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Synthèse de cours PanaMaths (CPGE)
Æ Sous-espaces stables
Dans ce document, K désigne un corps commutatif.
Généralités sur les sous-espaces stables
Définition
Soit E un espace vectoriel sur le corps K .
Soit F un sous-espace vectoriel de E et f un endomorphisme de E ( f ∈ L ( E ) ).
On dit que F est « stable par f » si on a : f ( F ) ⊂ F .
La restriction de f à F est alors un endomorphisme de F appelé « endomorphisme induit par
f sur F».
Théorème
Soit E un espace vectoriel sur le corps K .
Soit f et g deux endomorphismes de E.
Si f et g commutent alors le noyau et l’image de f (resp. g) sont stables par g (resp . f).
Remarque : tout endomorphisme f de E commutant avec lui-même, on déduit de ce qui
précède que son image et son noyau sont stables.
Cas d’un espace vectoriel de dimension finie
Une première caractérisation de la stabilité
Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie et soit f ∈ L ( E ) .
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p et soit
BF = ( e1 , e2 , ..., e p ) une base de
F.
F est stable par f ⇔ ∀i ∈ {1, 2, ..., p} , f ( ei ) ∈ F
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Sous-espaces stables
Notion de base adaptée
Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie notée d.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p et soit BF = ( e1 , e2 , ..., e p ) une base de
F.
Soit alors
B = ( e1 , e2 , ..., e p , e p +1 , ..., ed ) une base de E.
Une telle base est appelée « base adaptée » à F.
Une deuxième caractérisation de la stabilité
Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie notée d et soit f ∈ L ( E ) .
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p et
B = ( e1 , e2 , ..., ed )
une base de E
adaptée à F.
Le sous-espace F est stable par f si, et seulement si, la matrice M B ( f ) de f dans la base
B
⎛ A B⎞
est de la forme : M B ( f ) = ⎜
⎟ avec :
⎝0 C⎠
• A matrice carrée d’ordre p (c’est la matrice de la restriction de f à F dans la base
BF = F ( e1 , e2 , ..., e p ) ) ;
•
B matrice de dimension p × ( n − p ) ;
•
0 matrice nulle de dimension ( n − p ) × p ;
•
C matrice carrée d’ordre n − p .
⎛ A B⎞
On a alors : det M B ( f ) = det ⎜
⎟ = det ( A ) × det ( C ) .
⎝0 C⎠
On peut généraliser le théorème précédent lorsque E est somme directe de sous-espaces.
Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie notée d et soit f ∈ L ( E ) .
Soit E1 , E2 , ..., E p , p sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives di tels que :
p
E = ⊕ Ei
i =1
Soit
B = ( e11 , e12 , ..., e1d , e21 , e22 , ..., e2 d , ..., e p1 , e p 2 ,..., e pd
1
2
p
) une base de E adaptée à la
somme directe.
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Les sous-espaces Ei sont stables par f si, et seulement si, il existe p matrices carrées Ai de
dimensions respectives di telles que la matrice M B ( f ) de f dans la base
⎛ A1
⎜
0
MB ( f ) = ⎜
⎜
⎜⎜
⎝0
B soit de la forme :
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
… Ap ⎟⎠
0 …
A2 …
0
Ai est alors la matrice de la restriction de f au sous-espace Ei .
⎛ A1
⎜
0
On a alors : det M B ( f ) = det ⎜
⎜
⎜⎜
⎝0
0 ⎞
⎟
p
0 ⎟
= det A1 × det A2 × ... × Ap = ∏ det Ai .
⎟
i =1
⎟
… Ap ⎟⎠
0 …
A2 …
0
Notion de polynôme d’endomorphisme
Définitions
Soit E un espace vectoriel sur le corps K et soit f ∈ L ( E ) .
On définit les puissances d’exposant entier de l’endomorphisme f par récurrence :
f 0 = Id E et ∀n ∈
*
f n −1
, fn = f
Soit P ∈ K [ X ] de degré n.
n
On peut écrire : P ( X ) = an X n + an −1 X n −1 + ... + a1 X + a0 = ∑ ai X i .
i =0
On définit alors P ( f ) par :
n
P ( f ) = an f n + an −1 f n −1 + ... + a1 f + a0 = ∑ ai f i
i =0
C’est encore un endomorphisme de E.
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Un morphisme d’algèbre
Théorème
La notion précédente conduit à considérer pour un endomorphisme f de E donné l’ensemble
des polynômes P ( f ) . En notant K [ f ] cet ensemble, on a donc :
K [ f ] = { P ( f ) / P ∈ K [ X ]}
On considère alors l’application :
⎧⎪ K [ X ] → L ( E )
Φf :⎨
⎪⎩ P Φ f ( P ) = P ( f )
On a l’important théorème suivant :
L’application Φ f est un morphisme d’algèbres
Son image Im Φ f = Φ f ( K [ X ]) = K [ f ] est une sous-algèbre commutative de
L (E)
appelée
« sous-algèbre engendrée par f ».
Remarque : pour tout polynôme P dans K [ X ] , les endomorphismes f et P ( f ) commutent.
On en déduit que les sous-espaces vectoriels ker P ( f ) et Im P ( f ) sont stables par f.
Notion de polynôme minimal
Définitions
Nous nous intéressons maintenant au noyau de Φ f .
Le noyau de Φ f est l’ensemble des polynômes P tels que P ( f ) = 0L ( E ) . Ces polynômes sont
appelés « polynômes annulateurs de f ».
Φ f est un morphisme d’anneau et son noyau est donc un idéal de K [ X ] . Tout idéal de
K [ X ] étant principal, ker Φ f est principal.
{
}
Si le noyau de Φ f n’est pas réduit au polynôme nul ( ker Φ f ≠ 0K[ X ] ) alors il existe un
polynôme unitaire engendrant ker Φ f . Ce polynôme, classiquement noté Π f , est appelé
« polynôme minimal de l’endomorphisme f ».
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Il découle immédiatement de la dernière définition que le polynôme minimal Π f divise tout
polynôme annulateur de l’endomorphisme f.
Théorème
Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie et soit f ∈ L ( E ) .
f admet un polynôme minimal ⇔ dim K [ f ] < ∞ .
Si dim K [ f ] = n alors d°Π f = n et {Id E , f , f 2 , ..., f n −1} est une base de K [ f ] .
Le cas de la dimension finie
Tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme minimal.
Théorème de décomposition des noyaux
Lemme
Soit E un espace vectoriel sur le corps K et soit f ∈ L ( E ) .
Soit A et B deux polynômes dans K [ X ] et D = PGCD ( A, B ) .
On a :
ker A ( f ) ∩ ker B ( f ) = ker D ( f )
Théorème
Soit E un espace vectoriel sur le corps K et soit f ∈ L ( E ) .
Soit A et B deux polynômes dans K [ X ] premiers entre eux.
On a :
ker AB ( f ) = ker A ( f ) ⊕ ker B ( f )
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Le résultat précédent se généralise :
Soit E un espace vectoriel sur le corps K et soit f ∈ L ( E ) .
Soit A1 , A 2 ,… , A n n polynômes dans K [ X ] deux à deux premiers entre eux.
On a :
n
⎛ n
⎞
ker ⎜ ∏ A i ⎟ ( f ) = ker ( A1 ...A n )( f ) = ker A1 ( f ) ⊕ ... ⊕ ker A n ( f ) = ⊕ ker Ai ( f )
i =1
⎝ i =1 ⎠
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