesure précise de la période se fait lors des passages du signal par 0. En effet, la
détermination de la position de ces points est très précise car la pente de la courbe y est très élevée (
€
duG
dt
extrémale). Au
contraire, l’emplacement d’un extremum est très difficile à appréhender précisément car uG y varie lentement (
€
duG
dt =0
).
On définit enfin la fréquence f du signal comme étant le nombre de périodes par seconde, ce qui donne donc
€
f=1
T
. Elle
s’exprime en Hertz (Hz = s-1). L’appareil utilisé délivre un signal de « basse fréquence », typiquement de quelques Hz à
quelques MHz (106 Hz).
On peut donc écrire, pour résumer :
€
ω =2 π f=2
π
T
.
3) Réglages du GBF (Metrix GX 240, voir page 7/8)
Il s’agit de voir concrètement comment ajuster les paramètres définis ci-dessus à la valeur souhaitée.
Observer l’influence des réglages du GBF sur le signal s’affichant sur l’écran de l’oscilloscope.
* Fréquence f de façon continue avec un bouton rotatif, complété par la possibilité de sauts d’un facteur 10 (succession
de boutons poussoir « FREQUENCY » de 1 à 1 M).
* Amplitude UGm avec le bouton « LEVEL » (niveau), complété par la possibilité d’atténuer le signal d’environ 20 dB
(décibel) soit une division de l’amplitude par 10 permettant de travailler avec un signal de faible amplitude en appuyant
sur le bouton « ATT - 20 dB ».
* Forme du signal : sinusoïdal aujourd’hui, éventuellement créneaux ou triangulaire : succession de boutons poussoir.
* A noter la présence d’un bouton « DC OFFSET » permettant l’ajout une composante continue (offset = décalage) à un
signal « purement » sinusoïdal et provoquant une translation verticale de la courbe. Cette fonction s’active en tirant le
bouton correspondant (déclic). On veillera pour l’instant à ce qu’elle soit désactivée (bouton « enfoncé »).
II Observation à l’oscilloscope (RIGOL DS 2072, voir page 8/8)
Voyons maintenant quelques réglages de base permettant de gérer la courbe affichée sur l’écran de l’oscilloscope (tension en
fonction du temps), ainsi que quelques mesures possibles avec cet appareil.
Les fonctions y sont regroupées par catégories matérialisées par des blocs de boutons de commande sur la façade. Les sélections se
font par rotation, et les validations par appui, du bouton de réglage rotatif situé en haut et immédiatement à droite de l’écran.
Section « VERTICAL » :
* Echelle verticale : modification du gain par le gros bouton rotatif et affichage en bas à gauche de l’écran à côté du numéro de
la voie.
* Déplacement vertical de la trace : petit bouton rotatif.
Section « HORIZONTAL » :
* Echelle horizontale : modification par le gros bouton rotatif et affichage en haut de l’écran à gauche.
* Déplacement horizontal de la trace : petit bouton rotatif. Le petit triangle qui se déplace alors en haut de l’écran indique
l’instant où se fait la synchronisation : le signal y démarre à 0V par front montant (signal croissant).
Mesures automatiques :
Deux possibilités :
* Section « MENU » + touche « Measure » + gestion avec les touches à droite de l’écran.
* Accès direct avec les touches à gauche de l’écran :
« HORIZONTAL » : mesure de la période avec « Period » et de la fréquence avec « Freq ».
Attention : l’appareil effectue ces mesures à partir de la courbe affichée sur l’écran. En conséquence, il ne peut donner la
valeur de T ou de f que s’il est tracé au moins une période. A l’inverse, l’affichage d’un trop grand nombre de périodes

PCSI - Lycée Carnot Le signal sinusoïdal : production et observation
3/8
entrainera une dégradation de la précision des mesures. On veillera donc à n’afficher que le minimum de périodes, mais
au moins une.
« VERTICAL » : (passage d’une voie à l’autre par appui sur CH1 ou CH2) : valeur efficace UG avec « Vrms », valeur pic à
pic (ou crête à crête) entre le minimum et le maximum soit
€
2 2UG
avec « Vpp » et valeur moyenne (nulle en toute rigueur
ici, ou presque) avec « Vavg ».
Mesures manuelles : section « MENU » + touche « Cursor »
Gestion manuelle de curseurs permettant des mesures de tensions ou de temps sur les courbes (déplacement avec le bouton de
réglage).
A noter que ce sont ces curseurs qui gérés automatiquement par l’appareil, et invisibles la plupart du temps, permettent les
mesures automatiques décrites précédemment.
On vérifiera qu’il est alors possible de retrouver la fréquence du signal en plaçant correctement les deux curseurs verticaux.
On s’assurera aussi que l’on peut retrouver la valeur crête à crête du signal à l’aide des deux curseurs horizontaux.
II Phases et déphasage
1) Montage
On considère un dipôle (cadre en pointillés) alimenté
par le GBF. La tension imposée au dipôle est donc de la
forme définie précédemment :
€
uG(t)=UGm cos ω t+ ϕ
G
( )
.
On cherche à étudier la réponse du dipôle, c’est à dire
par exemple la tension aux bornes du résistor
€
uR(t)
.
Le dipôle sera ici constitué à titre d’exemple par
l’association série d’une bobine (bobine à pot de ferrite
d’inductance L ≈ 50 mH et de résistance r), d’un
condensateur (céramique de capacité C = 22 nF) et d’un
résistor (carbone de résistance R = 1,0 kΩ).
L’oscilloscope permet l’observation simultanée de la
tension
€
uG(t)
délivrée par le GBF en voie CH2 et de la tension
€
uR(t)
aux bornes du résistor de résistance R en voie CH1
(bornes rouges). Les deux voies possèdent une borne commune (noire) qui est la borne de masse et qui doit être impérativement
reliée à la masse du GBF (noire aussi) : .
A noter que l’oscilloscope, comme un voltmètre, se place toujours en dérivation sur le dipôle dont on veut mesurer la
tension à ses bornes.
La fréquence f de la tension délivrée par le GBF sera prise dans un premier aux alentours de 3 kHz.
2) Observations
On observe deux signaux de même forme (sinusoïdaux), synchrones (de mêmes pulsation, fréquence et période), mais décalés
dans le temps (les maximum, minimum et passage à 0 ne sont pas obtenus aux mêmes instants).
C
G.B.F.
voie CH1
dipôle étudié
(L, r)
R
voie CH2
tension
0
t
Voie CH1 : uR(t)
Voie CH2 : uG(t)

PCSI - Lycée Carnot Le signal sinusoïdal : production et observation
4/8
3) Définitions
Reprenons la tension délivrée par le GBF sous sa forme d’origine :
€
uG(t)=UGm cos ω t+ ϕ
G
( )
.
L’argument du cosinus,
€
ω t+ ϕ
G
, s’appelle la phase instantanée du signal. C’est un angle qui s’exprime en radian (rad).
Sa valeur à t = 0, donc
€
ϕ
G
, s’appelle la phase à l’origine. C’est donc aussi un angle.
Pour tenir compte des observations précédentes, la tension prélevée aux bornes de R sera écrite
€
uR(t)=URm cos ω t+ ϕ
R
( )
.
C’est aussi une tension sinusoïdale, de même pulsation que la précédente, mais de phase à l’origine
€
ϕ
R
différente pour tenir
compte du décalage temporel observé.
Il existe donc un déphasage entre les deux signaux, différence des phases à l’origine, de
€
ϕ = ϕ
R−
ϕ
G
.
Par un choix judicieux de l’origine des temps, comme dans la première partie (I.2), on pourra écrire plus simplement
€
uG(t)=UGm cos ω t
( )
et donc
€
uR(t)=URm cos ω t+ ϕ
R−
ϕ
G
( )
[ ]
soit encore
€
uR(t)=URm cos ω t+ ϕ
( )
.
4) Mesures
Comment mesurer le déphasage ϕ entre les deux signaux ?
Remarquons que l’on peut écrire
€
uR(t)=URm cos ω t+ ϕ
( )
=URm cos ω t+
ϕ
ω
$
%
& '
(
)
*
+
,
-
.
/ =URm cos
ω t±Δt
( )
[ ]
.
Δt (choisi positif) apparaît donc comme le décalage temporel entre les deux signaux.
Pour obtenir graphiquement ϕ, on procède en deux temps :
* On détermine déjà sa valeur absolue à partir de la définition précédente :
€
ϕ = ω .Δt=2
π
TΔt
en radian (où
€
ϕ =360
TΔt
en
degrés). On peut remarquer que, logiquement,
€
ϕ
atteint 2π quand Δt atteint T, et les signaux se retrouvent à nouveau en
phase.
Les mesures de T et de Δt, à l’aide des curseurs par exemple, sont susceptibles de fournir
€
ϕ
.
* Reste à obtenir son signe : ϕ est positif si
€
uR(t)
est en avance sur
€
uG(t)
, c’est-à-dire si comme dans le cas présent
€
uR(t)
atteint son maximum avant
€
uG(t)
, donc si le maximum de
€
uR(t)
est à gauche de celui de
€
uG(t)
(on rappelle que le temps
s’écoule de gauche à droite). ϕ est bien évidemment négatif dans le cas contraire où
€
uR(t)
est en retard par rapport à
€
uG(t)
.
L’oscilloscope peut afficher directement le déphasage entre ses deux voies : touches à gauche de l’écran, « HORIZONTAL » et
choix « Phase 1
€
→
2 ». L’appareil donnant par construction un déphasage positif si la voie CH1 est en avance sur la voie CH2, il
indiquera donc le signe correct pour ϕ avec les branchements effectués ici.
On effectuera la mesure de ϕ à la fréquence initiale de 3 kHz, puis ensuite à 7 kHz.
On recherchera enfin la fréquence f0 à laquelle les deux signaux sont en phase (ϕ = 0).
tension
0
T
t
Δt
Voie CH1 : uR(t)
Voie CH2 : uG(t)

PCSI - Lycée Carnot Le signal sinusoïdal : production et observation
5/8
L’oscilloscope permet aussi d’observer la voie CH2 en fonction de la voie CH1,
c’est à dire dans notre cas le graphe représentant
€
uG(t)
en fonction de
€
uR(t)
. Il
faut pour cela appuyer dans la section « HORIZONTAL » sur la touche
« MENU» et choisir « X-Y » de la rubrique « Time Base » (on peut revenir au
mode « bicourbe » précédemment utilisé avec le choix « Y-T » du même menu.
Observer la courbe obtenue dans ce mode lorsque l’on fait passer progressivement
la fréquence de 1 à 10 kHz : c’est en général une ellipse « oblique » pour ϕ
quelconque, et une droite dans le cas particulier où ϕ = 0.
Complément théorique :
Lorsque deux signaux synchrones mais déphasés sont portés sur deux axes
orthogonaux, on obtient dans le cas général une ellipse.
Prenons un repère cartésien Oxy avec des équations paramétriques
€
x(t)=acos ω t
et
€
y(t)=bcos ω t+ ϕ
( )
, avec a et b
positifs.
Intéressons nous à quelques cas particuliers de la valeur de ϕ :
*
€
ϕ =0
(signaux en phase)
On a alors
€
x(t)=acos ω t
et
€
y(t)=bcos ω t
. En éliminant t, et plus précisément
€
cos ω t
, on obtient bien une droite
d’équation
€
y=b
ax
, donc de pente positive
€
b
a
.
Cette situation s’avère particulièrement intéressante pour repérer avec une grande précision le cas particulier où les deux
signaux sont en phase.
*
€
ϕ = ± π
(signaux en opposition de phase)
On a alors
€
x(t)=acos ω t
et
€
y(t)=bcos ω t± π
( )
=−bcos ω t
. Ce qui donne aussi une droite mais de pente négative
€
−b
a
car d’équation
€
y=−b
ax
.
*
€
ϕ = ±
π
2
(signaux en quadrature)
On a alors
€
x(t)=acos ω t
et
€
y(t)=bcos ω t±
π
2
$
%
& '
(
) = ±bsin
ω t
. On en déduit
€
cos ω t=x
a
et
€
sin ω t= ± y
b
. En utilisant la
relation trigonométrique
€
cos2 ω t+sin2 ω t=1
, on obtient finalement
€
x2
a2+y2 b2=1
, ce qui correspond à l’équation
cartésienne d’une ellipse « droite » dont les axes de symétrie sont les axes Ox et Oy. Il vient
€
y= ±b
pour
€
x=0
, et
€
x= ±a
pour
€
y=0
. Elle s’inscrit donc dans un rectangle de longueurs de côtés 2a et 2b.
x
ϕ quelconque
uG
uR
ϕ = 0
y
x
t
ϕ = ±π
y
x
t
t
ϕ = ± π/2
y
+a
-a
+b
-b