Fonctions trigonométriques réciproques Fonctions hyperboliques

MT19
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques 1 / 8 A Chevalley
Fonctions trigonométriques réciproques
Fonctions hyperboliques réciproques
1. Fonctions trigonométriques réciproques
1.1. Arcsin
sin : [ -
2
π
;
2
π
]  ℝ est continue strictement croissante.
Donc sin : [ -
2
π
;
2
π
]  sin ( [ -
2
π
;
2
π
] ) = [ - 1 ; 1 ] est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arcsin : [ - 1 ; 1 ]  [ -
2
π
;
2
π
] D
f
= [ - 1 ; 1 ]
x ֏ y tel que sin y = x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
arcsin ( x )
Propriétés :
a) arcsin est impair sur [ - 1 ; 1 ]
En effet arcsin ( x ) = y tel que sin y = x et sin ( - y ) = - x donc arcsin ( - x ) = - y
b) arcsin est dérivable sur ] - 1 ; 1 [ et
( arcsin ) ‘ ( x ) =
1 1 1 1 1
'( ) cos( ) cos(arcsin( ))
1 sin²(arcsin( )) 1 ²
f y y x
x x
= = = =
− −
ATTENTION : ceci est valable car arcsin ( x ) ∈ [ -
2
π
;
2
π
] et cos est positif sur cet intervalle.

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Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques 2 / 8 A Chevalley
( arcsin ) ‘ (u(x)) =
'( )
1 ( ( ))²
u x
u x
=−
c) arcsin est continue sur [ - 1 ; 1 ], croissante sur [ - 1 ; 1 ]
sin (arcsin (x)) = x si x ∈ [ - 1 ; 1 ]
arcsin(sin(x)) = x si x ∈ [ – π/ 2 ; π/ 2 ]
Exemple : Trouver le développement limité de arcsin à l’ordre 5 en 0.
1.2. Arccos
cos : [ 0 ; π ]  ℝ est continue strictement décroissante.
Donc cos : [ 0 ; π ]  cos ( [ 0 ; π ] ) = [ - 1 ; 1 ] est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arccos : [ - 1 ; 1 ]  [ 0 ; π ] D
f
= [ - 1 ; 1 ]
x ֏ y tel que cos y = x
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
arccos ( x )
Propriétés :
a) arccos n’est ni pair, ni impair sur [ - 1 ; 1 ]
b) arccos est dérivable sur ] - 1 ; 1 [ et
( arccos ) ‘ ( x ) =
1 1 1 1 1
'( ) sin( ) sin(arccos( ))
1 cos²(arccos( )) 1 ²
f y y x
x x
− −
= = = = −
−
− −

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Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques 3 / 8 A Chevalley
( arccos) ‘ (u(x)) =
'( )
1 ( ( ))²
u x
u x
−
=−
c) arccos est continue sur [ - 1 ; 1 ], décroissante sur [ - 1 ; 1 ]
cos (arccos (x)) = x si x ∈ [ - 1 ; 1 ]
arccos(cos(x)) = x si x ∈ [ 0 ; π ]
Remarque : ∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, ( arcsin ) ‘ ( x ) + ( arccos ) ‘ ( x ) = 0
Donc en intégrant, ∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, arcsin ( x ) + arccos ( x ) = k ∈ ℝ et en posant x = 0 on trouve
∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, arcsin ( x ) + arccos ( x ) =
2
π
Exemple : Résoudre dans ℝ l’équation arcsin ( x ) = arccos ( 2 x ) et donner le domaine de définition de cette équation
1.3. Arctan
tan : ] -
2
π
;
2
π
[  ℝ est continue et strictement croissante.
Donc tan : ] -
2
π
;
2
π
[  tan ( ] -
2
π
;
2
π
[ ) = ℝ est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arctan : ℝ  ] -
2
π
;
2
π
[ D
f
= ℝ
x ֏ y tel que tan y = x

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Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques 4 / 8 A Chevalley
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
arctan ( x )
y = - pi / 2
y = pi / 2
Propriétés :
a) arctan est impair sur ℝ
b) arctan est dérivable sur ℝ et
( arctan ) ‘ ( x ) =
2 2 2
1 1 1 1
'( ) 1 tan ( ) 1 tan (arctan( )) 1
f y y x x
= = =
+ + +
( arctan ) ‘ (u(x)) =
2
'( )
1 ( ( ))
u x
u x
=+
c) arctan est continue sur ℝ, croissante sur ℝ et
lim
x
→ + ∞
arctan ( x ) =
2
π
-
lim
x
→ ∞
arctan ( x ) = -
2
π
d) Utilisation des formules de trigonométrie
2
2
1 tan
cos(2 )
1 tan
θ
θ
θ
−
=+
2
2tan
sin(2 )
1 tan
θ
θ
θ
=+
2
2tan
tan(2 )
1 tan
θ
θ
θ
=−
2. Fonction hyperboliques réciproques
2.1. Argument sinus hyperbolique (argsh)
sh : ℝ  ℝ
x ֏ sh x =
2
1
2 2.
x x x
x
e e e
e
−
− −
=
sh est impair
sh ‘ x = ch x
ch ² x – sh ² x = 1

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Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques 5 / 8 A Chevalley
ch x + sh x = e
x
et ch x – sh x = e
– x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
sh(x)
sh : ℝ  ℝ est continue strictement croissante.
Donc sh : ℝ  sh ( ℝ ) = ℝ est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
argsh : ℝ  ℝ D
f
= ℝ
x ֏ y tel que sh y = x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-3 -2,
5-2 -1, 5-1 -0, 50 0,5 1 1,5 2 2,5 3
argsh ( x )
Propriétés :
a) argsh est croissant et impair sur ℝ.
b) argsh est dérivable sur ℝ et
( argsh ) ‘ ( x ) =
1 1 1 1 1
'( ) c ( ) c (arg ( ))
1 s ²(arg ( )) 1 ²
f y h y h sh x
h sh x x
= = = =
+ +
( argsh) ‘ (u(x)) =
'( )
1 ( ( ))²
u x
u x
=+