Fonction d`une variable réelle
Chapitre 6
Fonction r´eelle d’une variable r´eelle
6.1 G´en´eralit ´es et plan d’´etude
Une application de dans Rest une correspondance entre les ´el´ements de et
ceux de Rtelle que tout ´el´ement de admette une et une seule image dans R
D´efinition. Une fonction r´eelle d’une variable r´eelle est une application d’une par-
tie de Rdans R.
est d´efinie en 0Rsi fait correspondre `a 0une et une seule valeur (0)
r´eelle.
On note fl’ensemble de d´efinition de et le graphe de est l’ensemble
f=( ()) f.
On note :
:fR R
()
Exemple. f=R∗pour :RRd´efinie par l’´equation () = 1.
6.1.1 Parit´e et p ´eriodicit´e
–est paire si f() = (); alors le graphe de est sym´etrique par
rapport `a .
–impaire si f() = (); alors le graphe de est sym´etrique par
rapport `a .
–est de p´eriode si est le plus petit r´eel strictement positif tel que
(+)=()f.
CONCLUSION : Suivant les parit´e et p´eriodicit´e ´eventuelles de , on l’´etudiera sur
ff.
45
6.1.2 Op´erations sur les fonctions
Sur l’ensemble des fonctions de R`a valeurs dans R, on d´efinit la somme, le
produit, le quotient et la compos´ee :
(+)()=() + ()()() = ()()
1
() = 1
()si ()= 0
et si ()�Ravec application de �dans R:
()() = ()
Par exemple, si ()=2+ 1 et () = , alors
()() = 2+ 1 sur Ret ()() = + 1 sur R+.
6.1.3 Fonction continue
–x�est un voisinage de 0si x�contient un intervalle ouvert contenant 0. Si
x�on dit que est voisin de 0.
–est la limite de en 0, si ()est aussi voisin que l’on veut de d`es que est
suffisamment voisin de 0, mais distinct de 0. On note lim
x→x�
() = .
D´efinition. On dit que , d´efinie sur un voisinage de 0, est continue en 0si
lim
x→x�
() = (0), ce qui revient `a permuter les symboles lim
x→x�
et .
On admettra les deux r´esultats suivants :
Si et sont continues en 0, il en est de mˆeme Rpour ,+, et
si (0)= 0.Si est continue en 0et si est continue en (0), alors est
continue en 0.
– Si est continue , on dit que est continue sur .
Exemple. Les fonctions ´el´ementaires n,sin ,cos et xsont continues sur
Ret ln sur R∗
+
6.1.4 D´eriv´ee en 0d’une fonction d ´efinie sur un voisinage de 0
D´efinition. On dit que est d´erivable en 0si l’expression ()(0)
0
admet
une limite lorsque tend vers 0; on pose alors
�(0) = lim
x→x�
()(0)
0
Si est d´erivable ] [, on d´efinit la fonction d´eriv´ee
�: �()de ] [dans R.
On d´efinit aussi la diff´erentielle (0)de en 0par (0) = �(0) d’o `u la
notation �=
.
46
6.1.5 Calcul des d´eriv ´ees
Soient ,et telle que �()= 0 trois fonctions d´erivables :
(+)�=�+�()�=�+�
�=��
2
()�() = �()�()−1�() = 1
�(−1())
Exemples. 1osin(42)�= 8cos(42)
2o2++ 1�=2+ 1
22++ 1
6.1.6 Application g´eom´etrique de la valeur de la d´eriv´ee
Si la fonction est d´erivable en 0, le nombre �(0)repr´esente la pente de la
tangente au graphe de en 0, tangente dont l’´equation peut s’´ecrire
=�(0)(0) + (0)
puisque la pente ou coefficient de variation d’une droite est constant.
Exemple. Soit () = 32+ 4.
Alors, au point 0(13) on a �(1) = 1 et
l’´equation de la tangente en 0au graphe
fde est =+ 2.
Remarquons qu’en d´eveloppant suivant
les puissances de 1on obtient le
2(1) de :
() = 3 + (1) + 3(1)2+((1)2).
3
O1x
y = x3 − 2x + 4
y = x + 2
y
Les premiers termes lin´eaires 3+(1) donnent l’´equation de la tangente =+2
et le suivant 3(1)2´etant positif, la courbe est au dessus de la tangente. Plus
g´en´eralement :
Soit 0l’ordre du premier coefficient non nul dans le (0)de
()(0) + �(0)(0)=kk+(k)
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– Si est pair, la courbe reste d’un mˆeme cˆot´e de
sa tangente au voisinage de 0. On a un point
ordinaire.
– Si est impair, la courbe traverse sa tangente
en 0. On a un point d’inflexion.
– Si n’est pas d´erivable en 0, on peut rencon-
trer :
– un point anguleux : la courbe a en 0deux
demi-tangentes.
– un point d’inflexion `a tangente parall`ele `a
.
– un point de rebroussement de 1`ere esp`ece `a
tangente parall`ele `a .
M0
M0
M0
M0
M0
M0
M0
6.1.7 Application de la d´eriv´ee au sens de variation de
Soit une fonction r´eelle d´erivable sur l’intervalle ouvert de R. Alors est
croissante sur �resp. d´ecroissante) si et seulement si �()0�resp. �()0)
pour tout . Cette propri´et´e, qui r´esulte du th´eor`eme des accroisssements finis,
permet de construire le tableau de variations de .
6.1.8 Etude des branches infinies
La courbe fd’´equation =()pr´esente une branche infinie si ou si
() quand 0
– Si lim
x→x�
()=, alors la courbe fpr´esente
une asymptote d’´equation =0.
x0
O
y
x
– Si lim
x→∞ () = 0, alors la courbe fpr´esente
une asymptote d’´equation =0.
O
y0
x
y
– Si lim
x→∞ () = , on examine s’il existe une
fonction ´el´ementaire telle que
lim
x→∞(()()) = 0. On dit que le graphe de
est courbe asymptote `a .
Exemple. Si ()=2+1
, alors, le graphe de
d´efinie par ()=2est courbe asymptote.
Le graphe de pr´esente une branche parabolique
dans la direction de +
y = x2
y = x2 + 1
−
x
0
1
2
y
–1 1 2
x
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Cas particulier :
Un d´eveloppement asymptotique de de la
forme
() = ++k
k+(1k)permet de d´eterminer
la droite asymptote d’´equation = +au
graphe de , le terme k
kdonnant la position de
fpar rapport `a l’asymptote.
ak > 0
k:impair
O
y
x
En l’absence de d´eveloppement asymptotique, on calcule si elle existe, lim
x→∞
f(x)
x
puis si cette limite est finie lim
x→∞(()); dans le cas o`u cette derni`ere existe
aussi, l’expression lim
x→∞(() )donne la position du graphe par rapport `a
l’asymptote d’´equation = +. On a donc `a calculer au moins trois limites.
6.1.9 Plan d’ ´etude d’une fonction ()
Pour ´etudier une fonction et tracer son graphe f, on proc`ede de la fac¸on sui-
vante :
1oOn d´etermine l’ensemble de d´efinition et de continuit´e fde , puis on met
en ´evidence la parit´e, l’imparit´e et la p´eriodicit´e ´eventuelles de ; on en d´eduit
l’intervalle d’´etude f.
2oOn ´etudie aux bornes de fet on d´etermine les branches infinies et asymp-
totes ´eventuelles.
3oOn calcule la d´eriv´ee de et l’on ´etudie son signe.
4oOn ´etablit le tableau de variations de que l’on compl`ete en indiquant les
valeurs particuli`eres prises par et les tangentes aux points particuliers.
5oOn trace enfin le graphe correspondant `a fque l’on compl`ete ´eventuelle-
ment par les sym´etries ou les translations d´etermin´ees au 1o.
6.2 Fonctions logarithmes et exponentielles
On appelle fonction logarithme n´ep´erien �John Napier 1550-1617) la fonction d´efinie
sur R∗
+par l’int´egrale de 1
et nulle pour = 1 :
ln : ln =
x
1
de R∗
+sur R
Propri´et´es du logarithme.
ln est continue et ind´efiniment d´erivable sur R∗
+.
Pour tous R∗
+et Qon a :
ln() = ln + ln ; ln(x
y) = ln ln ; ln(r) = ln
49
6
7
8
9
1
/
9
100%
