2 Plus grand commun diviseur

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Plus grand commun
diviseur
PGCD DE DEUX ENTIERS NATURELS
u Définition
• Soit deux nombres entiers naturels a et b non nuls. Un nombre entier natu-
rel δ qui divise chacun de ces nombres est appelé diviseur commun de ces
nombres. L'ensemble des diviseurs communs aux nombres a et b est un en-
semble fini, noté D(a, b).
• Le plus grand élément de l'ensemble D(a, b) est appelé plus grand com-
mun diviseur de a et de b. On écrit en abrégé PGCD (a, b).
u Algorithme d'Euclide
• Si b divise a alors tout diviseur de b est aussi un diviseur de a et
PGCD (a, b) = b.
• Si r est le reste de la division de a par b, alors D(a, b) = D(b, r) donc
PGCD (a, b) = PGCD (b, r).
• Le PGCD de deux nombres est le dernier reste, non nul, de la succession
de divisions que l'on effectue dans l'algorithme d'EUCLIDE.
• Les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD.
u Propriétés du PGCD de deux nombres
• Le PGCD δ de deux nombres entiers naturels a et b est une combinaison
linéaire entière de a et de b, c'est à dire qu'il existe deux entiers relatifs u et v
tels que : δ = a u + b v.
• Si a, b et k sont trois entiers naturels non nuls, alors
PGCD (k a, k b) = k PGCD (a, b).
• Si d est un diviseur commun à a et b alors d est un diviseur de toute com-
binaison linéaire de a et b et, en particulier, un diviseur de leur PGCD.

16 u Chapitre 2
• Si a, b sont deux entiers naturels non nuls, et si λ est un entier relatif tel
que a + λ b soit un entier naturel non nul alors :
PGCD (a, b) = PGCD (a + λ b, b).
NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
u Définition
• Deux entiers naturels, non nuls, sont dits premiers entre eux si, et seule-
ment si, leur PGCD est égal à 1.
u Propriétés
• Tout entier naturel est premier avec 1.
• Si δ est le PGCD de a et b alors il existe deux entiers a’ et b’, premiers
entre eux, tels que a = δ a’ et b = δ b’.
u Théorème de BACHET - BEZOUT.
• Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il
existe un couple d'entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1.
u Théorème de GAUSS.
Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a
est premier avec b alors a divise c.
• Si un nombre entier naturel n est divisible par deux entiers naturels pre-
miers entre eux il est divisible par leur produit.
• On ne change pas le PGCD de deux nombres en multipliant l'un d'entre
eux par un nombre premier avec l'autre.
• a, b et c étant des entiers naturels non nuls, si PGCD (a, c) = 1 alors
PGCD (a, b) = PGCD (a, bc)
• Un nombre entier est premier avec un produit de deux facteurs entiers si,
et seulement si, il est premier avec chacun de ces facteurs.
• Si deux entiers naturels et b sont premiers entre eux alors (a + b) et ab le
sont aussi.

Plus grand commun diviseur t 17
x Enoncés des exercices y
n Exercice 1.............................................................................(10 min)
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, A et B les nombres définis
par : A = 3 a + 4 b et B = 4 a + 5 b.
1. Montrer que D (a, b) ⊂ D(A, B).
2. Exprimer a et b en fonction de A et B. En déduire que : D(A, B) ⊂ D(a, b).
3. Montrer que a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, A et B le
sont.
n Exercice 2.............................................................................(10 min)
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, A et B les nombres définis par :
A = 11 a + 2 b et B = 18 a + 5 b
1. Montrer que D (a, b) ⊂ D(A, B).
2. Exprimer a et b en fonction de A et de B. En déduire que tout diviseur
commun à A et B est un diviseur commun à 19 a et 19 b.
3. On suppose que a et b sont premiers entre eux.
Montrer que le PGCD de A et B divise 19.
nn Exercice 3...........................................................................(10 min)
1. On sait que si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux alors ab
et a + b sont premiers entre eux.
En déduire que si les entiers naturels a et b sont premiers entre eux alors
a + b et a
2 + b 2 – ab ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que les
diviseurs de 3.
2. Plus généralement, soit n un entier naturel tel que a
2 + b2 – n ab soit non
nul ; démontrer que si a et b sont premiers entre eux alors
a + b et a
2 + b 2 – n ab ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que
les diviseurs de n + 2.
nn Exercice 4...........................................................................(15 min)
Déterminer les couples (a, b) d'entiers naturels tels que a > b, a
2 – b 2 = 405 et
PGCD(a, b) = 3.

18 u Chapitre 2
nn Exercice 5.........................................................................(15 min))
Les entiers naturels non nuls a, b, c et d sont des termes consécutifs d'une suite
géométrique dont la raison q est un nombre entier premier avec a.
De plus a, b, d vérifient la relation 10 a2 = d – b.
1. Démontrer que : q (q +1) (q –1) = 10 a.
2. Déterminer les valeurs possibles de q. En déduire les valeurs correspon-
dantes de a, b, c et d.
nn Exercice 6.........................................................................(15 min))
Soit n un entier naturel non nul et a, b les entiers naturels définis par :
a = 5 n
2 + 7 et b = n 2 + 2.
1. Démontrer que tout diviseur commun à a et b est un diviseur de 3.
2. Démontrer que PGCD (a, b) = 3 si, et seulement si, n2 ≡ 1 [3].
3. En déduire, suivant les valeurs de n, le PGCD de a et b.
nn Exercice 7.......................................................................... (15 min)
Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, les entiers naturels a et b
sont premiers entre eux dans chacun des cas suivants :
1. a = 3 n + 2 et b = 2 n +1
2. a = n2 et b = n +1
3. a = 2 n +1 et b = 2 n (n +1).
nn Exercice 8.......................................................................... (15 min)
1. Soit k un entier naturel non nul. On pose : a = 2 k –1 et b = 2 k +1.
Démontrer que, pour tout k, les entiers a et b sont premiers entre eux.
2. Soit n un entier naturel non nul et A, B les entiers naturels définis par :
A = n2 + n et B = n2 – n.
Déterminer, suivant la parité de n, le PGCD de A et B.
nn Exercice 9.......................................................................... (15 min)
Soit n un entier naturel. On pose A = n
4 + n 2 +1.
1. En remarquant que : A = n
4 + 2n2 +1 – n 2, montrer que A peut s'écrire
comme produit de deux facteurs du second degré.
2. On pose a = n
2 + n +1 et b = n 2 – n +1.
a) Démontrer que a et b sont impairs.
b) Soit d un diviseur commun à a et à b . Démontrer que d divise 2n et
2(n
2 +1).
c) Montrer que n et n
2+1 sont premiers entre eux.
d) En déduire que a et b sont premiers entre eux.

Plus grand commun diviseur t 19
nn Exercice 10........................................................................ (15 min)
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.
1. On pose A = n –1 et B = n2 – 3 n + 6.
a) Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que pour tout n on ait :
n2 – 3 n + 6 = (an + b)(n –1) + 4.
b) En déduire que PGCD (A, B) = PGCD (A, 4).
2. Donner suivant les valeurs de n, le PGCD de A et 4.
3. Pour quelles valeurs de n le nombre Fn défini par :
Fn = 2
(36)(21)
1
nnn
n
−+−
−
est-il entier ?
nn Exercice 11........................................................................ (15 min)
Soit n un entier naturel, non nul.
1. On pose A = n2 + 3 et B = n + 2.
a) Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que pour tout n on ait :
n2 + 3 = (n + 2)(an + b) + 7.
b) En déduire que : PGCD (n2 +3, n – 2) = PGCD (n +2, 7).
2. Pour quelles valeurs de n la fraction 2
3
2
n
n
+
+
est-elle irréductible ?
3. Déterminer n de façon que 2
3
2
n
n
+
+
soit un entier naturel.
nn Exercice 12........................................................................(15 min)
1. Soit n un entier naturel non nul.
a) Calculer pour n ∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}, le reste de la division de 3n par 7.
b) Démontrer que, quel que soit l'entier naturel n, 3n+6 ≡ 3 n [7].
c) De manière générale, comment peut-on calculer, pour tout entier natu-
rel n, le reste de la division de 3
n par 7 ?
d) En déduire le reste de la division de 3
2003 par 7.
2. Soit U
n = 1 + 3 + 3
2 + … + 3 n–1 où n est un entier supérieur à 2.
a) Montrer que si U
n est divisible par 7 , alors 3
n ≡ 1 [7].
b) Réciproquement, montrer que si 3
n ≡ 1 [7] alors U
n ≡ 0 [7].
c) En déduire les valeurs de n telles que U
n soit divisible par 7.
nn Exercice 13........................................................................(15 min)
Soit (E) l'équation : 26 x –17 y = 1 où x et y sont deux entiers naturels.
1. En utilisant l'algorithme d'Euclide déterminer une solution particulière de
l'équation (E).
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).