Fonctions trigonométriques réciproques Fonctions hyperboliques

MT19
Fonctions trigonométriques réciproques
Fonctions hyperboliques réciproques
1. Fonctions trigonométriques réciproques
1.1. Arcsin
sin : [ -
π
2
;
π
Donc sin : [ -
2
] ℝ est continue strictement croissante.
π
2
;
π
2
sin ( [ -
]
π
2
;
π
2
] ) = [ - 1 ; 1 ] est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arcsin : [ - 1 ; 1 ]
x
֏
[-
π
2
;
π
2
Df = [ - 1 ; 1 ]
]
y tel que sin y = x
2
1,5
arcsin ( x )
1
0,5
0
-2
-1,5
-1
-0,5 0
-0,5
0,5
1
1,5
2
-1
-1,5
-2
Propriétés :
a) arcsin est impair sur [ - 1 ; 1 ]
En effet arcsin ( x ) = y tel que sin y = x et sin ( - y ) = - x donc arcsin ( - x ) = - y
b) arcsin est dérivable sur ] - 1 ; 1 [ et
( arcsin ) ‘ ( x ) =
1
1
1
1
1
=
=
=
=
f '( y ) cos( y ) cos(arcsin( x))
1 − sin ²(arcsin( x))
1 − x²
ATTENTION : ceci est valable car arcsin ( x ) ∈ [ -
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques
π
2
;
π
2
] et cos est positif sur cet intervalle.
1/8
A Chevalley
MT19
u '( x)
( arcsin ) ‘ (u(x)) = =
1 − (u ( x))²
c) arcsin est continue sur [ - 1 ; 1 ], croissante sur [ - 1 ; 1 ]
sin (arcsin (x)) = x si x ∈ [ - 1 ; 1 ]
arcsin(sin(x)) = x si x ∈ [ –
π/2 ; π/2
]
Exemple : Trouver le développement limité de arcsin à l’ordre 5 en 0.
1.2. Arccos
cos : [ 0 ; π ] ℝ est continue strictement décroissante.
Donc cos : [ 0 ; π ]
cos ( [ 0 ; π ] ) = [ - 1 ; 1 ] est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arccos : [ - 1 ; 1 ]
x
֏
[0 ;π]
y tel que cos y = x
Df = [ - 1 ; 1 ]
3
2,5
arccos ( x )
2
1,5
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
0
-0,5
0,5
1
1,5
Propriétés :
a) arccos n’est ni pair, ni impair sur [ - 1 ; 1 ]
b) arccos est dérivable sur ] - 1 ; 1 [ et
( arccos ) ‘ ( x ) =
1
1
−1
−1
=
=
=
= −
f '( y ) − sin( y ) sin(arccos( x))
1 − cos ²(arccos( x))
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques
2/8
1
1 − x²
A Chevalley
MT19
− u '( x)
( arccos) ‘ (u(x)) = =
1 − (u ( x))²
c) arccos est continue sur [ - 1 ; 1 ], décroissante sur [ - 1 ; 1 ]
cos (arccos (x)) = x si x ∈ [ - 1 ; 1 ]
arccos(cos(x)) = x si x ∈ [ 0 ; π ]
Remarque : ∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [, ( arcsin ) ‘ ( x ) + ( arccos ) ‘ ( x ) = 0
Donc en intégrant, ∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [,
arcsin ( x ) + arccos ( x ) = k ∈ ℝ et en posant x = 0 on trouve
∀ x ∈ ] - 1 ; 1 [,
arcsin ( x ) + arccos ( x ) =
π
2
Exemple : Résoudre dans ℝ l’équation arcsin ( x ) = arccos ( 2 x ) et donner le domaine de définition de cette équation
1.3. Arctan
tan : ] -
π
2
π
;
2
Donc tan : ] -
π
2
[ ℝ est continue et strictement croissante.
;
π
2
tan ( ] -
[
π
2
;
π
2
[ ) = ℝ est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
arctan : ℝ
x
֏
]-
π
2
;
π
2
[
Df = ℝ
y tel que tan y = x
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques
3/8
A Chevalley
MT19
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-1,6
arctan ( x )
y = - pi / 2
y = pi / 2
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Propriétés :
a) arctan est impair sur ℝ
b) arctan est dérivable sur ℝ et
( arctan ) ‘ ( x ) =
( arctan ) ‘ (u(x)) =
1
1
1
1
=
=
=
2
2
f '( y ) 1 + tan ( y ) 1 + tan (arctan( x)) 1 + x 2
=
u '( x)
1 + (u ( x))2
c) arctan est continue sur ℝ, croissante sur ℝ et
lim arctan ( x ) =
π
x→ + ∞
2
lim arctan ( x ) = -
x→ - ∞
π
2
d) Utilisation des formules de trigonométrie
cos(2θ ) =
1 − tan 2 θ
1 + tan 2 θ
sin(2θ ) =
2 tan θ
1 + tan 2 θ
tan(2θ ) =
2 tan θ
1 − tan 2 θ
2. Fonction hyperboliques réciproques
2.1. Argument sinus hyperbolique (argsh)
sh :
ℝ
x
ℝ
֏ sh x =
e x − e− x e2 x − 1
=
2
2.e x
sh est impair
sh ‘ x = ch x
ch ² x – sh ² x = 1
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques
4/8
A Chevalley
x
ch x + sh x = e
et ch x – sh x = e
MT19
–x
4
3
2
sh(x)
1
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1
-2
-3
-4
sh : ℝ ℝ est continue strictement croissante.
sh ( ℝ ) = ℝ est bijective.
Donc sh : ℝ
On peut donc définir son application réciproque :
argsh : ℝ
x
֏
Df = ℝ
ℝ
y tel que sh y = x
2
1,5
argsh ( x )
1
0,5
0
-3 -2, -2 -1, -1 -0, 0
-0,5
5
5
5
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-1
-1,5
-2
Propriétés :
a) argsh est croissant et impair sur ℝ.
b) argsh est dérivable sur ℝ et
( argsh ) ‘ ( x ) =
1
1
1
1
1
=
=
=
=
f '( y ) c h( y ) c h(arg sh( x))
1 + s h²(arg sh( x))
1 + x²
( argsh) ‘ (u(x)) =
=
u '( x)
1 + (u ( x))²
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques
5/8
A Chevalley
MT19
Exemple : Montrer que argsh ( x ) = ln ( x +
1 + x ).
2
2.2. Argument cosinus hyperbolique (argch)
ch :
ℝ ℝ=[1;+∞[
e x + e− x e2 x + 1
֏ ch x =
=
2
2.e x
x
ch est pair
ch ‘ x = sh x
4
3,5
ch(x)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-2
-1,5
ch : ℝ
+
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
ℝ est continue strictement croissante.
Donc ch : ℝ
+
+
ch ( ℝ ) = [ 1 ; + ∞ [ est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
argch : [ 1 ; + ∞ [
x
֏
ℝ
Df = [ 1 ; + ∞ [
+
y tel que ch y = x
2,5
2
argch ( x )
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-0,5
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques
6/8
A Chevalley
MT19
Propriétés :
a) argch est croissante sur ℝ.
b) argch est dérivable sur ] 1 ; + ∞ [ et
( argch ) ‘ ( x ) =
1
1
1
1
=
=
=
=
f '( y ) sh( y ) sh(arg ch( x))
ch²(arg ch( x)) − 1
( argch) ‘ (u(x)) =
=
1
x² − 1
u '( x)
(u ( x))² − 1
x 2 − 1 ).
Exemple : Montrer que argch ( x ) = ln ( x +
2.3. Argument tangente hyperbolique (argth)
th :
ℝ
x
ℝ
e x − e− x e2 x − 1
=
֏ th x = x
e + e− x e2 x + 1
th ‘ x = 1 – th ² x =
-2
th : ℝ
-1,5
1
ch 2 x
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2 0
-0,5
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1
0,5
1
1,5
2
th x
x=1
x = -1
ℝ est continue strictement croissante.
Donc th : ℝ
th ( ℝ ) = ] – 1 ; 1 [est bijective.
On peut donc définir son application réciproque :
argth : ] – 1 ; 1 [
ℝ
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques
Df = ] – 1 ; 1 [
7/8
A Chevalley
MT19
x
y tel que th y = x
֏
2,5
2
argth ( x )
1,5
1
0,5
0
-1
-0,5
-0,5 0
0,5
1
-1
-1,5
-2
-2,5
Propriétés :
a) argth est croissante et impaire sur ] – 1 ; 1 [ .
b) argth est dérivable sur ] – 1 ; 1 [ et
( argth ) ‘ ( x ) =
1
1
1
1
=
=
=
2
2
f '( y ) 1 − th ( y ) 1 − th (arg th( x)) 1 − x 2
( argth) ‘ (u(x)) =
=
u '( x)
1 − (u ( x)) 2
Exemple : Montrer que argth ( x ) = 1 / 2 ln (
1+ x
)
1− x
.
Fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques
8/8
A Chevalley