Fonction d`une variable réelle

Chapitre 6
Fonction réelle d’une variable réelle
6.1 Généralités et plan d’étude
◦ Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et
ceux de R telle que tout élément de I admette une et une seule image dans R
Définition. Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’une partie de R dans R.
f est définie en x0 ∈ R si f fait correspondre à x0 une et une seule valeur f (x0 )
réelle.
On note Df l’ensemble de définition de f et le graphe de f est l’ensemble
�f = {(x� f (x)) | x ∈ Df }.
On note :
f : Df ⊆ R −→
x
R
�−→ f (x)
Exemple. Df = R∗ pour f : R → R définie par l’équation f (x) = 1/x.
6.1.1 Parité et périodicité
– f est paire si ∀x ∈ Df f (x) = f (−x) ; alors le graphe de f est symétrique par
rapport à Oy.
– f impaire si ∀x ∈ Df f (x) = −f (−x) ; alors le graphe de f est symétrique par
rapport à O.
– f est de période T si T est le plus petit réel strictement positif tel que
f (x + T ) = f (x)� ∀x ∈ Df .
C ONCLUSION : Suivant les parité et périodicité éventuelles de f , on l’étudiera sur
Ef ⊆ Df .
45
6.1.2 Opérations sur les fonctions
Sur l’ensemble des fonctions de D ⊆ R à valeurs dans R, on définit la somme, le
produit, le quotient et la composée :
(f + g)(x) = f (x) + g(x)� (f g)(x) = f (x)g(x)�
�1�
1
(x) =
si f (x) �= 0
f
f (x)
et si f (D) ⊆ D� ⊆ R avec g application de D� dans R :
�
�
(g ◦ f )(x) = g f (x) .
√
Par exemple, si f (x) = x2 + 1 et g(x) = x, alors
√
(g ◦ f )(x) = x2 + 1 sur R et (f ◦ g)(x) = x + 1 sur R+ .
6.1.3 Fonction continue
– Vx� est un voisinage de x0 si Vx� contient un intervalle ouvert contenant x0 . Si
x ∈ Vx� on dit que x est voisin de x0 .
– � est la limite de f en x0 , si f (x) est aussi voisin que l’on veut de � dès que x est
suffisamment voisin de x0 , mais distinct de x0 . On note lim f (x) = �.
x→x�
Définition. On dit que f , définie sur un voisinage de x0 , est continue en x0 si
lim f (x) = f (x0 ), ce qui revient à permuter les symboles lim et f .
x→x�
x→x�
On admettra les deux résultats suivants :
◦ Si f et g sont continues en x0 , il en est de même ∀λ ∈ R pour λf , f + g, f g et f /g
si g(x0 ) �= 0. ◦ Si f est continue en x0 et si g est continue en f (x0 ), alors g ◦ f est
continue en x0 .
– Si f est continue ∀x ∈ D, on dit que f est continue sur D.
Exemple. Les fonctions élémentaires x �→ xn , sin x, cos x et ex sont continues sur
R et x �→ ln x sur R∗+
6.1.4 Dérivée en x0 d’une fonction f définie sur un voisinage de x0
Définition. On dit que f est dérivable en x0 si l’expression
une limite lorsque x tend vers x0 ; on pose alors
f (x) − f (x0 )
admet
x − x0
f (x) − f (x0 )
.
x→x�
x − x0
f � (x0 ) = lim
Si f est dérivable ∀x ∈]a� b[, on définit la fonction dérivée
f � : x �→ f � (x) de ]a� b[ dans R.
On définit aussi la différentielle df (x0 ) de f en x0 par df (x0 ) = f � (x0 ) dx d’où la
df
notation f � =
.
dx
46
6.1.5 Calcul des dérivées
Soient u , v et f telle que f � (x) �= 0 trois fonctions dérivables :
(u + v)� = u� + v �
u� v − uv �
v
v2
� −1 ��
1
f
(x) = � −1
f (f (x))
� u ��
(uv)� = u� v + uv �
�
�
(u ◦ v)� (x) = u� v(x) v � (x)
=
��
�
Exemples. 1o sin(4x2 ) = 8x cos(4x2 )
�√
��
2x + 1
x2 + x + 1 = √
2o
2 x2 + x + 1
6.1.6 Application géométrique de la valeur de la dérivée
Si la fonction f est dérivable en x0 , le nombre f � (x0 ) représente la pente de la
tangente au graphe de f en x0 , tangente dont l’équation peut s’écrire
y = f � (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
puisque la pente ou coefficient de variation d’une droite est constant.
Exemple. Soit f (x) = x3 − 2x + 4.
Alors, au point M0 (1� 3) on a f � (1) = 1 et
l’équation de la tangente en M0 au graphe
�f de f est y = x + 2.
Remarquons qu’en développant f suivant
les puissances de x − 1 on obtient le
DL2 v(1) de f :
2
y
y = x3 − 2x + 4
3
y = x + 2
O
1
x
2
f (x) = 3 + (x − 1) + 3(x − 1) + o((x − 1) ).
Les premiers termes linéaires 3+(x−1) donnent l’équation de la tangente y = x+2
et le suivant 3(x − 1)2 étant positif, la courbe est au dessus de la tangente. Plus
généralement :
Soit k ≥ 0 l’ordre du premier coefficient non nul dans le DLk v(x0 ) de
�
�
f (x) − f (x0 ) + f � (x0 )(x − x0 ) = ak xk + o(xk ).
47
– Si k est pair, la courbe reste d’un même côté de
sa tangente au voisinage de M0 . On a un point
ordinaire.
– Si k est impair, la courbe traverse sa tangente
en M0 . On a un point d’inflexion.
– Si f n’est pas dérivable en x0 , on peut rencontrer :
– un point anguleux : la courbe a en M0 deux
demi-tangentes.
– un point d’inflexion à tangente parallèle à
Oy.
– un point de rebroussement de 1ère espèce à
tangente parallèle à Oy.
M0
M0
M0
M0
M0
M0
M0
6.1.7 Application de la dérivée au sens de variation de f
Soit f une fonction réelle dérivable sur l’intervalle ouvert I de R. Alors f est
croissante sur I �resp. décroissante) si et seulement si f � (x) ≥ 0 �resp. f � (x) ≤ 0)
pour tout x ∈ I. Cette propriété, qui résulte du théorème des accroisssements finis,
permet de construire le tableau de variations de f .
6.1.8 Etude des branches infinies
La courbe �f d’équation y = f (x) présente une branche infinie si x → ∞ ou si
f (x) → ∞ quand x → x0
y
– Si lim f (x) = ∞, alors la courbe �f présente
x→x�
une asymptote d’équation x = x0 .
x
O
x0
y
– Si lim f (x) = y0 , alors la courbe �f présente
y0
x→∞
une asymptote d’équation y = y0 .
x
O
– Si lim f (x) = ∞, on examine s’il existe une
x→∞
fonction élémentaire g telle que
lim (f (x) − g(x)) = 0. On dit que le graphe de
y
1
y = x2 + −
x
x→∞
g est courbe asymptote à f .
1
Exemple. Si f (x) = x2 + , alors, le graphe de
x
g définie par g(x) = x2 est courbe asymptote.
Le graphe de f présente une branche parabolique
dans la direction de Oy +.
48
2
1
y = x2
x
–1
0
1
2
Cas particulier :
Un développement asymptotique de f de la
forme
ak
f (x) = ax+b+ k +o(1/xk ) permet de déterminer
x
la droite asymptote d’équation y = ax + b au
ak
graphe de f , le terme k donnant la position de
x
�f par rapport à l’asymptote.
y
O
ak > 0
k:impair
En l’absence de développement asymptotique, on calcule si elle existe, lim
x→∞
f (x)
x
puis si cette limite a est finie lim (f (x) − ax) ; dans le cas où cette dernière b existe
x→∞
aussi, l’expression lim (f (x) − ax − b) donne la position du graphe par rapport à
x→∞
l’asymptote d’équation y = ax + b. On a donc à calculer au moins trois limites.
6.1.9 Plan d’étude d’une fonction x �−→ f (x)
Pour étudier une fonction et tracer son graphe �f , on procède de la façon suivante :
1o On détermine l’ensemble de définition et de continuité Df de f , puis on met
en évidence la parité, l’imparité et la périodicité éventuelles de f ; on en déduit
l’intervalle d’étude Ef .
2o On étudie f aux bornes de Ef et on détermine les branches infinies et asymptotes éventuelles.
3o On calcule la dérivée de f et l’on étudie son signe.
4o On établit le tableau de variations de f que l’on complète en indiquant les
valeurs particulières prises par f et les tangentes aux points particuliers.
o
5 On trace enfin le graphe correspondant à Ef que l’on complète éventuellement par les symétries ou les translations déterminées au 1o .
6.2 Fonctions logarithmes et exponentielles
On appelle fonction logarithme népérien �John Napier 1550-1617) la fonction définie
1
sur R∗+ par l’intégrale de x �→ et nulle pour x = 1 :
x
� x
dt
de R∗+ sur R
ln : x �→ ln x =
t
1
Propriétés du logarithme.
ln est continue et indéfiniment dérivable sur R∗+ .
Pour tous x� y ∈ R∗+
et r ∈ Q on a :
ln(xy) = ln x + ln y ; ln( xy ) = ln x − ln y ; ln(xr ) = r ln x
49
x
du logarithme. On obtient le DLn v(0) par intégration
1
du DL(n − 1) v(0) de
:
(1 + x)
D ÉVELOPPEMENT
LIMIT É
ln(1 + x) = x −
xn
x2
+ ... + (−1)n
+ o(xn )
2
n
Dérivons le logarithme : (ln x)� = x1 qui est positif donc ln est strictement croissant ; comme c’est une fonction continue, c’est une bijection de R∗+ sur R. D’où
la
Définition. On appelle exponentielle et on note exp(x) ou ex sa fonction réciproque
de R dans R∗+ et l’on a :
eln x = x
∀x > 0 et
ln(ex ) = x
∀x ∈ R
Propriétés de l’exponentielle :
ex
– Pour tous x� y ∈ R ex+y = ex ey ; (ex )y = exy ; y = ex−y
e
– La fonction x �−→ ex est continue et dérivable indéfiniment sur R puisque
réciproque d’une fonction continue et indéfiniment dérivable. En particulier :
1
si l’on pose y = ex alors (ex )� =
= y = ex
(ln y)�
D ÉVELOPPEMENT LIMIT É de l’exponentielle. Compte tenu de
(ex )(n) = ex et de la formule de Maclaurin on obtient le DLn v(0) :
x2
xn
+ ... +
+ o(xn )
2�
n�
En particulier pour x = 1 :
ex = 1 + x +
e = 1+1+
1
1
+ ... + + o(xn ) � 2.71828...
2�
n�
e vérifie la relation ln e = ln e1 = 1. On l’appelle base du logarithme népérien et la
fonction x �−→ ex s’appelle l’ exponentielle de base e.
Changement de base Soit a > 0
y
2
a� b > 0 a� b �= 1 x� y > 0 :
–4
–3
–2
–1 0
–1
–2
–3
–4
50
nx
y= l
x
y = log 10
1
y=
loga est définie et continue, indéfiniment
dérivable et pour tous
y= 10 x
x
On appelle logarithme de base a la fonction notée
ln x
loga définie sur R∗+ par loga (x) =
ln a
Propriétés. Elles se déduisent de celles du logarithme népérien :
y= e x
3
1
2
3
x
loga (1) = 0 ; logb x = logb a loga x ; loga (xy) = loga x + loga y
loga (xy ) = y loga x
en particulier :
Exponentielle de base a. On appelle exponentielle de base a la fonction notée
x �−→ ax réciproque de la fonction logarithme de base a.
Propriétés. Elles se déduisent de celles du
logarithme de base a par application des
résultats sur les fonctions réciproques :
– Les graphes sont symétriques de ceux
des loga par rapport à la première bissectrice.
– Pour tout a > 0 on a :
loga (ax ) = x ∀x ∈ R et
aloga (x) = x ∀x ∈ R∗+
– En particulier :
ax = ex ln a ∀a > 0
– Plus généralement :
u(x)v(x) = ev(x) ln(u(x)) pour u(x) > 0
y
a > 1
a < 1
a = 1
1
O
1
x
6.2.1 Compléments sur la croissance comparée de xn et de ln ou ex
Pour lever des formes indéterminées
suivants :
∞
∞
ou 0 · ∞ on pourra utiliser les résultats
Pour tout entier n :
lim xn e−x = 0
x→+∞
lim xn ln x = 0
x→+0
ex
= +∞
x→+∞ xn
ln x
lim
=0
x→+∞ xn
lim
(n > 0)
On mémorise ces résultats en disant que ”la fonction exponentielle croı̂t plus vite
que la fonction puissance” et que ”la fonction puissance croı̂t plus vite que la
fonction logarithme” qu’il soit népérien ou décimal.
Exercices
6.0 Testons nos connaissances :
1.
2.
Si pour x ∈ Df f � (x) = 0, le graphe de f admet un extremum. �Vrai-Faux)
En un minimum, la dérivée est nulle.
�Vrai-Faux)
3.
Toute fonction exponentielle est croissante.
�Vrai-Faux)
4.
Si ∀x ∈ Df f (x) ≤ 0 alors f est décroissante.
�Vrai-Faux)
5.
6.
�
∀a� b ∈ R ea+b = ea + eb
2
ln(a ) = 2lna
∀a ∈ R
�Vrai-Faux)
�Vrai-Faux)
51
1
x
∀x ∈ R∗+
7.
(log10 x)� =
8.
9.
ln(ex ) = x
∀x ∈ R
4
�Vrai-Faux)
lim x lnx = 0
10.
Puisque lim (1 + x) = 1 alors
lim (1 + x)1/x = 1
�Vrai-Faux)
11.
Si f est paire, le graphe de f est symétrique / y �oy
�Vrai-Faux)
�Vrai-Faux)
x �
(2 ) = 2
x→+0
x→0
�Vrai-Faux)
�Vrai-Faux)
x
x→0
6.1 Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
√
a) cos(x3 )
b) (x2 + 1)10
c) sin
d)(cos x)(2000)
�
g) (1 − cos3 x)3
e) exe
f) sin(
h)
x
(x + 1)3 (x3 − 1)1/3
(x2 − 1)2
3x + 2
x−2
)
x+3
utiliser (ln |u(x)|)� =
6.2 Etudier les fonctions suivantes :
4x
x �−→ f1 (x) = 2
� Serpentine de Newton.)
x +1
Calculer les équations des tangentes en x = 0 et x = 1 au graphe de f1 .
x2 + 3x − 1
x−1
1 + tan x
x �−→ f3 (x) = ln
seulement au voisinage de 0
1 − tan x
√
x �−→ f4 (x) = 3 x3 − 1
x �−→ f2 (x) =
6.3 Etudier et tracer le graphe de la fonction :
√
x �−→ f (x) = 2 Arc tan x
6.4 Etudier les fonctions de Gauss :
−x2
1
a) x �−→ f (x) = √ e 2
2π
1
b ) x �−→ f (x) = √
3 2π
−(x − 7)2
18
e
6.5 Etudier et tracer le graphe de la fonction ” logistique ” simplifiée :
x �−→ f (x) =
1
1 + e−x
Montrer que le point M�0, 21 ) est centre de symétrie et point d’inflexion.
6.6 Simplifier les expressions :
a) log25 5
b) log10 (0.1)
√
d)log√2 2 9
e) aloga (ln a) (a > 0)
52
c) log10 (100/67)
u�
u
6.7 Résoudre dans R les équations :
�a) ln x + ln(2x − 1) − ln(14 − x2 ) = 0
�b) e2x + 2ex − 3 = 0
√
x
�c)
x
√
= ( x)x
6.8 Calculer les limites suivantes :
√
a) lim e
√
x
x→+∞
ln x
d) lim √
x→+∞
x
b) lim
x→+∞
e
x
x
x
e
e) lim
x→+∞ ln x
c) lim xe−x
2
x→+∞
x−1
x−1
f) lim
e x2
x→0 x2
�
�x
1
6.9 a) Calculer lim 1 +
.
x→+∞
x
b) Etudier la fonction x �−→ xx et tracer son graphe.
1 √
1 + x.
cos x
Effectuer le développement limité à l’ordre deux au voisinage de zéro de la fonc1
tion
x �−→
puis celui de f .
cos x
En déduire l’équation de la tangente au graphe �f de f en x = 0, ainsi que la
position du graphe par rapport à cette tangente. Illustrer par un dessin explicatif.
6.10 Extrait SVL1. Soit la fonction de la variable réelle f : x �−→ f (x) =
6.11 Extrait SVL1. Calculer le D.L. à l’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction :
X �−→ sin X − X cos X.
Déterminer une équation de l’asymptote à la courbe représentative de la fonction
1
1
réelle de la variable réelle x �−→ f (x) = x sin − cos .
x
x
◦ • ◦ • ◦ • ◦
53