Fonctions usuelles I Bijections, applications réciproques

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI1
Exercices série 3
Fonctions usuelles
I Bijections, applications réciproques
Exercice 1. Montrer que les fonctions suivantes dénissent une bijection de leur
ensemble de dénition sur un ensemble à préciser, et écrire les fonctions réciproques :
f1 (x) = 3x − 5
f2 (x) =
f4 (x) =
√
3−x
1
3x − 2
f3 (x) = x2 − 1 sur ] − ∞, 0]
f5 (x) =
3x + 2
2x − 1
Exercice 2. Étudier et représenter les fonctions suivantes dénies par :
1) f (x) = xex . Montrer que la restriction de f à [−1, +∞[ est une bijection de
[−1, +∞[ sur [−e−1 , +∞[, et représenter aussi son application réciproque.
e2x − 5
. Montrer que la restriction de g à ] ln 2, +∞[ est une bijection de
ex − 2
] ln 2, +∞[ sur R, et représenter aussi son application réciproque.
2) g(x) =
Exercice 3. Dans chacun des cas suivants, montrer que f : I → R admet une
fonction réciproque y 7→ f −1 (y), préciser son domaine de dénition, et calculer sa
dérivée au point indiqué entre parenthèses :
1. I = R :
a) f (x) = x3 +2x−1 (y = 2)
b) f (x) = x5 +3x3 +2x−1 (y = 5)
Justier rapidement que les équations x3 + 2x − 1 = 0 et x5 + 3x3 + 2x − 1 = 0
admettent une unique solution réelle.
2. I = R∗+ :
a) f (x) = −2x +
8
x3
(y = −3)
b) f (x) = e3x + e2x − 5 (y = 7)
Exercice 4. Dans chacun des cas suivants, montrer que f est une bijection de
son ensemble de dénition sur un ensemble à déterminer. Préciser le domaine de
dénition de la fonction réciproque f −1 , et calculer sa dérivée en indiquant son
domaine de dénition :
a) f (x) =
√
3
2x − 3 b) f (x) = ex − 1 c) f (x) = x2 − 4x + 5 pour x > 2
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III
II
FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES
Calculs de limites
Exercice 5. Déterminer, si elles existent, les limites :
a)
1 + x − x2
b)
x→+∞ (x − 1)(2x + 1)
e)
x+2
√ f)
x→+∞ x ln x +
x
(2x2 − 2x + 1)3
5−x
x2 − 4x + 3
c)
lim
d)
lim
x→+∞ (1 − 2x)(1 − x)5
x→0 x2
x→1
x−1
lim
lim
lim
ex + 2
h)
x→+∞ x8 + 1
e2x + 1
g)
x→+∞ ex − 3
lim
lim
ln x + x10
1
j)
lim
x
cos
k)
x→+∞ x ln x + ex
x→0
x
lim x2 − 2x cos x
x→+∞
x sin x
x−1
l)
lim
x→+∞ 1 − x2
x→+∞ 2x − (ln x)2
√
xex
xex
2x2 + x cos(1 − x2 )
x+1
m) lim
n)
lim
o)
lim
p) lim sin
x
x
2
x→+∞ 3
x→−∞ 3
x→+∞
x→+∞
x
x
r
√
√
3x2 − 2
x2 + 1 − x2 − 1 r) lim x2 e−x − x s) lim
q) lim
t) lim+ xx
x→−∞
x→+∞
x→+∞
x→0
x
x
x x
(bx )
ln(x + e )
(x )
a
u) lim
v) lim (xx ) w) lim (ax ) où 1 < a < b
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞ b
x
i)
III
lim
lim
Fonctions logarithmes et exponentielles
Exercice 6. Simplier les expressions suivantes : a) x
ln(ln x)
ln x
y
b) logx (logx xx )
Exercice 7.
1. On pose f (x) = ln(sin x). Déterminer les ensembles de dénition et de dérivabilité de f , et calculer f 0 .
2. Même question avec :
µ
¶
√
√
x
2
2
a) g(x) = exp
b) h(x) = xe 1−x
c) i(x) = (2x) 1+x
x+1
Exercice 8.
1. a) Montrer que pour tout x > −1, on a :
x
6 ln(1 + x) 6 x
x+1
ln(1 + x)
x
2. Montrer que ∀x ∈ R, on a : ex > x + 1.
b) En déduire lim
x→0
Exercice 9. Résoudre les équations :
3
2
a) 2x = 3x
b) x
√
x
=
√
x
x
c) xx =
√
2
2
1
d) xx 2 =
1
2
e) 2sin x = cos x
2
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Classe de TSI1
Exercices série 3
IV Fonctions hyperboliques
Exercice 10. Démontrer les relations :
et
ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b
Exercice 11. Simplier
sh(a + b) = ch a sh b + sh a ch b
ch(ln x) + sh(ln x)
et sh2 x cos2 y + ch2 x sin2 y
x
Exercice 12. Résoudre : a) ch x = 2
b) 5 ch x − 4 sh x = 3
Exercice 13. Déterminer, si elles existent, les limites :
lim 2 ch2 x − sh 2x
x→+∞
et
lim e2x (2 ch2 x − sh 2x)
x→+∞
V Fonctions hyperboliques réciproques
Exercice 14. Calculer les dérivées des expressions suivantes en précisant leurs domaines de dénition :
√
√
a) argth(−4x) b) argch x c) argch x d) x argsh x1 e) argth(x + 1)
Exercice 15. Démontrer les égalités suivantes :
√
√
a) argsh x = ln(x + x2 + 1), ∀x ∈ R b) argch x = ln(x + x2 − 1), ∀x ∈ [1, +∞[
¡
¢
c) argth x = 21 ln 1+x
, ∀x ∈ R
1−x
Exercice 16. Simplier la fonction x 7→ argsh
¡ x2 −1 ¢
2x
.
Exercice 17. Résoudre :
1
a) argth x = argth
x
1
b) argth x = argch
x
µ
1
c) argch x = argsh x −
2
¶
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VI FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES
VI Fonctions circulaires réciproques
Exercice 18. Calculer : arcsin(−
arctan(−1),
arctan( √13 ),
√
2
),
2
arcsin(
arccos(−
√
3
),
2
√
arcsin(− 12 ), arccos(− 12 ), arctan(− 3),
√
2
),
2
sin(arcsin( 13 )), arccos(cos(4π)), arcsin(sin( 2π
)),
3
arccos(cos(− 2π
)), arcsin(sin( 5π
)), arccos(cos( 5π
)),
3
4
4
arctan(tan( 3π
)),
4
arctan(tan( 7π
)).
6
Exercice 19. Calculer les dérivées des expressions suivantes, en précisant leurs
domaines de dénition :
√
x
a) arcsin( x) b) arcsin
3
e) ln(arctan(x2 ))
c) x2 arctan x2
f) arctan
¡x − 1¢
x+1
d) arctan(sin(2x))
g) arccos
¡x − 1¢
x+1
Exercice 20. Montrer la relation suivante sur un intervalle à préciser :
r
2 arctan
1−x
π
+ arcsin x =
1+x
2
Exercice 21. Donner une expression plus simple de :
a) cos(arctan x)
b) sin(arctan x)
c) tan(arccos x)
1
d) cotan(arcsin )
x
Exercice 22. Résoudre les équations :
π
a) arctan x + arctan 2x =
4
µ ¶
4
π
b) 2 arctan x + arccos
=
5
2
¡ √ ¢
c) arcsin 2x = arcsin x + arcsin x 2
d) arcsin x + arcsin
√
1 − x2 =
π
2
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