Devoir 2 (MAT-2300) Le devoir est `a remettre vendredi le 12

Devoir 2
(MAT-2300)
Le devoir est `a remettre vendredi le 12 d´ecembre avant 17h00. Vous pouvez faire le devoir
en ´equipe de 5 personnes ou moins.
Exercice 1 Soit Gun groupe cyclique. Montrer que tout groupe quotient de Gest
encore un groupe cyclique.
Exercice 2 Soit pQ,`q le groupe ab´elien des nombres rationnels.
(1) Montrer que pour tout nPZzt0u, l’application
rns:QÑQ
xÞÑ nx
est un isomorphisme de groupes.
(2) Soit HšQun sous-groupe propre. Montrer que l’indice rQ:Hsdoit n´ecessairement
ˆetre infini.
Indice: Consid´erer le groupe quotient Q{H.
Exercice 3 Soit pG, ¨q un groupe et M, N ✂Gdes sous-groupes normaux tels que
MN “G. Montrer que G{MˆG{N»G{pMXNq.
Indice: Consid´erer les homomorphismes de groupes naturels MÑG{N,NÑG{Met
montrer que ces derniers sont des surjections. Consid´erer ensuite l’homomorphisme naturel
ι:GÑG{MˆG{Net montrer que xιpMq, ιpNqy “ G{MˆG{Npour d´eduire que ιest
surjectif.
Exercice 4 Soit pCˆ,¨q le groupe multiplicatif des ´el´ements non-nuls de C. On consid`ere
les sous-groupes S1:“ tzPCˆ:||z|| “ 1u ď Cˆet Rą0ďCˆ. Montrer que Cˆ{S1»Rą0.
Indice: Utiliser le premier th´eor`eme d’isomorphisme pour un homomorphisme judi-
cieux.
Exercice 5 Soit pG, ¨q un groupe. On dit que Gest un groupe simple si les seuls
sous-groupes normaux de Gsont N“ t1u(le sous-groupe trivial) ou N“G(le groupe au
complet).
(1) Soit pun nombre premier. Montrer que Z{pZest un groupe simple.
(2) Soit nPZą1un nombre compos´e. Montrer que Z{nZn’est pas un groupe simple.
(3) Montrer que A4n’est pas un groupe simple.
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Remarque: Un r´esultat important de la th´eorie des groupes nous dit que An(le groupe
altern´e de degr´e n) est simple si ně5. En fait, le premier groupe fini non ab´elien qui est
simple est A5.
Exercice 6 Soit pG, ¨q un groupe fini d’ordre n. Soit HďGo`u rG:Hs:“rą1.
Montrer que si nąr! alors Gne peut ˆetre un groupe simple.
Indice: Consid´erer l’action de Gsur l’ensemble S:“G{Hqui est donn´ee par la
translation `a gauche et utiliser la “correspondance action-repr´esentation”.
Exercice 7 Soit pG, ¨q un groupe et HďGun sous-groupe. Soit „la relation suivante
sur G: Soit x, y PG, alors x„ysi xH “yH. On a montr´e en classe que „est une relation
d’´equivalence sur G. Le graphe de la relation „sera not´e par Φ:
Φ :“ tpx, yq P GˆG:x„yu.
L’ensemble GˆGadmet une structure naturelle de groupe, i.e., via le produit cart´esien
de Gavec lui-mˆeme. On peut donc se poser la question suivante: Est-ce que Φ est un
sous-groupe de GˆG? Montrer que Φ est un sous-groupe de GˆGsi et seulement si H
est un sous-groupe normal de G.
Exercice 8 Soit pG, ¨q un groupe et N✂Gun sous groupe normal. On pose G:“G{N
pour le groupe quotient de Gpar N. On posera aussi
(1) S:“ tHďG:Hest un sous-groupe de Get NďHu,
(2)
r
S:“ t
r
HďG:
r
Hest un sous-groupe de Gu.
Soit π:GÑGla projection naturelle donn´ee par gÞÑ πpgq “ gN. On pourra aussi utiliser
la notation raccourci πpgq “ g. Plus g´en´eralement, si TĎG(juste un sous-ensemble) alors
πpTq “ T“ ttN :tPTu Ď G.
(1) On consid`ere la “correspondance” suivante:
θ:SÑ
r
S
HÞÑ πpHq “ H
Montrer que θest un bijection d’ensembles.
(2) On pose Snor :“ tHPS:H✂Guet
r
Snor :“ t
r
HP
r
S:
r
H✂Gu. Commencer par
v´erifier que θpSnor q Ď
r
Snor . Montrer que θ|Snorm :Snor Ñ
r
Snor est une bijection.
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