Quelques notions de combinatoire 1 Tirages successifs 2

Mme Morel-TS-Cours combinatoire
Quelques notions de combinatoire
1
Dans tout le chapitre, n et p désignent des entiers naturels tels que p 6 n.
Il y a np façons de tirer successivement et avec remise p boules parmi
Théorème 1.3. n ou encore : le nombre de listes de p éléments d’un ensemble à n
éléments est np .
1
2
1.1
Tirages successifs
Ranger n éléments
On considère un ensemble de n éléments. On cherche le nombre de façons de ranger
(on ordonne) ces n éléments.
Il y a n choix pour l’élément placé en premier, n − 1 pour le second, n − 2 pour le
troisième · · · . Par conséquent :
Théorème 1.1. Il y a n! façons d’ordonner n éléments.
Exemple : Nombre de mots de 3 lettres différentes avec le mot CAR (faire un
arbre).
Remarque : Cela revient à considérer un tirage successif sans remise de n boules
parmi n.
Combinaisons
2.1
Définition
Définition 2.1.1. Soit E un ensemble fini de n éléments et soit p un entier tel que
0 6 p 6 n.
On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments.
Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté (np )
(lire p parmi n).
Exemple : On considère l’ensemble {abc}. On cherche le nombre de parties à 2
éléments de cet ensemble : ab, ac, bc. Il y en a donc 3. Par conséquent, (32 ) = 3.
2.2
Tirages simultanés
On considère une urne contenant n boules. On tire simultanément p boules.
Si le tirage était ordonné, il y aurait n choix pour la première, n − 1 pour la seconde
n!
On considère une urne contenant n boules. On en tire successivement p sans remise. · · · et n − p + 1 pour la p-ième, soit
. Mais ici, le tirage n’est pas ordonné.
(n
−
p)!
Pour la première boule, il y a n choix; pour la seconde n − 1; pour la troisième n − 2,
On compte donc chaque sous-ensemble p! fois (nombre de façons d’ordonner p
· · · ; et pour la p-ième n − p + 1. Par conséquent :
éléments). Par conséquent :
n!
Il y a n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) =
façons
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1)
(n − p)!
Il y a
façons de tirer simultanément
de tirer successivement et sans remise p boules parmi n ou
p!
Théorème 2.1. p boules parmi n ou encore : le nombre de combinaisons de p objets
Théorème 1.2. encore : le nombre de listes de p éléments distincts deux à
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1)
n!
deux d’un ensemble à n éléments est :
parmi n est (np ) =
=
.
n!
p!
p!(n − p)!
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) =
.
(n − p)!
1.2
Tirages successifs sans remise
Exemple : Nombre de mots de 2 lettres différentes dans le mot ABRI (faire un
arbre).
1.3
Tirages successifs avec remise
On considère une urne contenant n boules. On en tire successivement p avec remise.
Pour la première boule, il y a n choix; pour la seconde n; pour la troisième n, · · · ;
et pour la p-ième n. Par conséquent :
2.3
Résumé des situations de réference
• p tirages successifs sans remise :
n!
(touche arrangement nAr de la
(n − p)!
calculatrice);
• p tirages successifs avec remise : np ;
• p tirages simultanés : (np ) (touche combinaison nCr de la calculatice).
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Exemples : (corrigé à la fin du cours)
1.
2
3. Si 1 6 p 6 n − 1, alors :
• Six chevaux participent à une course pour laquelle il n’y a pas d’ex-aequo.
Combien y-a-t-il de classements possibles? (Aide : un classement sans
ex-aequo est une liste ordonnée de six chevaux).
n−1
(p−1
) + (pn−1 ) =
Donc :
• Dans le jeu du tiercé, on doit choisir dans l’ordre trois chevaux. On
suppose qu’il n’y a pas d’ex-aequo. Si la course compte quinze partants,
combien de tiercé dans l’ordre peut-on former?
n−1
(p−1
) + (pn−1 ) =
n−1
(p−1
) + (pn−1 ) =
(c) Combien y-a-t-il de mains contenant au-moins un roi?
3
3.1
Propriétés des combinaisons
Premières formules
Théorème 3.1. Soient n et p deux entiers naturels tels que p 6 n.
1. (n0 ) = 1, (nn ) = 1, (n1 ) = n.
2. (np ) = (nn−p ).
n−1
3. Si 1 6 p 6 n − 1, alors (np ) = (p−1
) + (pn−1 )
Démonstration : Démonstration par les ensembles voir livre p 380
Démonstration par le calcul :
1. immédiat.
2. (nn−p ) =
n!
n!
=
= (np ).
(n − p)!(n − n + p)!
p!(n − p)!
(n − 1)!p + (n − 1)!(n − p)
(n − 1)!(p + n − p)
=
p!(n − p)!
p!(n − p)!
Soit :
3. On tire cinq cartes d’un jeu de trente-deux cartes et on appelle main l’ensemble
ainsi obtenu.
(b) Combien y-a-t-il de mains contenant exactement deux coeurs?
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(p − 1)!(n − p)! p!(n − 1 − p)!
Or p! = p(p − 1)! et (n − p)! = (n − p)(n − p − 1)!. Par conséquent :
2. Le code antivol d’un autoradio est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre
pouvant prendre l’une des dix valeurs 0, 1, · · · , 9. Quel est le nombre de codes
possibles?
(a) Combien y-a-t-il de mains différentes?
(n − 1)!
(n − 1)!
+
(p − 1)!(n − 1 − p + 1)! p!(n − 1 − p)!
n−1
(p−1
) + (pn−1 ) =
n!
= (np )
p!(n − p)!
Conséquence : le triangle de Pascal On obtient le tableau des combinaisons de
proche en proche avec le tableau ci-dessous ((np ) se trouve à l’intersection de la
ligne n et de la colonne p) :
p
n
0
1
2
3
4
5
3.2
0
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
La formule du binôme
Si a et b sont des nombres complexes, on a :
• (a + b)1 = 1a + 1b
• (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
• (a + b)3 = 1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3 .
On remarque que les coefficients intervenant dans le développement de (a + b)n
sont les nombres (n0 ), (n1 ) · · · figurant dans le triangle de Pascal.
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3
Théorème 3.2. Pour tous a et b complexes te n entier naturel non nul,
n
X
(a + b)n =
(nk )ak bn−k .
(b) Il y a huit cartes de coeur dans un jeu et 24 cartes des autres couleurs.
Pour obtenir une main contenant exactement deux coeurs, il faut donc
tirer simultanément 2 cattes parmi 8 puis 3 cartes parmi 24. Il y a donc :
k=0
(82 ) × (28
3 ) = 56672 mains contenant exactement 2 cartes de coeur
Démonstration : A faire (récurrence : voir livre p 381).
Application :
1. Montrer que pour tout entier n > 1,
n
X
(nk ) = 2n .
k=0
2. En déduire le nombre de parties d’un ensemble à n éléments.
(532−4 ) = (28
5 ) = 42504 mains ne contenant pas de roi.
Il y a donc 201376 − 42504 = 158872 mains contenant au-moins un roi.
Solution :
1. Pour tout entier n > 1,
(c) Comme très souvent, pour calculer une probabilité contenant un ll aumoins gg, il est préférable de calculer la probabilité de l’événement contraire. L’événement ll contenir au-moins un roi gg est l’événement contraire de : ll ne pas contenir de roi gg.
Or, il y a :
n
X
k=0
(nk )
=
n
X
(nk )1k 1n−k = (1 + 1)n = 2n .
k=0
2. Pour tout entier n > 1, (nk ) représente le nombre de parties à k éléments d’un
ensemble à n éléments. Donc si l’on ajoute ces nombres pour toutes les valeurs
de k comprises en tre 0 etn, on obtient le nombre de sous-ensembles que l’on
peut former dans un ensemble à n éléments. Par conséquent, le nombre de
parties d’un ensemble à n éléments est 2n .
Correction des exemples d’application :
1. (a) Trouver le nombre de classements possibles revient à ranger 6 éléments
parmi 6. Il y a donc 6! = 720 classements possibles.
(b) Trouver un tiercé revient à ordonner 3 éléments parmi 6. Cela conrerspond
donc à trois tirages successifs sans remise dans un ensemble à 6 éléments.
6!
= 120 tiercés possibles.
Il y a donc
(6 − 3)!
2. Trouver un code revient à tirer successivement 4 éléments parmi 10 avec remise
(un même chiffre peut servir plusieurs fois). Il y a donc 104 codes possibles.
3. Une main correspond à un tirage simultané de cinq cartes parmi 32 (l’ordre ne
compte pas). Par conséquent :
(a) Il y a (32
5 ) = 201376 mains possibles.
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