Matrices - Michel Quercia

Matrices
Calculs
Exercice 1. Équation AX =B
Soit A= 123
234
345!.
1) Montrer que l’équation en X:AX =B,X, B ∈ M3,n(K), a des solutions si et seulement si les
colonnes de Bsont des progressions arithmétiques (traiter d’abord le cas n= 1).
2) Résoudre AX = 3 3
4 5
5 7 !.
Exercice 2. Équation XA =B
Soient A= 1 2 −1
2−1−1
−5 0 3 !et B= −2 1 1
8 1 −5
4 3 −3!. Existe-t-il une matrice Xtelle que XA =B?
Exercice 3. Équation aX + (trX)A=B
Soit α∈K, et A, B ∈ Mn(K). Étudier l’équation d’inconnue X∈ Mn(K) : αX + (tr X)A=B.
Exercice 4. Calcul de Anpar la formule du binôme
Soit A= 100
011
101!. En écrivant A=I+J, calculer An,n∈Z.
Exercice 5. Calcul de Anpar polynôme annulateur
Soit A= 123
231
312!.
1) Vérifier que (A−6I)(A2−3I) = 0.
2) Soit n∈Net Pnle polynôme de degré inférieur ou égal à 2 tel que P(6) = 6n,P(√3) = √3n, et
P(−√3) = (−√3)n. Montrer que An=Pn(A).
3) Même question pour n∈Z.
Exercice 6. Calcul de Ak
Calculer Akpour k∈N:
1) A=
1 (2)
...
(2) 1 
.2) A=
1234
0123
0012
0001
.3) A= x2xy xz
xy y2yz
xz yz z2!.
Exercice 7. Inversion de matrices
Inverser les matrices suivantes :
1) 
0 (1)
...
(1) 0 
2) 
a(b)
...
(b)a
3) 
1 1 (0)
......
...1
(0) 1
4) 1¯α¯α2
α1¯α
α2α1!,α∈C
5) 
(0) an
...
a1(0) 
6) 
1 + 1
λ1(1)
...
(1) 1 + 1
λn
Exercice 8. Effet des arrondis
Soient A= 1 1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5!et B= 1 0.5 0.33
0.5 0.33 0.25
0.33 0.25 0.20 !. Calculer A−1et B−1.
matrices.tex – jeudi 4 août 2016

Similitude
Exercice 9. Changement de base
Soit fl’application linéaire de R4dans R3dont la matrice relativement aux bases canoniques, (I, J, K, L)
et (i, j, k) est 4 5 −7 7
2 1 −1 3
1−1 2 1 !.
On définit deux nouvelles bases : B= (I, J, 4I+J−3L, −7I+K+ 5L) et B0= (4i+ 2j+k, 5i+j−k, k).
Quelle est la matrice de frelativement à Bet B0?
Exercice 10. Matrices semblables
Soient A=
1100
0110
0011
0001
et B=
1234
0123
0012
0001
. Montrer que si car(K)6= 2 alors Aet Bsont semblables.
On cherchera Pinversible telle que P B =AP .
Exercice 11. Matrices semblables
Montrer que M= 2−1/2−1/2
0 1/2 1/2
1−1/2 1/2!et N= 110
011
001!sont semblables.
Exercice 12. Matrices non semblables
Montrer que A= 123
012
001!et B= 312
201
100!ne sont pas semblables.
Exercice 13. Matrices non semblables
Soient A= 29 38 −18
−11 −14 7
20 27 −12 !et B= 7−8 4
3−3 2
−3 4 −1!.
Montrer que Aet Bont même rang, même déterminant, même trace mais ne sont pas semblables (calculer
(A−I)2et (B−I)2).
Exercice 14. Matrices semblables ?
Les matrices 
0110
0010
0000
0000
et 
0000
0011
0001
0000
sont-elles semblables ?
Exercice 15. Matrices semblables ?
Soit u∈ L(R3) ayant pour matrice dans la base canonique M=1
2 5 1 ?
2 1 ?
100!et M0= 110
011
001!dans
une autre base. Donner la matrice de passage.
Exercice 16. Matrices triangulaires nilpotentes
1) Soit Aune matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que Aest nilpotente.
2) Soit A∈ Mn(K) une matrice nilpotente d’indice net ϕl’endomorphisme de Knassocié.
On note Ei= Ker ϕi, et eiun vecteur quelconque choisi dans Ei\Ei−1(e1∈E1\ {0}).
a) Justifier l’existence de ei.
b) Montrer que la famille (ei) est une base de Kn.
c) En déduire que Aest semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle.
Parties remarquables
Exercice 17. Matrices en damier
Soit M= (aij )∈ Mn(K). On dit que Mest en damier si aij = 0 pour j−iimpair. On note Dl’ensemble
des matrices n×nen damier. Montrer que Dest une sous-algèbre de Mn(K). Quelle est sa dimension ?
matrices.tex – page 2

Exercice 18. Matrices stochastiques
Soit D={A= (aij )∈ Mn(R) tq ∀i, j,aij >0 et ∀i,Pn
j=1 aij = 1}.
1) Montrer que Dest stable par multiplication.
2) Déterminer les matrices A∈ D inversibles telles que A−1∈ D.
Exercice 19. Matrices centrosymétriques
Soit A= (aij )∈ Mn(K). On dit que Aest centro-symétrique si pour tous i, j :an+1−i,n+1−j=aij .
Montrer que si Aet Bsont centro-symétriques, il en est de même de AB. Montrer que si Aest centro-
symétrique et inversible alors A−1est aussi centro-symétrique.
Exercice 20. Algèbre de matrices
On note U= 1··· 1
.
.
..
.
.
1··· 1!∈ Mn(R) et A={aU +bI tq a, b ∈R}pour n>2.
1) Montrer que Aest une sous algèbre commutative de Mn(R).
2) Soit M=aU +bI ∈ A. Montrer que Mpossède un inverse dans Asi et seulement si b(b+na)6= 0,
et le cas échéant, donner M−1.
3) Montrer que si b(b+na) = 0, alors Mn’est pas inversible dans Mn(R).
4) Trouver les matrices M∈ A vérifiant : Mn=I.
Exercice 21. Centre de GLn(K)
On suppose car(K)6= 2 et on note (Eij ) la base canonique de Mn(K).
1) Montrer que Fij =I+Eij est inversible.
2) En déduire que vect(GLn(K)) = Mn(K).
3) Quel est le centre de GLn(K) ?
Exercice 22. Centre de GLn(K)
Soit f∈ L(E) ayant même matrice dans toutes les bases de E. Montrer que fest une homothétie.
Exercice 23. Centre des matrices triangulaires unipotentes
On note G={A= (aij )∈ Mn(K) tq aij = 0 si i > j et aii = 1}.
1) Montrer que Gest un sous-groupe de GLn(K).
2) En utilisant la base canonique de Mn(K), déterminer le centre de Get montrer que c’est un groupe
commutatif isomorphe à (K,+).
Exercice 24. Commutant d’une matrice diagonale
Soit A∈ Mn(K) et CA={M∈ Mn(K) tq AM =MA}(commutant de A).
1) Montrer que CAest une sous-algèbre de Mn(K).
2) Soit A= diag(λ1, λ2, . . . , λn) une matrice diagonale dont tous les λisont distincts.
a) Chercher CA.
b) On suppose card(K)>n. Soit ϕ:Mn(K)−→ Mn(K)
M7−→ MA −AM. Montrer que Im ϕest l’ensemble
des matrices à diagonale nulle.
Exercice 25. Matrices de trace nulle
Soit Kun corps de caractéristique nulle et M∈ Mn(K) non scalaire telle que tr M= 0.
1) Montrer qu’il existe une matrice colonne X1telle que MX1ne soit pas colinéaire à X1.
2) En déduire que Mest semblable à une matrice N=0···
.
.
.M1où M1∈ Mn−1(K) et tr M1= 0.
3) Montrer que Mest semblable à une matrice à diagonale nulle.
4) En utilisant l’exercice 24, montrer qu’il existe A, B ∈ Mn(K) telles que M=AB −BA.
Exercice 26. Tout hyperplan de Mn(K)contient une matrice inversible
Soit Hun hyperplan de Mn(K) avec n>2.
1) Montrer qu’il existe A∈ Mn(K) telle que H={Mtq tr(AM) = 0}.
2) En déduire que Hcontient une matrice inversible.
matrices.tex – page 3

Exercice 27. Matrices magiques
Une matrice carrée Mest dite magique si les sommes des coefficients de Mpar ligne et par colonne sont
constantes. On note s(M) leur valeur commune.
Soit U= 1··· 1
.
.
..
.
.
1··· 1!et M={matrices n×nmagiques}.
1) Montrer que Mest une sous-algèbre de Mn(K) et s:M → Kest un morphisme d’algèbre (calculer
MU et UM).
2) Si Mest magique inversible, montrer que M−1est aussi magique.
3) Montrer que si car(K)6= 2, Mest la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du
sev des matrices magiques antisymétriques.
4) Pour M∈ Mn(K), on note ϕMl’endomorphisme de Kncanoniquement associé à M.
Soit H={(x1, . . . , xn)∈Kntq x1+. . . +xn= 0}et K={(x, . . . , x)∈Kn}.
a) Montrer que : M∈ M ⇔ H et Ksont stables par ϕM.
b) En déduire dim(M).
Exercice 28. Quaternions
Montrer que C=nM=a b
−b a ∈ M2(R)oest un corps isomorphe à C.
Montrer que H=nM=a b
−¯ b¯a∈ M2(C)oest un anneau non commutatif où tout élément non nul est
inversible.
Exercice 29. Groupes de matrices
Soit G ⊂ Mn(K) tel que pour la multiplication, Gsoit un groupe. On note Jl’élément neutre et pour
M∈ G,ϕMl’endomorphisme de Kncanoniquement associé à M.
1) Montrer que ϕJest une projection.
2) Montrer que : ∀M∈ G,ϕM|Ker ϕJ= 0 et ϕM|Im ϕJest un isomorphisme de Im ϕJ.
3) On note k= rg(J). Montrer que Gest isomorphe à un sous-groupe de GLk(K).
Exercice 30. Idéaux de Mn(K)
Une partie I ⊂ Mn(K) est appelée idéal à droite de Mn(K) si c’est un sous-groupe additif vérifiant :
∀A∈ I,∀B∈ Mn(K), AB ∈ I.
Pour A∈ Mn(K), on note HAle sev de Mn,1(K) engendré par les colonnes de A, et IAl’idéal à droite
engendré par A:IA={AM tq M∈ Mn(K)}.
1) Soient A, M ∈ Mn(K). Montrer que : M∈ IA⇔ HM⊂ HA.
2) Soient A, B ∈ Mn(K). Montrer qu’il existe C∈ Mn(K) telle que HA+HB=HC. Simplifier alors
IA+IB.
3) Soit Iun idéal à droite de Mn(K). Montrer que Iest un sev de Mn(K), puis qu’il existe A∈ Mn(K)
telle que I=IA.
4) Que peut-on dire des idéaux à gauche de Mn(K) ?
Exercice 31. Matrices antisymétriques
Soit E={matrices de Mn(R) antisymétriques}et f:E−→ E
M7−→ tAM +MA où A∈ Mn(R).
1) Montrer que fest un endomorphisme.
2) Quelle est la trace de f?
Exercice 32. Matrice compagne
Soit A=
a11 0 ··· 0
a20 1 ....
.
.
.
.
..
.
.......0
.
.
..
.
....1
an0··· ··· 0
∈ Mn(K) et C(A) son commutant.
Montrer que pour M, N ∈ C(A)ona:M=N⇔Met Nont la même dernière colonne. En déduire que
C(A) = Kn−1[A].
matrices.tex – page 4

Opérations
Exercice 33. Homographies
Pour M=a b
c d ∈GL2(R), on note fM:
R∪ {∞} −→ R∪ {∞}
x7−→ ax +b
cx +d.
Montrer que M7→ fMest un morphisme de groupes de GL2(R) dans SR∪{∞}. Quel est son noyau ?
Exercice 34. Opérations par blocs
1) Soient A1∈ Mn,p1(K), A2∈ Mn,p2(K), B1∈ Mp1,q(K), B2∈ Mp2,q(K).
On pose A= ( A1A2)∈ Mn,p1+p2(K) et B=B1
B2∈ Mp1+p2,q(K).
Montrer que AB =A1B1+A2B2.
2) Soit M=A B
0Coù A, B, 0, C sont des matrices de tailles p×p,p×q,q×p,q×q(matrice triangulaire
par blocs). Montrer que Mest inversible si et seulement si Aet Cle sont. Le cas échéant, donner
M−1sous la même forme.
3) En déduire une démonstration de la propriété : L’inverse d’une matrice triangulaire est triangulaire.
Exercice 35. Décomposition d’une matrice en matrices inversibles
Soit Kayant au moins trois éléments et A∈ Mn(K). Montrer qu’il existe U, V ∈GLn(K) telles que
A=U+V. Donner un contre-exemple si card(K) = 2.
Exercice 36. Mines 2014
Existe-t-il une base de Mn(C) constituée de matrices inversibles ?
Exercice 37. Conjugaison
1) Soit P∈GLn(K). Montrer que l’application ϕP:Mn(K)−→ Mn(K)
M7−→ P−1M P est un isomorphisme
d’algèbre.
2) Soit ϕ:A= (aij )7→ A0= (an+1−i,n+1−j).
a) Montrer que ϕest un isomorphisme d’algèbre de Mn(K).
b) Trouver une matrice P∈GLn(K) telle que ϕ=ϕP.
Exercice 38. Valeurs propres de AB et BA
Soient A∈ Mn,p(K) et B∈ Mp,n(K). On note C=In−AB et D=Ip−BA (In, Ip= matrices unité
d’ordres net p).
1) Montrer que si Cest inversible, alors Dl’est aussi (résoudre DX = 0).
2) Le cas échéant, exprimer D−1en fonction de A, B, C−1.
3) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres non nulles. Examiner le cas de la valeur
propre 0 si n=p.
Exercice 39. Mantisymétrique ⇒I+Mest inversible
Soit M∈ Mn(R) antisymétrique.
1) Montrer que I+Mest inversible (si MX = 0, calculer t(MX)(M X)).
2) Soit A= (I−M)(I+M)−1. Montrer que tA=A−1.
Exercice 40. Équation X2+X=A
Soit A=1 1
1 1 . On veut résoudre l’équation dans M2(K) : X2+X=A.
Soit Xune solution et ϕA,ϕXles endomorphismes de K2de matrices Aet Xdans la base canonique.
1) Montrer que Xou X+In’est pas inversible.
2) Si Xn’est pas inversible, montrer que Xest proportionnelle à A(on montrera que Ker ϕX= Ker ϕA
et Im ϕX= Im ϕA).
3) Résoudre l’équation.
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