Devoir 2 (MAT-2300) Le devoir est à remettre vendredi le 12 décembre avant 17h00. Vous pouvez faire le devoir en équipe de 5 personnes ou moins. Exercice 1 Soit G un groupe cyclique. Montrer que tout groupe quotient de G est encore un groupe cyclique. Exercice 2 Soit pQ, `q le groupe abélien des nombres rationnels. (1) Montrer que pour tout n P Zzt0u, l’application rns : Q Ñ Q x ÞÑ nx est un isomorphisme de groupes. (2) Soit H š Q un sous-groupe propre. Montrer que l’indice rQ : Hs doit nécessairement être infini. Indice: Considérer le groupe quotient Q{H. Exercice 3 Soit pG, ¨q un groupe et M, N ✂ G des sous-groupes normaux tels que MN “ G. Montrer que G{M ˆ G{N » G{pM X Nq. Indice: Considérer les homomorphismes de groupes naturels M Ñ G{N, N Ñ G{M et montrer que ces derniers sont des surjections. Considérer ensuite l’homomorphisme naturel ι : G Ñ G{M ˆ G{N et montrer que xιpMq, ιpNqy “ G{M ˆ G{N pour déduire que ι est surjectif. Exercice 4 Soit pCˆ , ¨q le groupe multiplicatif des éléments non-nuls de C. On considère les sous-groupes S 1 :“ tz P Cˆ : ||z|| “ 1u ď Cˆ et Rą0 ď Cˆ . Montrer que Cˆ {S 1 » Rą0 . Indice: Utiliser le premier théorème d’isomorphisme pour un homomorphisme judicieux. Exercice 5 Soit pG, ¨q un groupe. On dit que G est un groupe simple si les seuls sous-groupes normaux de G sont N “ t1u (le sous-groupe trivial) ou N “ G (le groupe au complet). (1) Soit p un nombre premier. Montrer que Z{pZ est un groupe simple. (2) Soit n P Zą1 un nombre composé. Montrer que Z{nZ n’est pas un groupe simple. (3) Montrer que A4 n’est pas un groupe simple. 1 Remarque: Un résultat important de la théorie des groupes nous dit que An (le groupe alterné de degré n) est simple si n ě 5. En fait, le premier groupe fini non abélien qui est simple est A5 . Exercice 6 Soit pG, ¨q un groupe fini d’ordre n. Soit H ď G où rG : Hs :“ r ą 1. Montrer que si n ą r! alors G ne peut être un groupe simple. Indice: Considérer l’action de G sur l’ensemble S :“ G{H qui est donnée par la translation à gauche et utiliser la “correspondance action-représentation”. Exercice 7 Soit pG, ¨q un groupe et H ď G un sous-groupe. Soit „ la relation suivante sur G: Soit x, y P G, alors x „ y si xH “ yH. On a montré en classe que „ est une relation d’équivalence sur G. Le graphe de la relation „ sera noté par Φ: Φ :“ tpx, yq P G ˆ G : x „ yu. L’ensemble G ˆ G admet une structure naturelle de groupe, i.e., via le produit cartésien de G avec lui-même. On peut donc se poser la question suivante: Est-ce que Φ est un sous-groupe de G ˆ G? Montrer que Φ est un sous-groupe de G ˆ G si et seulement si H est un sous-groupe normal de G. Exercice 8 Soit pG, ¨q un groupe et N ✂ G un sous groupe normal. On pose G :“ G{N pour le groupe quotient de G par N. On posera aussi (1) S :“ tH ď G : H est un sous-groupe de G et N ď Hu, r est un sous-groupe de Gu. r ďG:H (2) Sr :“ tH Soit π : G Ñ G la projection naturelle donnée par g ÞÑ πpgq “ gN. On pourra aussi utiliser la notation raccourci πpgq “ g. Plus généralement, si T Ď G (juste un sous-ensemble) alors πpT q “ T “ ttN : t P T u Ď G. (1) On considère la “correspondance” suivante: θ : S Ñ Sr H ÞÑ πpHq “ H Montrer que θ est un bijection d’ensembles. r P Sr : H r ✂ Gu. Commencer par (2) On pose Snor :“ tH P S : H ✂ Gu et Srnor :“ tH vérifier que θpSnor q Ď Srnor . Montrer que θ|Snorm : Snor Ñ Srnor est une bijection. 2