Quelques notions de combinatoire 1 Tirages successifs 2

Mme Morel-TS-Cours combinatoire 1
Quelques notions de combinatoire
Dans tout le chapitre, net pd´esignent des entiers naturels tels que p6n.
1 Tirages successifs
1.1 Ranger n´el´ements
On consid`ere un ensemble de n´el´ements. On cherche le nombre de fa¸cons de ranger
(on ordonne) ces n´el´ements.
Il y a nchoix pour l’´el´ement plac´e en premier, n−1pour le second, n−2pour le
troisi`eme ···. Par cons´equent :
Th´eor`eme 1.1. Il y a n!fa¸cons d’ordonner n´el´ements.
Exemple : Nombre de mots de 3 lettres diff´erentes avec le mot CAR (faire un
arbre).
Remarque : Cela revient `a consid´erer un tirage successif sans remise de nboules
parmi n.
1.2 Tirages successifs sans remise
On consid`ere une urne contenant nboules. On en tire successivement psans remise.
Pour la premi`ere boule, il y a nchoix; pour la seconde n−1; pour la troisi`eme n−2,
···; et pour la p-i`eme n−p+ 1. Par cons´equent :
Th´eor`eme 1.2.
Il y a n(n−1)(n−2) ···(n−p+ 1) = n!
(n−p)! fa¸cons
de tirer successivement et sans remise pboules parmi nou
encore : le nombre de listes de p´el´ements distincts deux `a
deux d’un ensemble `a n´el´ements est :
n(n−1)(n−2) ···(n−p+ 1) = n!
(n−p)!.
Exemple : Nombre de mots de 2 lettres diff´erentes dans le mot ABRI (faire un
arbre).
1.3 Tirages successifs avec remise
On consid`ere une urne contenant nboules. On en tire successivement pavec remise.
Pour la premi`ere boule, il y a nchoix; pour la seconde n; pour la troisi`eme n,···;
et pour la p-i`eme n. Par cons´equent :
Th´eor`eme 1.3.
Il y a npfa¸cons de tirer successivement et avec remise pboules parmi
nou encore : le nombre de listes de p´el´ements d’un ensemble `a n
´el´ements est np.
2 Combinaisons
2.1 D´efinition
D´efinition 2.1.1. Soit Eun ensemble fini de n´el´ements et soit pun entier tel que
06p6n.
On appelle combinaison de p´el´ements de Etoute partie de Eayant p´el´ements.
Le nombre de combinaisons de p´el´ements d’un ensemble `a n´el´ements est not´e (n
p)
(lire pparmi n).
Exemple : On consid`ere l’ensemble {abc}. On cherche le nombre de parties `a 2
´el´ements de cet ensemble : ab,ac,bc. Il y en a donc 3. Par cons´equent, (3
2) = 3.
2.2 Tirages simultan´es
On consid`ere une urne contenant nboules. On tire simultan´ement pboules.
Si le tirage ´etait ordonn´e, il y aurait nchoix pour la premi`ere, n−1pour la seconde
··· et n−p+ 1 pour la p-i`eme, soit n!
(n−p)!. Mais ici, le tirage n’est pas ordonn´e.
On compte donc chaque sous-ensemble p!fois (nombre de fa¸cons d’ordonner p
´el´ements). Par cons´equent :
Th´eor`eme 2.1.
Il y a n(n−1)(n−2) ···(n−p+ 1)
p!fa¸cons de tirer simultan´ement
pboules parmi nou encore : le nombre de combinaisons de pobjets
parmi nest (n
p) = n(n−1)(n−2) ···(n−p+ 1)
p!=n! p!(n−p)!.
2.3 R´esum´e des situations de r´eference
•ptirages successifs sans remise : n!
(n−p)! (touche arrangement nAr de la
calculatrice);
•ptirages successifs avec remise : np;
•ptirages simultan´es : (n
p)(touche combinaison nCr de la calculatice).

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Exemples : (corrig´e `a la fin du cours)
1. •Six chevaux participent `a une course pour laquelle il n’y a pas d’ex-aequo.
Combien y-a-t-il de classements possibles? (Aide : un classement sans
ex-aequo est une liste ordonn´ee de six chevaux).
•Dans le jeu du tierc´e, on doit choisir dans l’ordre trois chevaux. On
suppose qu’il n’y a pas d’ex-aequo. Si la course compte quinze partants,
combien de tierc´e dans l’ordre peut-on former?
2. Le code antivol d’un autoradio est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre
pouvant prendre l’une des dix valeurs 0, 1, ···, 9. Quel est le nombre de codes
possibles?
3. On tire cinq cartes d’un jeu de trente-deux cartes et on appelle main l’ensemble
ainsi obtenu.
(a) Combien y-a-t-il de mains diff´erentes?
(b) Combien y-a-t-il de mains contenant exactement deux coeurs?
(c) Combien y-a-t-il de mains contenant au-moins un roi?
3 Propri´et´es des combinaisons
3.1 Premi`eres formules
Th´eor`eme 3.1. Soient net pdeux entiers naturels tels que p6n.
1. (n
0) = 1,(n n) = 1,(n 1) = n.
2. (n
p) = (n n−p).
3. Si 16p6n−1, alors (n
p) = (n−1
p−1) + (n−1
p)
D´emonstration : D´emonstration par les ensembles voir livre p 380
D´emonstration par le calcul :
1. imm´ediat.
2. (n
n−p) = n!
(n−p)!(n−n+p)! =n! p!(n−p)! = (n
p).
3. Si 16p6n−1, alors :
(n−1
p−1) + (n−1
p) = (n−1)!
(p−1)!(n−1−p+ 1)! +(n−1)! p!(n−1−p)!
Donc :
(n−1
p−1) + (n−1
p) = (n−1)!
(p−1)!(n−p)! +(n−1)! p!(n−1−p)!
Or p! = p(p−1)! et (n−p)! = (n−p)(n−p−1)!. Par cons´equent :
(n−1
p−1) + (n−1
p) = (n−1)!p+ (n−1)!(n−p)
p!(n−p)! =(n−1)!(p+n−p) p!(n−p)!
Soit :
(n−1
p−1) + (n−1
p) = n!
p!(n−p)! = (n
p)
Cons´equence : le triangle de Pascal On obtient le tableau des combinaisons de
proche en proche avec le tableau ci-dessous ((n
p)se trouve `a l’intersection de la
ligne net de la colonne p) :
p0 1 2 3 4 5
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
3.2 La formule du binˆome
Si aet bsont des nombres complexes, on a :
•(a+b)1= 1a+ 1b
•(a+b)2= 1a2+ 2ab + 1b2
•(a+b)3= 1a3+ 3a2b+ 3ab2+ 1b3.
On remarque que les coefficients intervenant dans le d´eveloppement de (a+b)n
sont les nombres (n
0),(n 1)··· figurant dans le triangle de Pascal.

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Th´eor`eme 3.2. Pour tous aet bcomplexes te nentier naturel non nul,
(a+b)n=
n
X
k=0
(n
k)akbn−k.
D´emonstration : A faire (r´ecurrence : voir livre p 381).
Application :
1. Montrer que pour tout entier n>1,
n
X
k=0
(n
k) = 2n.
2. En d´eduire le nombre de parties d’un ensemble `a n´el´ements.
Solution :
1. Pour tout entier n>1,
n
X
k=0
(n
k) =
n
X
k=0
(n
k)1k1n−k= (1 + 1)n= 2n.
2. Pour tout entier n>1,(n
k)repr´esente le nombre de parties `a k´el´ements d’un
ensemble `a n´el´ements. Donc si l’on ajoute ces nombres pour toutes les valeurs
de kcomprises en tre 0etn, on obtient le nombre de sous-ensembles que l’on
peut former dans un ensemble `a n´el´ements. Par cons´equent, le nombre de
parties d’un ensemble `a n´el´ements est 2n.
Correction des exemples d’application :
1. (a) Trouver le nombre de classements possibles revient `a ranger 6´el´ements
parmi 6. Il y a donc 6! = 720 classements possibles.
(b) Trouver un tierc´e revient `a ordonner 3´el´ements parmi 6. Cela conrerspond
donc `a trois tirages successifs sans remise dans un ensemble `a 6´el´ements.
Il y a donc 6!
(6 −3)! = 120 tierc´es possibles.
2. Trouver un code revient `a tirer successivement 4´el´ements parmi 10 avec remise
(un mˆeme chiffre peut servir plusieurs fois). Il y a donc 104codes possibles.
3. Une main correspond `a un tirage simultan´e de cinq cartes parmi 32 (l’ordre ne
compte pas). Par cons´equent :
(a) Il y a (32
5) = 201376 mains possibles.
(b) Il y a huit cartes de coeur dans un jeu et 24 cartes des autres couleurs.
Pour obtenir une main contenant exactement deux coeurs, il faut donc
tirer simultan´ement 2 cattes parmi 8 puis 3 cartes parmi 24. Il y a donc :
(8
2)×(28 3) = 56672 mains contenant exactement 2 cartes de coeur
(c) Comme tr`es souvent, pour calculer une probabilit´e contenant un ll au-
moins gg, il est pr´ef´erable de calculer la probabilit´e de l’´ev´enement con-
traire. L’´ev´enement ll contenir au-moins un roi gg est l’´ev´enement con-
traire de : ll ne pas contenir de roi gg.
Or, il y a :
(32−4
5) = (28
5) = 42504 mains ne contenant pas de roi.
Il y a donc 201376 −42504 = 158872 mains contenant au-moins un roi.
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