Structures algébriques, groupes, anneaux etc

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS
Dans les exercices suivants (G, .)est un groupe dont l’´ el´ ement neutre est not´ ee.
1. †Soient x,y,ztrois ´ el´ ements de Gtels que x3=y2,y3=z2,z3=x2.
(a) Montrer que x19 =e,y=x−8,z=x7.
(b) On suppose que Gest le groupe engendr´ e par {x, y, z}. Montrer que Gest un groupe
cyclique et que, pour tout u∈G,u19 =1.
2. Soit hune bijection du groupe Gsur un ensemble G0. Indiquer comment cela permet de
d´ efinir une structure de groupe sur l’ensemble G0.
Construire ainsi diverses structures de groupe sur l’ensemble R, comme x?y=3
px3+y3.
3. †Soient Het Kdeux sous-groupes de Gtels que H∪Ksoit un sous-groupe de G. Montrer
que H⊂Kou K⊂H(raisonner par l’absurde).
4. †Si aest un ´ el´ ement de G, on note hal’application de Gdans lui-mˆ eme d´ efinie par
∀x∈G, ha(x) = axa−1. V´ erifier que haest un automorphisme (isomorphisme dans Glui-
mˆ eme), et montrer que l’application a→haest un morphisme du groupe Gdans le groupe
(Aut(G),◦)des automorphismes de G(Un automorphisme de la forme haest dit int´ erieur).
5. On suppose que Gest un groupe fini d’ordre 4. Montrer que Gest isomorphe ` aZ/4Zou ` a
Z/2Z×Z/2Z.
Exemple : le groupe multiplicatif du corps F5=Z/5Zest un groupe d’ordre 4. De quel
genre est-il ? Mˆ eme question avec le groupe des ´ el´ ements inversibles de l’anneau Z/12Z.
6. Un exercice qui a du caract` ere !
On appelle caract` ere d’un groupe (G, ?)tout morphisme de Gdans le groupe multiplicatif
C∗, i.e. toute application χ:G→C∗telle que χ(g?h) = χ(g).χ(h)[en particulier χ(e) = 1].
a) montrer que si χ, χ0sont des caract` eres alors χ×χ0et χ−1aussi. Leur ensemble e Gest
donc un groupe multiplicatif [dit groupe dual].
b) on consid` ere un caract` ere χdu groupe (Z/nZ,+). Montrer que χest enti` erement
d´ etermin´ e par la valeur ξ=χ(1), puis que ξv´
erifie ξn=1. Quels sont tous les caract` eres
de Z/nZ? En d´ eduire que le groupe dual ^ Z/nZest isomorphe ` aZ/nZ.
c) [recherche] trouver les caract` eres de (Z,+) et reconnaˆ ıtre leur groupe.
d) [recherche biblio] Le groupe dual est-il toujours isomorphe au groupe de d´ epart ?
7. On consid` ere le groupe G= (Z/12Z,+), aim´ e des musiciens. Montrer qu’il poss` ede un seul
sous-groupe ` a 4 (resp. 3) ´ el´ ements, ` a savoir 3G ={˙ 0, ˙ 3, ˙ 6, ˙ 9}(resp. . . . ` a vous de trouver) et
que tout ´ el´ ement de Gs’´ ecrit de mani` etre unique comme somme d’un ´ el´ ement de chacun
de ces sous-groupes, i.e. G=3G ⊕4G (tout intervalle est somme de tierces mineures et de
tierces majeures).
8. On consid` ere le groupe Pdu pentagone r´ egulier, compos´ e des 5 rotations d’angles 2kπ/5, k =
0...4 et des cinq sym´ etries par rapport aux droites joignant le centre ` a un sommet du
pentagone (faire dessin).
Trouver tous les sous-groupes stricts de P, v´ erifier qu’ils sont cycliques. Et P?
9. Est-ce qu’un sous-groupe d’un produit de groupes est forc´ ement un produit de sous-
groupes ?
Quel est le sous-groupe de Z2engendr´ e par (1, 2)et (2, 1)?
1

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS 2
10. En consid´ erant l’application x7→ax dans (Z/pZ)∗, d´ emontrer le petit th´ eor` eme de
FERMAT : si p(premier) ne divise pas a, alors ap−1≡1(mod p).
D´ emontrer de fac¸on similaire le th´ eor` eme de WILSON :pest premier ⇐⇒ (p−1)! ≡−1
(mod p).
11. Il y a cinq chambres ` a la colonie de vacances hhTaupe niveauii. Des animateurs fac´ etieux
disposent, la premi` ere nuit, un certain nombre de panneaux qui indiquent : hhles occupants
de la chambre X... d´ em´ enagent ` a la chambre Y. . . ii. Tout le monde obtemp` ere, les
panneaux restent en place, et trois jours plus tard chacun a r´ eint´ egr´ e sa chambre initiale.
Combien y avait-il de panneaux ? LE MONDE, ao ˆ ut 98. Indication : consid´ erer les circuits suivis
par les occupants.
G´ en´ eralisation : on consid` ere une permutation de 12 ´ el´ ements. Montrer que son ordre
dans le groupe S12 est au maximum ´ egal ` a 60.
12. On m´ elange un jeu de 52 cartes de la fac¸on suivante : on s´ epare le jeu en deux moiti´ es,
puis on intercale une carte de chaque paquet alternativement. Ainsi l’ordre 1 2 3 4 5 6. . .
devient 27 1 28 2 29 3 . . .
a) Montrer que la k`
eme carte passe en position 2k (mod 53).
b) En d´ eduire en combien d’op´ erations le jeu retrouve son ´ etat initial.
c) Mˆ eme ´ etude pour le battage 1 27 2 28 3 29. . .
13. Ordinateur t´ el´ epathe ? Expliquer ce qui se passe quand on va sur
http : //www.k-netweb.net/projects/mindreader/
14. Parsimonious cycles
On consid` ere la s´ equence 0, 7, 14 =2, . . . 7k, . . . , 42 =36 +6=6(mod 12)dans Z/12Zpour k
allant de 0 ` a 6.
Ranger ses ´ el´ ements. Montrer qu’entre l’ensemble Dde ces 7 valeurs et son translat´ eD+7,
il y a un seul ´ el´ ement diff´ erent – et encore, la diff´ erence entre eux est minimale.
Plus g´ en´ eralement, on appelle P-cycle de raison dmodulo nune s´ equence arithm´ etique
de ktermes telle que l’ensemble des valeurs Asoit dou´ e de la mˆ eme propri´ et´ e : Aet
A+dont k−1´ el´ ements communs, et les deux ´ el´ ements non communs a∈A\(A+d)et
b∈(A+d)\Av´ erifient |a−b|=1. Montrer que si Aest l’ensemble de kvaleurs successives
d’une progression arithm´ etique de raison d, c’est un P-cycle ssi k×d=±1(mod n).
Donner toutes les solutions pour n=12 et k>2.
Anneaux & corps
15. Un ´ el´ ement xd’un anneau commutatif Aest dit nilpotent s’il existe un entier n∈Ntel
que xn=0. Montrer que l’ensemble des ´ el´ ements nilpotents de Aest un id´ eal.
Et si A=M2(R)?
16. Montrer qu’un anneau commutatif Aest un corps si, et seulement si, les seuls id´ eaux de
Asont {0}et A. Rechercher les id´ eaux de Mn(R)(les sous-groupes Itq ∀A, B A × I × B⊂ I)
( indication : penser ` a la base canonique de Mn(R)).
17. Choisissez un nombre entre 1 et 1000 ; multipliez par 9, ajoutez 4. Faites la somme
des chiffres du r´ esultat, it´ erez jusqu’ ` a ce qu’il ne reste qu’un chiffre n. Choisissez un pays
d’Europe dont le nom (en Franc¸ais) commence par la n`
eme lettre de l’alphabet. Choisissez
maintenant un fruit qui commence par la derni` ere lettre du nom de ce pays.
Prouvez qu’on trouve toujours un Kiwi (OK, il y a les Kumquats aussi mais c’est abusay).

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS 3
18. Montrer qu’il existe un nombre de la forme 111111 . . . 111 (un rep-unit) divisible par 143
(ou 2007 si vous pr´ ef´ erez).
19. Soit A=Z/12Z, on ´ etudie l’ensemble Fdes applications affines de A, c’est ` a dire les
applications f:x7→ax +bo` ua, b ∈A. Quelle structure poss` ede F, muni des lois :
+,(+,◦),◦? Quels ´ el´ ements de Fsont inversibles pour la loi ◦? Calculer fn=f◦f◦. . . f.
Donner des cas (* tous) o ` u la suite (fn)est stationnaire.
20. On consid` ere l’anneau des polynˆ omes ` a deux variables A=k[X, Y].
Quel est le compl´ ementaire de l’id´ eal I= (X, Y) = X.A +Y.A engendr´ e par les polynˆ omes Xet
Y?
Montrer que Iest un id´ eal maximal, mais qu’il n’est pas principal (engendr´ e par un seul
´
el´ ement).
Quels sont les id´ eaux de l’anneau Z/nZ? (pour cette question il est n´ ecessaire d’avoir
´
etudi´ eZ/nZ).
21. * Dans l’anneau A={a+b i√5|a, b ∈Z}, montrer que 3 et 2+i√5n’ont pas de ppcm. On
cherchera l’id´ eal des communs multiples et ´ etablira que c’est {3x +3iy√5|x+yest multiple de 3}.
22. Soit kle sous-ensemble de Rconstitu´ e des nombres r´ eels de la forme a+b√2, avec
a, b ∈Q. Montrer que kest un sous-corps de R.
(* un soupc¸on de Topologie ici. . . ) montrer que tout r´ eel est limite d’´ el´ ements de k.
Variante : quel est le plus petit anneau contenant 1, √2, √3?
23. V´ erifier que A={a+b√2|a, b ∈Z}est un sous-anneau de R, puis * que ses ´ el´ ements
inversibles sont les a+b√2tels que a2−2b2=±1(utilisez d=a∧b). On note A∗leur
groupe. Donnez plusieurs solutions de cette ´ equation (de Pell-Fermat).
On suppose donn´ ee une solution de a2
0−2b2 0= +1, avec a0, b0> 0. Montrer que a1, b1
d´ efinis par a1+b1√2= (a0+b0√2)(3−2√2)v´ erifient 0 < a1, 0 6b1< b et en d´ eduire que
a0+b0√2= (3+2√2)npour un nappropri´ e. Conclure que A∗est engendr´ e par 1+√2et -1.
24. Que peut-on dire de la structure de l’ensemble Q[π]des polynˆ omes en π,` a coefficients
rationnels ? Idem avec Q(π)(fractions dont les ´ el´ ements sont dans Q[π]).
25. •Polynˆ ome minimal de α=√2+√3dans Q? Idem avec α=cos 5π/7.
•Mˆ eme question avec la matrice α=0 1
−1 0 dans M2(R). Que dire de R[α]?
•Idem en replac¸ant Rpar k=Z/5Z, puis k=Z/7Z. Que se passe-t-il de diff´ erent dans les
deux cas ?
26. On consid` ere l’ensemble ℵ=N\ {0, 2}={1, 3, 4, 5, . . . }muni de la multiplication. [Ce n’est
pas un groupe, c’est un mono¨ ıde].
V´ erifier que 8 est, dans ℵ, un nombre premier, et trouver toutes les factorisations de 64.
Tout ´ el´ ement de ℵest-il de fac¸on unique ` a l’ordre pr` es produit de facteurs premiers ?

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS 4
27. Prouver que l’algorithme ci-dessous calcule les coefficients de Bezout, c’est ` a dire qu’ ` a la
sorte on a au +bv =r=pgcd(a, b). Pour cela, on v´ erifiera que r=au +bv est un invariant
de boucle ainsi que rp =a up +b vp.
Tester l’algorithme avec a=34, b =21.
def pgcde(a, b) :
r,u,v=a,1,0
rp, up, vp = b, 0, 1
while rp != 0 :
q = r//rp
rs, us, vs = r, u, v
r, u, v = rp, up, vp
rp, up, vp = (rs - q*rp), (us - q*up), (vs - q*vp)
return (r, u, v)
Calculer le pgcd des polynˆ omes X3+X2+X+1et X4+X2+1et donner la relation de Bezout
correspondante.
28. Pourquoi la suite des chiffres d´ ecimaux de 4/9 est-elle de p´ eriode 1, alors que celle de 22/7 est
de p´ eriode 6 ? Nous l’allons savoir tout ` a l’heure.
a) Montrer qu’un nombre r=p/q dont l’´ ecriture d´ ecimale illimit´ ee est de p´ eriode k(` a partir
d’un certain rang) est tel que q|10k−1. On supposera (quitte ` a d´ ecaler la virgule) q∧10 =1.
b) En d´ eduire qu’un rationnel r=p/q a un d´ eveloppement d´ ecimal de p´ eriode k,ordre de
10 dans le groupe multiplicatif Z/qZ∗.
c) Pour conclure, quelle est la plus grande p´ eriode possible (par rapport ` aq) et quand-est-ce
que cela se produit ? Donner les premi` eres valeurs de qcorrespondantes.
29. Polynˆ omes cyclotomiques.
On d´ efinit dans C[X]le polynˆ ome Φd(X)par Q(X−ξ), o ` uξparcourt l’ensemble des nombres
complexes d’ordre exactement d: c ` ad que ξd=1mais ξk6=1pour tout 0<k<d.
a) Calculer Φdpour d=1, 2, 3, 4.
( https : //fr.wikipedia.org/wiki/Polyn\ˆome_cyclotomique ).
b) Montrer la formule magique
Q
d|n
Φd(X) = Xn−1
Que dire de Φppour ppremier ?
c) En d´ eduire (r´ ecurrence forte) que tous les Φdsont unitaires ` a coefficients entiers.
NB : on montre (plus difficilement) que ces polynˆ omes sont irr´ eductibles dans Q[X]. On obtient ainsi
des polynˆ omes irr´ eductibles de degr´ e arbitrairement grand, contrairement au cas de R[X]. En effet le
degr´ e de Φdn’est autre que ϕ(d), o ` uϕest la fonction d’Euler. On red´ emontre ainsi que X
d|n
ϕ(d) = n.
30. * Une autre formule pour la fonction d’Euler ϕ.
On pose ψ(n) = Pn
k=1e2iπk
npgcd(n, k). Calculer ψ(n)pour n=2, 3, 4, 5.
V´ erifier que ψest multiplicative (si p, q sont premiers entre eux alors ψ(p×q) = ψ(p)ψ(q)),
* puis que
ψ(pm) =
pm
X
k=1
1×e2iπk/pm+
pm−1
X
k0=1
(p−1)×e2iπk0p/pm+
pm−2
X
k"=1
(p2−p)×e2iπk"p2/pm+. . . (pm−pm−1)e2iπpm/pm=ϕ(pm)

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS 5
pour ppremier, et conclure que
ϕ(n) =
n
X
k
e2iπk
npgcd(n, k) =
n
X
k
cos 2πk
npgcd(n, k).
(cette formule a ´ et´ e d´ ecouverte seulement en 2008)
31. Sous-corps premier.
Soit kun corps. Montrer que l’intersection de tous les sous-corps de kest un sous-corps
k0de k.
32. Montrer que si pest premier alors p|p
kpour k=1...p−1. R´
eciproque ?
33. Entiers de GAUSS : on consid` ere les nombres de la forme {a+ib |(a, b)∈Z2}. Montrer que
leur ensemble Aest un anneau euclidien, i.e. pour tous z, z06=0∈A∃q, r |z=q z0+ravec
|r|<|z0|. On montrera qu’il existe un entier de GAUSS utel que dans C,|z/z0−u|61/√2.
Par exemple, effectuer le quotient de 29 −5i par 3−2i.
En cons´ equence, dans Ail existe une notion de pgcd, des ´ el´ ements irr´ eductibles, des
d´ ecompositions uniques en produits de tels ´ el´ ements, etc. . .