EXEMPLES DE PARTIES GÉNÉRATRICES D`UN GROUPE par

EXEMPLES DE PARTIES G´ EN´ ERATRICES D’UN GROUPE
par
Pascal Boyer
Table des mati`eres
1. G´en´eralit´es et cas commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1. D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Groupes ab´eliens de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Un groupe ab´elien non de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Exemples non commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. Le groupe sym´etrique ............................................ 5
2.2. Le groupe lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4. Le groupe unitaire ................................................ 8
2.5. Le groupe circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Pr´esentation d’un groupe par g´en´erateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1. D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Cas des groupes sym´etriques et altern´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3. Groupes de Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4. Lemme du ping-pong ............................................ 10
4. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1. Sous-groupes paradoxaux et paradoxe de Banach-Tarski . . . . . . . . . . 11
4.2. S´eries thˆeta et formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3. Analyse harmonique .............................................. 13
5. D´eveloppements ........................................................ 14
6. Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7. Solutions ................................................................ 14
R´ef´erences .................................................................. 16
pr´erequis :

2PASCAL BOYER
1. G´en´eralit´es et cas commutatif
1.1. D´efinitions. — Soit Gun groupe et Sune partie non vide de G; le groupe < S >
engendr´e par Sdans Gest le plus petit sous-groupe de Gcontenant S.
Remarque : l’existence de < S > est assur´ee par le fait que l’intersection de deux sous-groupes
est un groupe : < S > est l’intersection de tous les sous-groupes de Gcontenant S. Dans le
cas o`u < S >=Gon dit que Sest une partie g´en´eratrice de G; dans ce cas si Sest fini, on
dit que Gest de type fini. Dans le cas G=< S > o`u Sest de cardinal 1, on dit que Gest
monog`ene et si Gest fini, il est dit cyclique.
Propri´et´e : tout ´el´ement x∈< S > s’´ecrit sous la forme s²1
1···s²n
no`u n∈Nd´epend que de x,
s1,··· , sn∈Set i=±1. En g´en´eral cette ´ecriture n’est pas unique.
Question : pour un groupe de type fini le cardinal d’un ensemble Sde g´en´erateurs de cardinal
minimal a-t-il un int´erˆet quelconque ? Mˆeme question pour un groupe qui n’est pas de type
fini, en demandant que le groupe engendr´e par Ssoit dense.
Remarque : signalons qu’un ensemble de g´en´erateur Stel que tout sous-ensemble strict n’est
pas g´en´erateur, n’est pas forc´ement de cardinal minimal : par exemple 2 et 3 engendrent Z
alors que ni 2 ni 3 ne sont des g´en´erateurs.
1.2. Groupes cycliques. — Tout groupe cyclique de cardinal nest isomorphe `a Z/nZ; en
effet soit G=< g > et consid´erons le morphisme f:Z→Gqui `a 1 associe g. Par d´efinition
le noyau de fest nZde sorte que finduit un isomorphisme ¯ f:Z/nZ'G.
Proposition 1.1. — Tout sous-groupe de Z/nZest de cardinal do`u dest un diviseur de
n. R´eciproquement pour tout d|n, il existe un unique sous-groupe d’ordre dde Z/nZqui est
isomorphe `a Z/dZ.
Preuve : Le premier point est un cas particulier du th´eor`eme de Lagrange. R´eciproquement
soit Hun sous-groupe de G=Z/nZ; consid´erons et φ:Z−→ Z/nZ−→ G/H, o`u G/H est
le groupe quotient de Gpar H. Le noyau de φest un sous-groupe de Zdonc de la forme dZ,
contenant Ker ψ=nZ, de sorte que ddivise n. Ainsi Hest cyclique, engendr´e par la classe
de d; son ordre est n/d.
Corollaire 1.2. — Le groupe engendr´e par un ´el´ement ¯ k∈Z/nZest le groupe engendr´e par
k∧n; il est de cardinal n
n∧k.
Preuve : Comme kest un multiple de k∧n, on a l’inclusion (k)⊂(k∧n). R´eciproquement
on ´ecrit une relation de Bezout uk +vn =n∧kde sorte que modulo n,n∧kappartient au
groupe engendr´e par ket donc (k∧n)⊂(k). On en d´eduit alors que l’ordre de kdans Z/nZ
qui est par d´efinition le cardinal du groupe engendr´e par k, est n
n∧k.
Remarque : un ´el´ement ¯ k∈Z/nZest un g´en´erateur si et seulement si k∧n= 1 ; on notera
ψ(n) le cardinal de l’ensemble des g´en´erateurs de Z/nZ, et donc aussi le cardinal des 1 ≤k≤n
premiers avec n.
Corollaire 1.3. — L’ensemble des ´el´ements d’ordre d|n(resp. d’ordre divisant d) dans Z/nZ
est de cardinal ψ(d)(resp. d). Par ailleurs on a n=Pd|nψ(d).
Preuve : Remarquons tout d’abord que si dne divise pas n, il n’y a aucun ´el´ement d’ordre
ddans Z/nZ. Si ddivise n, tous les ´el´ements d’ordre dappartiennent au groupe engendr´e
par (n
d) qui est isomorphe, en tant que groupe cyclique d’ordre d, `a Z/dZ. Ainsi les ´el´ements

EXEMPLES DE PARTIES G´ EN´ ERATRICES D’UN GROUPE 3
d’ordre dde Z/nZsont en bijection avec les ´el´ements d’ordre dde Z/dZqui sont en nombre
ψ(d).
Cherchons maintenant les ´el´ements d’ordre divisant ddans Z/nZqui sont donc d’ordre
divisant d∧net qui appartiennent au groupe engendr´e par n
n∧disomorphe `a Z/(n∧d)Z.
Ainsi, comme pr´ec´edemment, les ´el´ements d’ordre divisant dde Z/nZsont en bijection avec
les ´el´ements d’ordre divisant n∧dde Z/(n∧d)Z, qui sont en nombre n∧d.
La derni`ere ´egalit´e d´ecoule du d´enombrement des ´el´ements de Z/nZselon leur ordre.
Th´eor`eme 1.4. — (chinois) Soient net mdes entiers premiers entre eux ; l’application
Z→Z/nZ×Z/mZqui `a un entier kassocie sa classe modulo net m, induit un isomorphisme
Z/nmZ'Z/n ×Z/mZ.
Preuve : Consid´erons tout d’abord un ´el´ement kdu noyau de sorte que net mdivise k
et comme n∧m= 1, d’apr`es le lemme de Gauss nm|k. Ainsi le noyau est contenu dans
nmZ, l’inclusion r´eciproque ´etant ´evidente de sorte que l’on a une injection de Z/nmZ→
Z/n ×Z/mZqui est un isomorphisme par ´egalit´e des cardinaux.
Remarque : il peut ˆetre utile de savoir d´eterminer un ant´ec´edent d’un couple (¯a, ¯ b)∈Z/nZ×
Z/mZ. Pour cela on part d’une relation de B´ezout un +vm = 1 et on pose k=unb +vma ;
on v´erifie ais´ement que comme un ≡1 mod met vm ≡1 mod n, on a k≡amod net
k≡bmod m. Dans le cas o`u n∧m=d, le noyau est n∨mZet l’image
{(a, b)∈Z/nZ×Z/mZ:d|a−b}.
1.5 — L’ensemble Z/nZest aussi muni d’une structure d’anneau d´eduite de celle de Z; on
note (Z/nZ)×le groupe multiplicatif de Z/nZ, i.e. l’ensemble des ´el´ements inversibles muni
de la multiplication.
Proposition 1.6. — Un ´el´ement k∈Z/nZappartient `a (Z/nZ)×si et seulement s’il est un
g´en´erateur additif de Z/nZ. En particulier (Z/nZ)×est de cardinal ϕ(n).
Preuve : Par d´efinition kest inversible si et seulement s’il existe k0tel que kk0≡1 mod n,
i.e. s’il existe λ∈Ztel que kk0+λn = 1 ce qui est ´equivalent `a k∧n= 1 et donc kest un
g´en´erateur de Z/nZ.
Remarque : comme Z/nZest monog`ene tout morphisme de source Z/nZest d´etermin´e par
l’image de ¯ 1 de sorte qu’en particulier le groupe aut(Z/nZ) est isomorphe `a (Z/nZ)×.
Corollaire 1.7. — L’anneau Z/nZest un corps si et seulement si n=pest premier auquel
cas on le notera Fp.
Th´eor`eme 1.8. — (de Fermat) Pour tout n∈Zet k∧n= 1, on a kϕ(n)≡1 mod n.
Preuve : Nous avons vu que le cardinal de (Z/nZ)×est ´egal `a ϕ(n) et comme l’ordre d’un
´el´ement divise le cardinal du groupe, l’ordre de kdivise ϕ(n) et donc kϕ(n)≡1 mod n.
Proposition 1.9. — Pour n=pα1
1···pαr
r, on a
ϕ(n) =
r
Y
i=1
pαi−1
i(pi−1).

4PASCAL BOYER
Preuve : Le th´eor`eme chinois donne un isomorphisme
(Z/nZ)×'
r
Y
i=1
(Z/pαi
iZ)×;
le r´esultat d´ecoule alors du fait que le cardinal des 1 ≤k≤pαdivisible par pest de cardinal
pα−1et donc ϕ(pα) = pα−1(p−1).
En ce qui concerne les (Z/pαZ)×, on a le r´esultat suivant que nous admettrons.
Proposition 1.10. — Pour ppremier impair et α≥1,(Z/paZ)×est cyclique et pour p= 2,
on a
(Z/2αZ)×'(Z/2Z)×(Z/2α−2).
1.3. Groupes ab´eliens de type fini. — Tout groupe ab´elien Gest de type fini est iso-
morphe `a Zr×Qn
i=1 Z/aiZo`u 1 < a1|···|an. L’entier rs’appelle le rang de Get les aisont
ses facteurs invariants.
Remarque : notons que l’entier r+nest le nombre minimal de g´en´erateurs n´ecessaires de G.
On pourra par exemple utiliser ce fait pour montrer que le sous-groupe de GL2(C) engendr´e
par les similitudes
µ1 1
−1 1 ¶ µ −1 1 −1−1¶
est isomorphe `a Z×Z/4Z.
R´eseaux : ce sont les groupes ab´eliens de type fini sans torsion. Soit Γ un r´eseau de V,eune
Z-base de Γ et vune base de V.
–vest une Z-base de Γ si et seulement si la matrice de passage de e`a vappartient `a
GLn(Z) ou encore si et seulement s’il existe une matrice A∈GLn(Z) telle que
v1
.
.
.
vn
=A
e1
...
en
;
– un vecteur v= (vi)i=1,··· ,n ∈Znpeut ˆetre compl´et´e en une Z-base de Znsi et seulement
si les visont premiers entre eux ;
– plus g´en´eralement v1,··· , vrdes vecteurs de Znpeuvent ˆetre compl´et´es en une Z-base
de Znsi et seulement si le pgcd des mineures d’ordre rsont premiers entre eux.
Dans la recherche, en g´en´eral algorithmique, d’une base la meilleure possible signalons les
possibilit´es suivantes :
– les vecteurs de base le plus courts possibles : r´eduction de Minkowski
– la famille de vecteurs de base la plus orthogonale possible : r´eduction de Korkine et
Zolotarev
– r´eduction de Lenstra, Lenstra et Lovasz : ´etant donn´ee une base (e1,··· , en) on notera
(e∗
1,··· , e∗
n) la base obtenue par le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt
e∗
i=ei−
i−1
X
j=1
µi,je∗
j
o`u µi,j =<ei|e∗
j>
||b∗
j||2. La base (ei) est dite LLL-r´eduite si |µi,j| ≤ 1/2 et que
||e∗
i+µi,i−1e∗ i−1||2≥3
4||e∗
i−1||2

EXEMPLES DE PARTIES G´ EN´ ERATRICES D’UN GROUPE 5
On dispose alors d’un algorithme dit LLL qui permet de calculer une base LLL-r´eduite
`a partir d’une base quelconque : cependant si j’ai bien compris la complexit´e de cet
algorithme est mal comprise.
Th´eor`eme 1.11. — (Hermite) Γposs`ede une base e1,··· , entelle que
N(e1).··· .N(en)≤(4
3)n(n−1)/2det Γ
Remarque : on rappelle que l’in´egalit´e d’Hadamard donne que det Γ ≤N(e1).··· .N(en). En
d´eduire alors qu’il existe un vecteur non nul de Γ de norme inf´erieure ou ´egale `a (4
3)n(n−1)/2det(Γ)1/n.
Remarque : l’algorithme LLL a de nombreuses applications, notamment en cryptographie (cf.
l’attaque du sac `a dos).
1.4. Un groupe ab´elien non de type fini. — Notons G=Q/Zqui est clairement de
torsion et pas de type fini puisque tout groupe de torsion de type fini est fini. Soit alors
Gp=[
n≥1
1
pnZ/Z=1 pZ/Z⊂1 p2Z/Z⊂ ··· ⊂ 1 pnZ/Z⊂ ···
Lemme 1.12. — Gpest l’unique pro-p-groupe de Sylow de G.
Preuve : Remarquons tout d’abord que Gpest un groupe : soient x, y ∈Galors il existe n
et mtels que x∈1
pnZ/Zet y∈1 pmZ/Zet donc pour r= max{n, m},x, y ∈1 prZ/Zqui est
un groupe et donc x−y∈Gp. Par ailleurs si x∈Gest d’ordre une puissance de p, alors
clairement x∈Gp.
Lemme 1.13. — Les sous-groupes stricts de Gpsont les 1
pnZ/Z.
Preuve : Pour tout n≥0, 1
pnZ/Zest un sous-groupe de Gp. R´eciproquement soit Hun
sous-groupe de Gpet supposons que Hne soit pas de la forme 1
pnZ/Zde sorte que pour tout
n, il existe x6∈ 1
pnZ/Z. Soit mtel que x∈1 pmZ/Zavec donc m>nde sorte que pm−nxest
un g´en´erateur de 1
pnZ/Zet donc 1 pnZ/Z⊂Het finalement H=Gp.
Lemme 1.14. — Tout sous-groupe Hde Gest la somme directe de ses sous-groupes de
Sylow Hp=H∩Gp.
Preuve : Soit x∈Het ntel que x∈1
nZ/Z'Qp1 pαpZ/Zo`u n=Qppαpet donc x=Ppxp
avec xp=n
pαpx∈H∩Gp. Ainsi H⊂LpHp, l’inclusion r´eciproque ´etant ´evidente.
Remarque : Q/Zest isomorphe au sous-groupe de torsion de SO(2,R)'U. Par ailleurs le
groupe dual de Gpest isomorphe `a l’anneau des entiers p-adiques Zpque l’on peut obtenir
aussi comme la limite projective des 1
pnZ/Z.
2. Exemples non commutatifs
2.1. Le groupe sym´etrique. — Si on cherche les g´en´erateurs les plus simples possibles,
on se tourne vers les transpositions et on peut montrer les r´esultats suivants :
(i) les transpositions engendrent Sn;
(ii) les transpositions (i i + 1) engendrent Sn;
(iii) les transpositions (1 i) engendrent Sn.