Fonctions usuelles I Bijections, applications réciproques

TSI1
f1(x) = 3x−5f2(x) = √3−x f3(x) = x2−1 ] − ∞,0]
f4(x) = 1
3x−2f5(x) = 3x+ 2 2x−1
f(x) = xexf[−1,+∞[
[−1,+∞[ [−e−1,+∞[
g(x) = e2x−5
ex−2g] ln 2,+∞[
] ln 2,+∞[R
f:I→R
y7→ f−1(y)
I=R: a) f(x) = x3+2x−1 (y= 2) b) f(x) = x5+3x3+2x−1 (y= 5)
x3+ 2x−1 = 0 x5+ 3x3+ 2x−1 = 0
I=R∗
+: a) f(x) = −2x+8
x3(y=−3) b) f(x) = e3x+e2x−5 (y= 7)
f
f−1
a) f(x) = √2x−3 b) f(x) = ex3−1 c) f(x) = x2−4x+ 5 x>2

a) lim
x→+∞
1 + x−x2
(x−1)(2x+ 1) b) lim
x→+∞
(2x2−2x+ 1)3
(1 −2x)(1 −x)5c) lim
x→0
5−x
x2d) lim
x→1
x2−4x+ 3
x−1
e) lim
x→+∞
x+ 2
xln x+√xf) lim
x→+∞
e2x+ 1
ex−3g) lim
x→+∞
ex+ 2
x8+ 1 h) lim
x→+∞
x2−2xcos x
i) lim
x→+∞
ln x+x10
xln x+exj) lim
x→0xcos 1
xk) lim
x→+∞
xsin x
1−x2l) lim
x→+∞
x−1
2x−(ln x)2
m) lim
x→+∞
xex
3xn) lim
x→−∞
xex
3xo) lim
x→+∞
2x2+√xcos(1 −x2)
x2p) lim
x→+∞sin x+ 1
x
q) lim
x→+∞
√x2+ 1 −√x2−1 r) lim
x→−∞
x2e−x−xs) lim
x→+∞r3x2−2
xt) lim
x→0+xx
u) lim
x→+∞
ln(x+ex)
xv) lim
x→+∞
(xx)x
x(xx)w) lim
x→+∞
a(bx)
b(ax)1< a < b
a) xln(ln x)
ln xb) logx(logxxxy)
f(x) = ln(sin x)
f f0
a) g(x) = exp µx
x+ 1¶b) h(x) = xe√1−x2c) i(x) = (2x)√1+x2
x > −1x
x+ 1 6ln(1 + x)6x
lim
x→0
ln(1 + x)
x
∀x∈Rex>x+ 1
a) 2x3= 3x2b) x√x=√xxc) xx=√2
2d) xx1
2=1
2e) 2sin2x= cos x

TSI1
ch(a+b) = ch ach b+ sh ash bsh(a+b) = ch ash b+ sh ach b
ch(ln x) + sh(ln x)
xsh2xcos2y+ ch2xsin2y
a) ch x= 2 b) 5 ch x−4 sh x= 3
lim
x→+∞2 ch2x−sh 2xlim x→+∞
e2x(2 ch2x−sh 2x)
a) argth(−4x) b) argch √xc) √argch xd) xargsh 1
xe) argth(x+ 1)
a) argsh x= ln(x+√x2+ 1),∀x∈Rb) argch x= ln(x+√x2−1),∀x∈[1,+∞[
c) argth x=1
2ln ¡1+x 1−x¢,∀x∈R
x7→ argsh ¡x2−1
2x¢
a) argth x= argth 1
xb) argth x= argch 1 xc) argch x= argsh µx−1 2¶

arcsin(−√2
2),arccos(−√2 2),arcsin(−1 2),arccos(−1 2),arctan(−√3),
arctan(−1),arctan( 1
√3),arcsin(√3
2),sin(arcsin(1 3)),arccos(cos(4π)),arcsin(sin(2π 3)),
arccos(cos(−2π
3)),arcsin(sin(5π 4)),arccos(cos(5π 4)),arctan(tan(3π 4)),arctan(tan(7π 6))
a) arcsin(√x) b) arcsin x
3c) x2arctan x2d) arctan(sin(2x))
e) ln(arctan(x2)) f) arctan ¡x−1
x+ 1¢g) arccos ¡x−1 x+ 1¢
2 arctan r1−x
1 + x+ arcsin x=π 2
a) cos(arctan x) b) sin(arctan x) c) tan(arccos x) d) cotan(arcsin 1
x)
a) arctan x+ arctan 2x=π
4b) 2 arctan x+ arccos µ4 5¶=π 2
c) arcsin 2x= arcsin x+ arcsin ¡x√2¢d) arcsin x+ arcsin √1−x2=π
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