Devoir 2 (MAT-2300) Le devoir est `a remettre vendredi le 12

Devoir 2
(MAT-2300)
Le devoir est à remettre vendredi le 12 décembre avant 17h00. Vous pouvez faire le devoir
en équipe de 5 personnes ou moins.
Exercice 1 Soit G un groupe cyclique. Montrer que tout groupe quotient de G est
encore un groupe cyclique.
Exercice 2 Soit pQ, `q le groupe abélien des nombres rationnels.
(1) Montrer que pour tout n P Zzt0u, l’application
rns : Q Ñ Q
x ÞÑ nx
est un isomorphisme de groupes.
(2) Soit H š Q un sous-groupe propre. Montrer que l’indice rQ : Hs doit nécessairement
être infini.
Indice: Considérer le groupe quotient Q{H.
Exercice 3 Soit pG, ¨q un groupe et M, N ✂ G des sous-groupes normaux tels que
MN “ G. Montrer que G{M ˆ G{N » G{pM X Nq.
Indice: Considérer les homomorphismes de groupes naturels M Ñ G{N, N Ñ G{M et
montrer que ces derniers sont des surjections. Considérer ensuite l’homomorphisme naturel
ι : G Ñ G{M ˆ G{N et montrer que xιpMq, ιpNqy “ G{M ˆ G{N pour déduire que ι est
surjectif.
Exercice 4 Soit pCˆ , ¨q le groupe multiplicatif des éléments non-nuls de C. On considère
les sous-groupes S 1 :“ tz P Cˆ : ||z|| “ 1u ď Cˆ et Rą0 ď Cˆ . Montrer que Cˆ {S 1 » Rą0 .
Indice: Utiliser le premier théorème d’isomorphisme pour un homomorphisme judicieux.
Exercice 5 Soit pG, ¨q un groupe. On dit que G est un groupe simple si les seuls
sous-groupes normaux de G sont N “ t1u (le sous-groupe trivial) ou N “ G (le groupe au
complet).
(1) Soit p un nombre premier. Montrer que Z{pZ est un groupe simple.
(2) Soit n P Zą1 un nombre composé. Montrer que Z{nZ n’est pas un groupe simple.
(3) Montrer que A4 n’est pas un groupe simple.
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Remarque: Un résultat important de la théorie des groupes nous dit que An (le groupe
alterné de degré n) est simple si n ě 5. En fait, le premier groupe fini non abélien qui est
simple est A5 .
Exercice 6 Soit pG, ¨q un groupe fini d’ordre n. Soit H ď G où rG : Hs :“ r ą 1.
Montrer que si n ą r! alors G ne peut être un groupe simple.
Indice: Considérer l’action de G sur l’ensemble S :“ G{H qui est donnée par la
translation à gauche et utiliser la “correspondance action-représentation”.
Exercice 7 Soit pG, ¨q un groupe et H ď G un sous-groupe. Soit „ la relation suivante
sur G: Soit x, y P G, alors x „ y si xH “ yH. On a montré en classe que „ est une relation
d’équivalence sur G. Le graphe de la relation „ sera noté par Φ:
Φ :“ tpx, yq P G ˆ G : x „ yu.
L’ensemble G ˆ G admet une structure naturelle de groupe, i.e., via le produit cartésien
de G avec lui-même. On peut donc se poser la question suivante: Est-ce que Φ est un
sous-groupe de G ˆ G? Montrer que Φ est un sous-groupe de G ˆ G si et seulement si H
est un sous-groupe normal de G.
Exercice 8 Soit pG, ¨q un groupe et N ✂ G un sous groupe normal. On pose G :“ G{N
pour le groupe quotient de G par N. On posera aussi
(1) S :“ tH ď G : H est un sous-groupe de G et N ď Hu,
r est un sous-groupe de Gu.
r ďG:H
(2) Sr :“ tH
Soit π : G Ñ G la projection naturelle donnée par g ÞÑ πpgq “ gN. On pourra aussi utiliser
la notation raccourci πpgq “ g. Plus généralement, si T Ď G (juste un sous-ensemble) alors
πpT q “ T “ ttN : t P T u Ď G.
(1) On considère la “correspondance” suivante:
θ : S Ñ Sr
H ÞÑ πpHq “ H
Montrer que θ est un bijection d’ensembles.
r P Sr : H
r ✂ Gu. Commencer par
(2) On pose Snor :“ tH P S : H ✂ Gu et Srnor :“ tH
vérifier que θpSnor q Ď Srnor . Montrer que θ|Snorm : Snor Ñ Srnor est une bijection.
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