Intégration - Académie en ligne

Séquence 7
Intégration
Sommaire
1. Prérequis
2. Aire et intégrale d’une fonction continue et positive sur [a ; b]
3. Primitives
4. Primitives et intégrales d’une fonction continue
5. Synthèse de la séquence
Dans ce chapitre, on introduit une nouvelle
notion mathématique : l’intégration.
Après une première approche géométrique,
l’introduction de la notion de primitive permet d’élargir la définition et les possibilités
de calcul. Quelques exemples d’applications
sont donnés.
Séquence 7 – MA02
1
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1 Prérequis
A
Aires
1. Aires usuelles
On considère des figures dans un plan où une unité de longueur a été choisie.
On sait calculer les aires déterminées par différentes figures géométriques :
base × hauteur
t aire d’un triangle :
;
2
t aire d’un rectangle : longueur × largeur (remarque : quand un rectangle aura
un côté parallèle à l’axe des ordonnées, on appellera ce côté la « hauteur » du
rectangle, et l’autre côté sera appelé sa « largeur ») ;
(petite base + grande base ) × hauteur ;
t aire d’un trapèze :
2
2
t aire d’un disque : π × rayon .
2. Propriétés des aires
t Additivité
Pour calculer l’aire de figures moins simples que les précédentes, on peut décomposer celles-ci en un certain nombre de figures dont on sait calculer l’aire. Par
exemple, pour calculer l’aire d’une surface délimitée par un polygone, on peut
décomposer celui-ci en un certain nombre de triangles. La somme des aires des
triangles donne alors le résultat souhaité. La propriété utilisée s’appelle l’« additivité de l’aire », elle est énoncée dans la propriété suivante.
Vocabulaire
On a l’habitude d’appeler « domaines » les ensembles de points du plan dont on
calcule les aires.
Propriété
A
B
Si E1 et E2 sont deux domaines du plan dont
l’intersection a une aire nulle alors l’aire de
E1 ∪ E2 est égale à la somme des aires de E1
et E2 : Aire ( E1 ∪ E2 ) = Aire ( E1) + Aire ( E2 ).
Dans la figure ci-contre :
Aire ( ABCD) = Aire ( ABD ) + Aire (BCD).
C
D
Séquence 7 – MA02
3
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t Inclusion
E2
Soit E1 et E2 deux domaines du plan tels que
E1 ⊂ E2 alors Aire ( E1) ≤ Aire ( E2 ).
E1
t Translation, symétrie
Propriété
Invariance par translation
Soit une translation tv et deux domaines du plan
E1 et E2 tels que E2 soit l’image de E1 par la
translation tv (c’est-à-dire que tous les points du
domaine E2 sont obtenus par translation de tous
les points du domaine E1 ). Alors les domaines
E1 et E2 ont la même aire :
E2
v
E1
Aire ( E1) = Aire ( E2 ).
Propriété
Invariance par symétrie
Soit s Ᏸ une symétrie axiale d’axe Ᏸ et deux
domaines du plan E1 et E2 tels que E2 soit
l’image de E1 par la symétrie s Ᏸ (c’est-à-dire que
tous les points du domaine E2 sont obtenus par
symétrie de tous les points du domaine E1 ). Alors
les domaines E1 et E2 ont la même aire :
E1
Ᏸ
E2
Aire ( E1) = Aire ( E2 ).
3. Domaines, aires et mesures
On confond parfois un domaine (une surface) avec une aire, ou une aire avec une
de ses mesures.
On précise ici par un exemple la différence entre ces notions.
Un domaine est un ensemble de points du plan.
Des domaines, qui sont des ensembles de points différents, sont des domaines
différents, mais ces domaines peuvent avoir la même aire comme trois des
domaines ci-dessous qui ont chacun une aire égale à 12 carreaux.
4
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Séquence 7 – MA02
Mesurer une aire, c’est lui associer un nombre en utilisant une aire de référence, l’unité.
Prenons l’exemple d’une aire A de 1 m2. On peut écrire l’égalité
A = 1 m2 = 10 000 cm2 mais, bien sûr, les nombres 1 et 10 000 ne sont pas égaux.
Le nombre 1 est la mesure de l’aire A en m2 et 10 000 est la mesure de la même
aire A avec une autre unité, le cm2.
Dans cette séquence, les intégrales sont des nombres et ces nombres sont utilisés pour
mesurer des aires, l’unité étant souvent appelée « unité d’aire » ce que l’on note u.a.
Il arrive que, quelquefois, on confonde une aire avec une de ses mesures (comme
on le fait très souvent pour les angles et leurs mesures en radians ou pour les
longueurs et leurs mesures).
En sciences physiques, pour simplifier l’écriture, on écrit souvent les unités seulement à la fin de calculs qui ont porté sur des nombres.
B
Dérivation
Comme on le verra, les deux notions de dérivation et d’intégration sont très liées,
on rappelle donc ici les formules essentielles qui doivent être connues.
1. Fonctions usuelles
Fonction f définie
et déribable sur I
Expression de f ( x )
Expression de f ′( x )
f ( x ) = k , k constante réelle
I=
f ′( x ) = 0
f (x ) = x
I=
f ′( x ) = 1
I = + * = ]0 ; +∞[ ou
1
f ′( x ) = − 2
x
f (x ) = x
I = + * = ]0 ; +∞[
f ′( x ) =
f ( x ) = x n , n ∈ ∗
I=
f ′( x ) = nx n −1
I = + * = ]0 ; +∞[ ou
n
f ′( x ) = − n +1 = −nx −n −1
x
f (x ) =
f (x ) =
1
x
1
xn
I = − * = ]−∞ ; 0[
= x −n , n ∈ ∗
I = − * = ]−∞ ; 0[
1
2 x
f ( x ) = sin x
I=
f ′( x ) = cos x
f ( x ) = cos x
I=
f ′( x ) = − sin x
f ( x ) = ex
I=
f ′( x ) = f ( x ) = e x
f ( x ) = ln x
I = + * = ]0 ; +∞[
f ′( x ) =
1
x
Séquence 7 – MA02
5
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2. Opérations
Dans le tableau ci-dessous, les fonctions u et v sont définies et dérivables sur le
même intervalle I, k est un nombre réel ; dans les deux derniers cas, la fonction v
ne s’annule pas. Alors la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.
Fonction f
Fonction dérivée f ‘
f = u +v
f ′ = u′ +v ′
f = uv
f ′ = u ′v + uv ′
f = ku
f ′ = ku ′
f=
1
v
−v ′
f′= 2
v
f=
u
v
f′=
u ′v − uv ′
v2
3. Composition
Dans le tableau suivant, u est dérivable sur un intervalle I et vérifie éventuellement certaines conditions. Alors la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.
Fonction f
Fonction dérivée f ‘
Remarques éventuelles
f : x f ( x ) = g (ax + b )
f ′ : x f ′( x ) = ag ′(ax + b )
La fonction g étant dérivable sur un
intervalle J, la fonction f est dérivable
en x lorsque ax + b appartient à J.
u2
2u ′u
u n où n ∈ *
nu ′u n −1
1
u
u′
− 2
u
= u −n où n ∈ *
n
u
nu ′
− n +1 = −nu 'u −n −1
u
u′
2 u
1
u
6
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eu
u ′eu
ln u
u′
u
Séquence 7 – MA02
u ne s’annule pas sur I
u ne s’annule pas sur I
u est à valeurs strictement positives
sur I
u est à valeurs strictement positives
sur I
2
A
Aire et intégrale d’une
fonction continue et positive
sur un intervalle [a ; b ]
Objectifs du chapitre
Dans ce chapitre, on définit l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un
intervalle en utilisant les aires et on en étudie les propriétés.
B
Pour débuter
Activité 1
Avec les vitesses et les distances Un objet se déplace pendant 10 secondes à la vitesse de 3 m.s-1. Quelle
distance a-t-il parcourue ?
Un objet se déplace pendant 10 secondes. On peut seulement enregistrer les
valeurs successives de sa vitesse v (t ) à l’instant t. On obtient les valeurs suivantes et on demande de donner une valeur approchée de la distance parcourue.
t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
7
8
9
v (t )
9
7,6
6,1
4,6
3,7
2,7
2,3
1,8
1,4
1,1
0,7
0,5
0,4
0,2
0,2
0,1
Un objet se déplace pendant 10 secondes. On peut seulement enregistrer, sur
une représentation graphique, sa vitesse v (t ) à l’instant t.
Dans les questions précédentes, des produits d’une vitesse par une durée sont
apparus. On interprète ces produits comme des aires de rectangles. En utilisant
cette interprétation, donner une valeur approchée de la distance parcourue par
l’objet.
v(t)
en m.s–1
1
j
O
i
1
5
t
10
en secondes
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7
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Activité 2
Aire sous la parabole
Cette activité propose une généralisation de ce qui a été fait dans l’exercice de
synthèse VI de la séquence 1.
Le plan
est muni d’un repère orthogonal
O ; i , j ; l’unité d’aire qui sera utilisée
pour mesurer les aires
est l’aire
du rectangle OIKJ tel que i = OI et j = OJ.
(
)
y = x2
Soit a et b deux nombres réels tels que
0 ≤ a ≤ b. On se propose de déterminer la
mesure Ia ,b de l’aire sous la courbe repréEa,b
sentant la fonction carré sur l’intervalle
[a ; b ] , c’est-à-dire l’aire du domaine Ea ,b
limité par la représentation graphique de la j
a
b
O
fonction carré, l’axe des abscisses ainsi que
i
les droites d’équations x = a et x = b.
Pour cela, on détermine d’abord l’aire du domaine Ea limité par la représentation graphique de la fonction carré, l’axe des abscisses, et la droite d’équation x = a.
a
On partage l’intervalle [ 0 ; a ] en n intervalles de longueur (où n est un entier
n
supérieur à 1) sur lesquels on construit n rectangles situés sous la courbe et n
rectangles contenant Ea comme l’illustre la figure.
a2
y = x2
a
O
O
a/n 2a/n 3a/n 4a/n 5a/n 6a/n
(n–2)a/n (n–1)a/n
On note un la mesure de l’aire totale des rectangles situés sous la courbe et v n
la mesure de l’aire totale des rectangles contenant le domaine Ea . On obtient
ainsi deux suites (un ) et (v n ) encadrant la mesure Ia de l’aire de Ea . Ainsi,
pour tout n ≥ 1, on a : un ≤ Ia ≤ v n .
a 3 n −1
a3 n
a) Vérifier que, pour n ≥ 1, un = 3 ∑ k 2 et v n = 3 ∑ k 2.
n k =1
n k =1
n
2 n (n + 1)( 2n + 1)
b) En admettant que, pour tout n ≥ 1, ∑ k =
(démontré par
6
k =1
récurrence lors de la résolution de l’exercice VI de synthèse de la séquence 1),
en déduire l’expression de un et de v n en fonction de n.
c) Calculer la limite de chacune des deux suites et en déduire la valeur de Ia .
Par analogie, donner la valeur de la mesure I b de l’aire du domaine Eb limité
par la représentation graphique de la fonction carré, l’axe des abscisses et la
droite d’équation x = b. En déduire alors la valeur de Ia ,b .
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C
Cours
1. Définition
On se propose de généraliser la notion d’aire à des domaines du plan liés à des
fonctions.
Les fonctions utilisées ici sont des fonctions continues sur des intervalles.
Intuitivement, cela signifie que les courbes représentatives sont formées d’un
trait continu, ces courbes peuvent alors être utilisées pour limiter des domaines
dont on mesurera les aires.
Le plan est muni d’un repère orthogonal O ; i , j ; l’unité d’aire qui sera
utilisée
pour mesurer les aires est l’aire du rectangle OIKJ tel que i = OI et j = OJ.
(
)
On dit qu’une fonction f est positive sur un intervalle I si, pour tout x de I, f ( x )
est positif : f ( x ) ≥ 0.
y
E
Ꮿ
1
x
1 ua
a
0
b
1
Définition 1
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b ] , continue et positive sur [a ; b ].
On appelle E le domaine du plan limité par la courbe Cf représentant f,
l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
On appelle intégrale de la fonction f sur [a ; b ] la mesure de l’aire du
domaine E en unités d’aire.
Ce nombre est noté
Remarque
b
∫a f ( x ) dx .
L’aire du domaine E s’appelle aussi aire sous la courbe.
b
On a donc : aire(E ) = ∫ f ( x ) dx u.a.
a
Séquence 7 – MA02
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Et si, sur chaque axe, l’unité de longueur est égale à 5 cm comme dans l’activité 2, on aura :
 b

aire(E ) =  ∫ f ( x ) dx  × 25 cm2.
 a

왘
Exemple
L’intégrale de la fonction carré sur [a ; b ] est telle que
comme on l’a vu dans l’activité 2. Ainsi, par exemple,
Remarques
b 2
b3 − a3
x dx =
a
3
∫
2 2
∫1 x
7
dx = .
3
t Le domaine E peut aussi être défini par un système d’inégalités :
a ≤ x ≤ b
M( x ; y ) ∈ E ⇔ 
.
0 ≤ y ≤ f ( x )
b
∫a f ( x ) dx
t Le nombre
se lit « intégrale de a à b de f (x) dx » ou « somme de
a à b de f (x) dx ». t Les réels a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.
t On dit que x est une variable muette. En effet, la définition de « l’intégrale de
a à b de la fonction f » ne fait pas intervenir la variable et on pourrait s’en
passer, mais il faudrait alors donner un nom à chacune des fonctions utilisées,
ce qui serait bien compliqué. On préfère donc donner les fonctions par leurs
expressions, on donne un nom à la variable mais ce nom n’a aucune importance (seuls a et b, qui désignent les bornes, ne peuvent pas être utilisés).
Ainsi
b 2
∫a x
b
b
a
a
d x = ∫ t 2 dt = ∫ y 2 d y .
La notation « dx » a pour origine la largeur des rectangles qui ont été utilisés
dans les premiers calculs d’approximation, cette largeur multiplie les valeurs
prises par la fonction (comme on le voit dans l’activité 2). Cette notation est
indispensable quand plusieurs lettres sont utilisées pour définir l’expression de
la fonction (par exemple ke − x ) , « dx » indique alors nettement quelle est la
variable.
왘
Exemple 1
Calculer les intégrales :
I=
−1
b
∫−2 3 dt
K=
et J = ∫ 3 dt , a et b étant des nombres réels tels que a ≤ b .
a
−2
∫−4 (0,5t + 2)dt
b
et L = ∫ (0, 5t + 2) dt , a et b étant des nombres réels
a
tels que a ≤ b .
M=
4
∫0 2t − 3 dt .
Le plan étant muni d’un repère orthonormé, après avoir reconnu la courbe C
représentative de la fonction f définie par f ( x ) = 1− x 2 sur [ −1 ; 1] , calculer N = ∫
10
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1
−1
1− x 2 d x .
왘
Solution
Remarquons que, dans chaque cas, l’aire est mesurée avec l’unité d’aire donnée
par le repère qui peut être orthonormé ou orthogonal.
3
j
–2
a O
–1
b
i
La fonction que l’on intègre est une fonction constante, on mesure donc
−1
des aires de rectangle et on obtient : I = ∫ 3 dt = 3 × ( −1− ( −2)) = 3 et
−2
b
J = ∫ 3 dt = 3(b − a ).
a
F
0,5b + 2
G
0,5a + 2
C
A
B
–4
–2
j
D
O
i
E
b
a
L’intégrale K est la mesure de l’aire du triangle ABC :
K=∫
−2
−4
(0, 5t + 2) dt =
( −2 − ( −4 )) × 1
= 1 ; l’intégrale L est la mesure de l’aire du
2
trapèze DEFG :
b
L = ∫ (0, 5t + 2) dt =
a
(0, 5b + 2) + (0, 5a + 2)
(0, 5b + 0, 5a + 4 )(b − a )
× (b − a ) =
.
2
2
L’intégrale M est la mesure de l’aire d’un domaine que l’on peut décomposer
en deux triangles.
En effet, on a 2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, 5. Ainsi :
si 0 ≤ x ≤ 1, 5 alors 2x − 3 = −2x + 3 et si
1, 5 ≤ x ≤ 4 alors 2x − 3 = 2x − 3. La courbe
représentative de la fonction f définie sur
[0 ; 4 ] par f ( x ) = 2x − 3 est représentée
ci-contre.
0 ≤ x ≤ 4
est
Le domaine E défini par 
0 ≤ y ≤ f ( x )
colorié ; son aire est égale à la somme des
aires des triangles OAB et BCD.
On a donc :
4
M = ∫ 2t − 3 dt =
0
D
A
j
O
i
B
C
OA × OB BC × CD 3 × 1, 5 2, 5 × 5
+
=
+
= 8, 5.
2
2
2
2
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Les points de la courbe C sont tels que
y = 1− x 2 , d’où x 2 + y 2 = 1 et la
courbe C est donc un demi-cercle de
centre O et de rayon 1.
D’où N =
Remarque
∫
1
–1
1
1
π
1− x 2 d x = × π × 12 = .
−1
2
2
O
1
Dans le cas particulier où la fonction f est une fonction constante qui
prend la valeur positive λ (cette lettre grecque se prononce « lambda ») sur tout
l’intervalle [a ; b ] , on a
b
b
∫ a f ( x ) dx = ∫ a λ dx = λ(b − a ) car le domaine E est
un rectangle dont les côtés mesurent b − a et λ.
h
j
a
O
b
i
2. Propriétés
Les aires permettent d’obtenir les propriétés qui suivent.
Propriété 1
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b ] , continue et positive sur [a ; b ].
Pour tout réel c de l’intervalle [a ; b ] ,
c
∫c f ( x ) dx = 0.
Démonstration
Le domaine E est réduit à un segment dont l’aire est de mesure nulle.
Propriété 2
Positivité
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b ] , continue et positive sur [a ; b ].
Alors
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b
∫a f ( x ) dx ≥ 0.
Démonstration
La mesure d’une aire est un nombre réel positif.
Commentaire
Cette propriété est appelée « positivité » de l’intégrale, et il suffit de rappeler ce
mot quand on utilise cette propriété.
Comparaison
Propriété 3
Soit f et g deux fonctions définies sur l’intervalle [a ; b ] , continues et positives sur [a ; b ] , telles que f ≤ g , c’est-à-dire telles que f ( x ) ≤ g ( x ) pour
tout x de [a ; b ].
b
b
a
a
Alors ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx .
Ꮿg
y
f
Ꮿf
2
g
1
x' j
x
i
0
a
1
b
y'
Démonstration
a ≤ x ≤ b
Le domaine Ef défini par M( x ; y ) ∈Ef ⇔ 
est inclus dans le
0 ≤ y ≤ f ( x )
a ≤ x ≤ b
. D’où l’inégalité des
domaine Eg défini par M( x ; y ) ∈Eg ⇔ 
0 ≤ y ≤ g ( x )
( )
aires : aire ( Ef ) ≤ aire Eg et de leurs mesures :
왘
Exemple
b
b
∫a f ( x ) dx ≤ ∫a g ( x ) dx .
La comparaison des fonctions carré, x x et racine sur [ 0 ; 1] permet de trouver :
1
1
1
∫ 0 x 2 dx ≤ ∫ 0 x dx ≤ ∫ 0
x dx .
y=x
y= x
y= x
j
y = x2
O
i
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Relation de Chasles
Propriété 4
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b ] , continue et positive sur [a ; b ].
Soit c un nombre de l’intervalle [a ; b ] , alors
c
b
b
∫a f ( x ) dx + ∫c f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx .
y
f (b)
f (c)
f (a)
c
兰a f(t)dt
b
兰c f(t)dt
x
a
c
b
Démonstration
Cette égalité résulte de l’additivité des mesures d’aires qui a été rappelée en
prérequis.
Commentaire
Vous
avez
très
probablement remarqué l’analogie avec la relation vectorielle
AC + CB = AB, et vous retiendrez facilement que cette égalité entre des intégrales est appelée « relation de Chasles ».
Cette propriété des aires et des intégrales a été utilisée dans le calcul de l’intégrale M de l’exemple 1.
Ꮿf
Définition 2
La valeur moyenne d’une fonction f définie sur l’intervalle [a ; b ] avec a ≠ b ,
continue et positive sur [a ; b ] , est
1 b
f (t ) dt .
égale au nombre
b − a ∫a
Commentaire
D
A j
a 0
µ
C
B
i
b
Notons µ cette valeur moyenne. On a donc
µ=
b
1 b
f (t ) dt et µ(b − a ) = ∫ f (t ) dt .
∫
a
b −a a
Le produit µ(b − a ) peut être interprété comme la mesure de l’aire d’un rectangle ABCD (il est indiqué sur la figure). Et la dernière égalité montre alors que
la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a ; b ] est égale à la hauteur
AD du rectangle ABCD de base [a ; b ] et qui a la même aire que le domaine E.
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Inégalités de la moyenne
Propriété 5
Soit une fonction f définie sur l’intervalle [a ; b ] avec a ≠ b , continue et positive sur [a ; b ] , et deux nombres m et M tels que, pour tout x de l’intervalle
[a ; b ] , on a m ≤ f ( x ) ≤ M .
Alors m ≤ µ ≤ M , µ étant le valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b ].
M
F
Ꮿf
µ
D
C
m
H
A
a
E
G
j
B
O
i
b
Démonstration
On applique la propriété 3 à la fonction constante m, à la fonction f et à la fonction
b
constante M. D’où : m(b − a ) ≤ ∫ f (t ) dt ≤ M (b − a ).
a
Et, en divisant par b − a qui est strictement positif, on a :
1 b
m≤
f (t ) dt ≤ M , soit m ≤ µ ≤ M .
b − a ∫a
Commentaire
On peut retenir visuellement ces résultats assez facilement car les inégalités
b
m(b − a ) ≤ ∫ f (t ) dt ≤ M (b − a )
a
sont la traduction de : Aire(ABGH) ≤ Aire(ABCD) ≤ Aire(ABEF).
왘
왘
Exemple 2
Solution
Déterminer la valeur moyenne de la fonction carré sur l’intervalle I = [1; 3] .
1 3 2
1  33 − 13  13
µ
=
t
d
t
=
On a :

 = ≈ 4 , 33.
3 − 1 ∫1
2 3  3
µ = 4,33
j
0
j
0
Les aires colorées sont égales.
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3. Calcul approché d’une intégrale
d’une fonction continue monotone positive
a) Encadrement à l’aide d’un algorithme
On cherche à généraliser les méthodes évoquées lors de l’activité 2 à une fonction continue, positive et monotone.
Soit f une fonction continue, monotone et positive sur l’intervalle [a ; b]. On note
E le domaine limité par la représentation graphique de la fonction f, l’axe des
abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.
b −a
On partage l’intervalle [a ; b] en n intervalles de longueur
(où n est un
n
entier supérieur à 1) sur lesquels on construit n rectangles situés sous la courbe
et n rectangles contenant E comme l’illustrent les figures ci-dessous.
Cas : f croissante sur [a ; b ]
0
a a+h a+2h
b–h b
0
a a+h a+2h
b–h b
0
a a+h a+2h
b–h b
Cas : f décroissante sur [a ; b ]
0
16
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a a+h a+2h
b–h b
Dans le cas où f est croissante sur [a ; b ] , on note un la mesure de l’aire totale
des rectangles situés sous la courbe et v n la mesure de l’aire totale des rectangles contenant le domaine E .
b
On obtient ainsi deux suites (un ) et (v n ) encadrant la mesure ∫ f ( x ) d x de
a
l’aire de E . Ainsi, pour tout n ≥ 1, on a :
b
un ≤ ∫ f ( x ) d x ≤ v n .
a
En s’appuyant sur les représentations graphiques précédentes, on montre que :
un =
n −1
n −1
b −a
1

∑ (h × f (a + kh )) = n ∑ f  a + k n 
k =0
n
vn =
1
k =0
n

∑ (h × f (a + kh )) = n ∑ f  a + k
k =1
k =1
et
b −a
.
n 
Lorsque la fonction f est décroissante sur [a ; b ] , les suites définies par les égalités
précédentes déterminent encore un encadrement de
b
b
∫a f ( x ) dx
mais leurs rôles
sont inversées : pour tout n ≥ 1, v n ≤ ∫ f ( x ) d x ≤ un .
a
On a donc démontré la propriété suivante.
Propriété 6
Soit f une fonction continue, positive et monotone sur un intervalle [a ; b],
(un ) et (v n ), les suites définies par :
un =
n −1
n
k =0
k =1
∑ (h × f (a + kh )) et v n = ∑ (h × f (a + kh )). Alors :
b
t si f est croissante, on a : un ≤ ∫ f ( x ) d x ≤ v n ;
a
b
t si f est décroissante, on a : v n ≤ ∫ f ( x ) d x ≤ un .
a
Le logiciel Geogebra permet facilement de visualiser ces encadrements de la
façon suivante.
La fonction f est définie sur un intervalle [a ; b].
t On crée un curseur n (entier prenant les valeurs de 1 à 50 par exemple).
t On entre s=SommeInférieure[ f, a, b, n] qui nous donne un minorant de
b
∫a f ( x ) dx obtenu en considérant les rectangles sous la courbe.
t Puis on entre S=SommeSupérieure[ f, a, b, n] qui nous donne un majorant de
b
∫a f ( x ) dx obtenu en considérant les rectangles contenant le domaine.
En augmentant n, on obtient des encadrements de plus en plus précis de
b
∫a f ( x ) dx .
Séquence 7 – MA02
17
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Cette propriété justifie l’algorithme suivant qui nous donne des encadrements
d’intégrales dans le cas où f est positive et monotone.
Algobox
Casio
TI
On propose, dans l’exercice 4, de modifier cet algorithme pour obtenir un encadrement d’amplitude fixée.
b) Valeur approchées à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel
L’algorithme précédent permet d’encadrer la valeur d’une intégrale, on peut donc
u +v
en donner une valeur approchée, en prenant par exemple n n .
2
À partir d’algorithmes choisis pour leur efficacité (précision, nombres de pas dans
les calculs), les calculatrices et les logiciels de calcul formel donnent des valeurs
approchées d’intégrales.
t Avec une calculatrice TI-82-stats.fr
On utilise la touche MATH puis l’instruction 9 : fonctIntégr.
18
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Séquence 7 – MA02
La syntaxe est fonctIntégr(expression de la fonction, nom de la variable, borne
inférieure, borne supérieure).
Voici, par exemple, le calcul de
1 2
∫0 x
d x :
t Avec une calculatrice Casio 25+Pro
On utilise successivement OPTN CALC
La syntaxe est
tolérance).
∫
dx .
∫ ( expression de la fonction, borne inférieure, borne supérieure,
Les calculs se font de façon approchée et la « tolérance » permet de choisir une
précision plus ou moins grande. Il est possible de ne pas indiquer la valeur de la
tolérance (la calculatrice utilisera alors 10−5 ) et de ne pas fermer la parenthèse.
t Avec un logiciel de calcul formel
Voici un écran obtenu avec le logiciel Xcas.
La première instruction int(x^2,x) permet d’obtenir à la deuxième ligne une primitive de la fonction donnée par l’expression x^2 où la variable est x, il s’agit
왘
왘
donc de la fonction carré. (Avec l’instruction int(k*x^2,k) la variable serait k et
x 2 *k 2
on obtiendrait
.)
2
5
La deuxième instruction correspond à l’intégrale ∫ x 2 d x dont le logiciel donne
3
98 .
la valeur :
3
Construire un tableau de valeurs et la courbe de la fonction f définie sur [1; 6 ]
x1
par f ( x ) = ∫ dt .
1 t
Exemple 3
Solution
1
x
f (x ) = ∫
x1
1
t
dt .
0
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
0,4054 0,6931 0,9162 1,0986 1,2528 1,3862 1,5041 1,6094 1,7047 1,7918
Séquence 7 – MA02
19
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j
O
i
4. Intégration et dérivation
왘
왘
Exemple 4
Solution
21
Dans l’exemple 3, on a obtenu ci-dessus de valeurs approchées de ∫
dt ,
1t
31
51
61
∫1 t dt , ∫1 t dt et ∫1 t dt . Quel lien peut-on conjecturer entre trois de ces
quatre intégrales ?
61
21
31
On peut conjecturer que ∫
dt = ∫
dt + ∫
dt , ce qui fait penser aux loga1t
1t
1t
rithmes népériens.
Or on sait que la fonction ln a pour dérivée la fonction inverse…
Le théorème qui suit est fondamental. Il permet de relier l’intégration et la dérivation, facilitant le calcul de beaucoup d’intégrales.
Théorème 1
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b ] , la fonction définie sur [a ; b ]
x
par x ∫ f (t ) dt est dérivable sur [a ; b ] et sa fonction dérivée est la fonction f.
a
x
tt On appellera F la fonction définie sur [a ; b ] par x ∫ f (t ) dt , ainsi
a
x
F ( x ) = ∫ f (t ) dt .
a
x
t Notation : on rappelle que dans l’écriture F ( x ) = ∫ f (t ) dt la variable « t »
a
x
est muette, on aurait pu choisir la notation F ( x ) = ∫ f où l’on voit mieux
a
que l’intégrale ne dépend que de f et des bornes a et x, mais cette notation
x
n’est pas du tout pratique. On utilise donc la notation F ( x ) = ∫ f (t ) dt
a
dans laquelle il est essentiel que la variable muette soit nommée différemment
de la borne x qui est la variable habituelle.
t Interprétation géométrique : par définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b ] , F ( x ) est égale à la mesure de l’aire
du domaine du plan limité par la courbe Cf représentant f, l’axe des abscisses, la droite des points d’abscisses a et la droite des points d’abscisse x.
Remarque
F (a ) = 0.
Démonstration
Elle est faite dans le cas particulier d’une fonction positive et croissante sur un
intervalle [a ; b ]. Dans les autres cas le théorème est admis.
20
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Séquence 7 – MA02
On va encadrer le quotient
F (x + h ) − F (x )
.
h
t Cas où h est positif.
L’aire du domaine colorié est
mesurée par
f(x+h)
f(x)
Ꮿf
j
x
F ( x ) = ∫ f (t ) dt .
a
a
O
b
x x+h
i
L’aire du domaine formé
par la réunion du domaine
colorié en foncé et du domaine colorié en clair est mesurée par
F (x + h ) = ∫
x +h
a
D’après la relation de Chasles, on a
F (x ) + ∫
x +h
x
f (t ) dt .
x +h
x
∫a f (t ) dt + ∫x
f (t ) dt = ∫
f (t ) dt = F ( x + h ) et donc F ( x + h ) − F ( x ) = ∫
x +h
a
x +h
x
f (t ) dt , soit
f (t ) dt ,
ce qui est la mesure de l’aire coloriée en clair.
Comme la fonction f est croissante sur [a ; b ] , pour tout nombre t de
l’intervalle [ x ; x + h ] on a f ( x ) ≤ f (t ) ≤ f ( x + h ), et, d’après les inégalités de la moyenne où m et M sont remplacés par f ( x ) et f ( x + h ), on a
F (x + h ) − F (x )
1 x +h
≤ f ( x + h ).
f (x ) ≤ ∫
f (t ) dt ≤ f ( x + h ), soit f ( x ) ≤
h
h x
t Cas où h est négatif.
L’aire du domaine colorié en
foncé est mesurée par
F (x + h ) = ∫
x +h
a
f (t ) dt .
Ꮿf
f(x)
f(x+h)
L’aire du domaine formé par la
réunion du domaine colorié en
foncé et du domaine colorié en
clair est mesurée par
j
O
i
x
F ( x ) = ∫ f (t ) dt .
x+h x
a
b
a
D’après la relation de Chasles, on a
F (x + h ) + ∫
x
x +h
x +h
∫a
f (t ) dt + ∫
x
x
x +h
f (t ) dt = ∫ f (t ) dt , soit
f (t ) dt = F ( x ) et donc F ( x + h ) − F ( x ) = − ∫
a
x
x +h
f (t ) dt .
Comme la fonction f est croissante sur [a ; b ] et que h est négatif, pour tout
nombre t de l’intervalle [ x + h ; x ] on a f ( x + h ) ≤ f (t ) ≤ f ( x ), et donc, d’après
les inégalités de la moyenne,
F (x + h ) − F (x )
x
1
≤ f ( x ).
f (t ) dt ≤ f ( x ), soit f ( x + h ) ≤
∫
h
x − ( x + h ) x +h
t Ainsi, que h soit positif ou négatif, F ( x + h ) − F ( x ) est encadré par f ( x ) et
h
f (x + h ) ≤
Séquence 7 – MA02
21
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f ( x + h ). Comme la fonction f est continue sur [a ; b ] , on a lim f ( x + h ) = f ( x )
h →0
pout tout x de [a ; b ].
F (x + h ) − F (x )
Et donc, d’après le théorème des gendarmes, lim
= f ( x ), ce qui
h
h →0
prouve que la fonction F est dérivable en x pour tout x de [a ; b ] , et que F ′ = f .
왘
Exemple
On rappelle que, dans l’activité 2,
∫
b 2
b3 a3
pour b ≥ a , et donc aussi
t dt =
−
a
3
3
x 2
x 3 a3
pour x ≥ a. On retrouve bien que la fonction F est
F (x ) =
t dt =
−
a
3
3
2
∫
dérivable si x ≥ a , et que F ′( x ) = x = f ( x ).
x1
dt et la foncDe même, dans l’exemple 4, on a observé un lien entre x ∫
1 t
tion ln dont la fonction dérivée est la fonction inverse.
Les fonctions du type de F vont être étudiées dans le chapitre suivant.
D
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
b
b3 a3
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On utilise le résultat ∫ t 2 dt =
−
a
3
3
pour b ≥ a.
Calculer
1
∫0
12
∫0t
dt et, par des considérations de symétries et d’aires, déterminer
t dt .
En déduire la mesure de l’aire du domaine situé entre la courbe de la fonction
carré et la courbe de la fonction racine.
y=x
y= x
j
y = x2
O
Exercice 2
i
Une voiture se déplace sur une route, elle démarre à l’instant t = 0, puis accélère de
façon régulière durant la première heure (c’est-à-dire que l’on suppose constante
l’accélération qui est la dérivée de la vitesse). Après une heure de route, sa vitesse
est alors 80 km.h-1. Elle garde cette vitesse durant les deux heures suivantes puis
décélère de façon régulière pour s’arrêter une demi-heure plus tard.
Dans un repère orthogonal, représenter la vitesse v du véhicule en fonction du temps.
Déterminer la distance parcourue durant ce trajet ainsi que la vitesse moyenne
du parcours.
22
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Séquence 7 – MA02
Exercice 3
On considère une fonction f monotone sur [a ; b] et on reprend la propriété 7,
les notations et l’algorithme qui en découle.
1
1
a) Montrer que l’encadrement v n ≤ ∫ f (t ) dt ≤ un ou un ≤ ∫ f (t ) dt ≤ v n
0
0
(selon le sens de variation de f ) est d’amplitude h f (a ) − f (b ) .
b) Modifier alors l’algorithme d’encadrement construit dans le cours pour
que l’encadrement de l’intégrale obtenu ait une amplitude inférieure à un
nombre d fixé.
2
1
On veut obtenir un encadrement de
e −t dt d’amplitude 10−4.
0
2
x e− x
∫
a) Montrer que f :
est monotone sur [0 ; 1].
1 −t 2
e dt avec une amplitude infé0
∫
b) En utilisant l’algorithme, encadrer
rieure à 10−4.
Exercice 4
Quelle est la fonction dérivée de la fonction F définie sur [1; 100 ] par
x 1
x∫ 2
dt ?
1 t +1
x 1
dt .
Même question pour la fonction G définie sur [ 2 ; 100 ] par x ∫ 2
2 t +1
Qu’observe-ton ?
Quelle est la relation existant entre F ( x ) et G ( x ) pour tout x de [ 2 ; 100 ] qui
permettait de prévoir ce résultat ?
Exercice 5
Dans cet exercice, les trois premières questions sont des questions à choix multiples (QCM) pour lesquelles trois réponses sont proposées dont une seule est
correcte. Dans la quatrième question, on doit dire si la proposition qui est énoncée est vraie ou fausse. Toutes les réponses doivent être justifiées.
Les fonctions qui sont intégrées sont continues et positives sur les intervalles
d’intégration.
Si I =
−1
∫−4f ( x ) dx
2
et J = ∫ f ( x ) d x , alors
−1
I+ J
c) I + J.
2
La valeur moyenne sur [ −4 ; 0 ]
de la fonction f représentée cicontre vaut :
a) 2
b) 3
c) 3,5.
a) −I + J
2
∫−4f ( x ) dx
b)
L’intégrale I =
0
∫−3f ( x ) dx
appartient à l’intervalle :
a) [ 7 ; 9 ]
est égale à :
b) [ 9 ; 11] c) [11; 12].
j
-4
O
i
La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ?
Si deux fonctions f et g continues et positives sur [a ; b ] sont telles que b
b
∫a f ( x ) dx = ∫a g ( x ) dx , alors f ( x ) = g ( x ) pour tout x de [a ; b ].
Séquence 7 – MA02
23
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3 Primitives
A
Objectifs du chapitre
À la fin du chapitre 2, apparaît une fonction dont on connaît la fonction dérivée.
Dans ce chapitre, on définit et on étudie ces fonctions définies par leurs fonctions
dérivées. Dans le chapitre qui suivra, on pourra alors calculer des intégrales.
B
Activité 3
Pour débuter
On considère les fonctions F, G et H définies sur
par :
F ( x ) = x 3 + 5, G ( x ) = x 3 − 0,1 et H ( x ) = x 3 + 9999.
Déterminer leurs fonctions dérivées. Qu’observe-ton ? Les fonctions F, G et H
sont-elles égales ?
]
[
Mêmes questions, les fonctions F, G et H étant définies sur 1; + ∞ par
x −3
2
3x − 5
F (x ) =
, G ( x ) = 1−
et H ( x ) =
.
x −1
x −1
x −1
Activité 4
On considère les deux fonctions f et F définie sur ]0 ; + ∞[ par f ( x ) = ln x et
F ( x ) = x ln x − x .
Montrer que F ′ = f .
Trouver deux fonctions G et H différentes de F, telle que G ′ = H ′ = F ′.
]
[
Déterminer une fonction K définie sur 0 ; + ∞ telle que K ' = f et K (1) = 0.
Activité 5
Trouver une fonction F définie sur
avec f ( x ) = 6 x 5 + 2x + 1.
telle que, pour tout réel x, F ′( x ) = f ( x )
Même question avec f ( x ) = x 5 + x 3 − 3 sur
−1
.
1
sur ]0 ; + ∞[ .
x
x
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( 3x + 1)e x . Déterminer deux
nombres réels a et b tels que la fonction F définie sur par F ( x ) = (ax + b )e x
ait pour fonction dérivée la fonction f.
Même question avec f ( x ) =
24
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Séquence 7 – MA02
2
+
C
Cours
1. Définition des primitives d’une fonction
sur un intervalle, existence
Définition 3
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. On dit qu’une fonction F, définie sur I, est une primitive de la fonction f sur I si :
t la fonction F est dérivable sur I ;
t pour tout x de I, F ′( x ) = f ( x ).
왘
Exemples
Soit f la fonction carré définie sur
. La fonction F définie sur par F ( x ) =
est une primitive de la fonction carré car, pour tout réel x, on a F ′( x ) = x 2.
x3
3
La fonction ln est une primitive sur ]0 ; + ∞[ de la fonction inverse car, pour tout
1
réel x strictement positif, on a : ln′ ( x ) = .
x
Remarque
Rappel
La fonction F est une primitive de la fonction f sur I si et seulement si f est la
fonction dérivée de F sur I.
On a démontré dans le chapitre 2 que, pour une fonction f continue, positive et
croissante sur un intervalle fermé [a ; b ] , la fonction définie sur [a ; b ] par
x
x ∫ f (t ) dt est dérivable sur [a ; b ] et que sa fonction dérivée est la fonction f.
a
On a admis cette propriété pour toutes les fonctions continues et positives sur
[a ; b ]. On obtient donc qu’une fonction f continue et positive sur un intervalle
[a ; b ]
x
admet au moins une primitive sur [a ; b ] définie par x ∫ f (t ) dt .
a
Plus généralement, on a le théorème qui suit.
Théorème 2
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Voici
de
V i i le
l principe
i i
d la
l
démonstration dans le
cas d’une fonction f définie et continue sur un
intervalle fermé [a ; b ].
On ne suppose donc plus
que la fonction est positive, mais on peut s’y
ramener.
y = g(x) = f(x)–m
j
O
m
Ꮿg
i
b
a
Ꮿf
Séquence 7 – MA02
25
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On admet qu’une fonction continue sur un intervalle fermé [a ; b ] admet un minimum m sur [a ; b ] (ce qui peut être conjecturé à partir de la représentation graphique puisque la courbe représentative d’une fonction continue sur un intervalle
fermé est formée d’un trait continu, m est la plus petite ordonnée des points de la
courbe).
Pour tout t de [a ; b ] , on a donc m ≤ f (t ), soit f (t ) − m ≥ 0. La fonction g définie
sur [a ; b ] par g (t ) = f (t ) − m est donc une fonction continue et positive sur
[a ; b ]. Géométriquement, cela correspond à translater la courbe de f vers le haut
pour que tous les points de la nouvelle courbe aient une ordonnée positive.
On applique à cette fonction g le théorème 1 du chapitre 2 et on obtient que la
x
fonction G définie sur [a ; b ] par x ∫ g (t ) dt est dérivable sur [a ; b ] et que
a
sa fonction dérivée est la fonction g : G ′ = g .
Comme f ( x ) = g ( x ) + m sur [a ; b ] , on considère la fonction F définie sur [a ; b ]
par : F ( x ) = G ( x ) + mx .
On a F ′( x ) = G ′( x ) + m = f ( x ) pour tout x de [a ; b ] donc F est une primitive de f.
Le théorème est admis dans le cas des fonctions définies sur I, I n’étant pas un
intervalle fermé et la fonction f pouvant alors ne pas admettre de minimum.
왘
Exemple
Les fonctions F, G et H définies sur par : F ( x ) = e2x + 5, G ( x ) = e2x − 0,1
et H ( x ) = e2x − 9999 sont des primitives de la fonction f définie sur par
f ( x ) = 2e2x .
2. Propriétés des primitives
Dans l’exemple précédent, on a ajouté des constantes à la primitive x e2x ,
2x
pour fabriquer d’autres primitives de la fonction x 2e . La propriété suivante montre qu’il n’y a pas d’autres formes de primitives.
Propriété 7
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et soit F et G deux
de ses primitives. Alors la fonction F − G est une fonction constante sur I.
Démonstration
Pour tout x de I, on a (F − G )′ ( x ) = F ′( x ) − G ′( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0. La dérivée de
la fonction F − G est nulle sur l’intervalle I donc la fonction F − G est une fonction constante sur I.
Propriété 8
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et soit F une de ses
primitives. Alors l’ensemble des primitives de f sur I est égal à l’ensemble des
fonctions de la forme F + k , où k est une constante.
26
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Séquence 7 – MA02
Démonstration
t D’après la propriété précédente, si G est une autre primitive de f sur I alors
F − G est une fonction constante sur I, donc G = F + k .
t Réciproquement : soit G une fonction telle que G = F + k où k est une
constante. Pour tout x de I, F ′( x ) = f ( x ) et G ( x ) = F ( x ) + k . Comme k est
une constante, G ′( x ) = F ′( x ) + 0 = f ( x ), donc la fonction G est une primitive
de f sur I.
왘
Conséquence
왘
왘
Exemple 5
Solution
D’après le théorème 2 et la propriété précédente, on peut déduire que : toute
fonction continue sur un intervalle I admet une infinité de primitives sur I.
Donner l’ensemble des primitives sur
de la fonction carré.
L’ensemble des primitives de la fonction carré sur sont les fonctions F de
x3
x3
est
la forme F ( x ) =
+ k , k étant une constante. En effet, la fonction x 3
3
une primitive de la fonction carré.
Propriété 9
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit x 0 un élément
de I et y 0 un nombre réel. Alors il existe une et une seule primitive de f sur I
qui prend la valeur y 0 en x 0 .
Démonstration
Soit F une des primitives de f sur I. On sait que toutes les primitives de f sont de la
forme F + k , il suffit donc de chercher k pour que F ( x 0 ) + k = y 0 . On trouve une
solution unique pour k, k = −F ( x 0 ) + y 0 , donc il existe une et une seule primitive
vérifiant la condition imposée.
Et cette solution G est telle que G ( x ) = F ( x ) − F ( x 0 ) + y 0 .
왘
왘
Exemple 6
Solution
Trouver la primitive G de la fonction carré f qui prend la valeur 1 pour x = 2.
Remarquons d’abord l’utilisation de l’article « la » : en effet la propriété 8 assure
qu’il n’y a qu’une fonction qui convient. La fonction G que l’on cherche est de la
x3
forme G ( x ) =
+ k , vérifiant G (2) = 1.
3
23
8
−5
Comme G (2) = 1 ⇔ + k = 1 ⇔ k = 1− ⇔ k = , la primitive G qui convient
3
3
3
x3 −5
est définie par G ( x ) =
.
3
Séquence 7 – MA02
27
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Conséquence
Un cas particulier important
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soit x 0 un élément
de I. Alors il existe une et une seule primitive de f sur I qui s’annule en x 0 .
Il s’agit de la propriété précédente avec y 0 = 0. Soit F une des primitives de f
sur I. La primitive de f sur I qui s’annule en x 0 est la fonction G définie sur I par
G ( x ) = F ( x ) − F ( x 0 ).
Exemple 7
왘
왘
Solution
Déterminer la primitive H de la fonction carré qui prend la valeur 0 pour x = 5.
x3
Une primitive de la fonction carré est la fonction F définie par F ( x ) =
, donc la
3
primitive H que l’on cherche est telle que
H ( x ) = F ( x ) − F ( 5) =
x 3 53 x 3 − 125
− =
.
3
3
3
Propriété 10
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux nombres réels de
I. Soit F une des primitives de la fonction f sur I. La différence F (b ) − F (a ) ne
dépend pas de la primitive choisie.
Démonstration
Pour prouver que la différence ne dépend pas de la primitive choisie, nous allons
choisir deux primitives quelconques et montrer que la différence est la même pour
ces deux primitives. Soit F1 et F2 deux primitives de f sur I, d’après la propriété 8
il existe alors un nombre réel k tel que, pour tout x de I, on a : F2 ( x ) = F1( x ) + k .
On obtient donc : F2 (b ) − F2 (a ) = (F1(b ) + k ) − (F1(a ) + k ) = F1(b ) − F1(a ).
La différence est donc bien la même quelle que soit la primitive F choisie.
왘
Exemple
Les fonctions G et H des exemples 6 et 7 sont des primitives de la fonction carré
sur .
Pour a = −2 et b = 1, on a :
13 − 5 ( −2)3 − 5 13 − ( −2)3
−
=
= 3 et
3
3
3
13 − 125 ( −2)3 − 125 13 − ( −2)3
H (b ) − H (a ) = H (1) − H ( −2) =
−
=
= 3.
3
3
3
G (b ) − G (a ) = G (1) − G ( −2) =
28
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Séquence 7 – MA02
Propriété 11
Primitive et intégrale
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b ] et F une de ses primitives.
On a alors :
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
Démonstration
x
À la fin du chapitre 2, on a vu que la fonction définie sur [a ; b ] par x ∫ f (t ) dt
a
est dérivable sur [a ; b ] et sa fonction dérivée est la fonction f. Donc la fonction
x
définie sur [a ; b ] par x ∫ f (t ) dt est une primitive de la fonction f.
a
a
la propriété 8 et sa conséquence, la fonction
∫a f (t ) dt = 0, donc, d’après
x
définie sur [a ; b ] par x ∫ f (t ) dt est la primitive de la fonction f qui s’ana
Or
nule en a.
Et on sait que, si F est une des primitives de f sur I, la primitive de f qui s’annule
en a est la fonction x F ( x ) − F (a ), donc on a
ticulier
왘
Exemple
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
Une primitive de la fonction carré est la fonction F définie sur
et, dans le chapitre 2, on a bien obtenu l’égalité
Remarque
x
∫a f (t ) dt = F ( x ) − F (a ), en par-
b
∫ a t 2 dt =
par F ( x ) =
x3
3
b3 a3
avec b ≥ a.
−
3
3
D’une part, on a vu qu’une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b ]
possède des primitives en utilisant une fonction définie par une intégrale. D’autre
part, la propriété 11 montre qu’il est possible de calculer une intégrale si on
connaît une primitive de la fonction qui est intégrée. Ces deux notions sont donc
très liées. Dans ce chapitre 3, on étudie surtout les primitives, la notion d’intégrale sera ensuite approfondie dans le chapitre 4.
3. Primitives des fonctions usuelles,
opérations et composition
t Fonctions usuelles
« Déterminer une primitive » est l’opération inverse de « dériver une fonction » :
si f est la fonction dérivée de F sur un intervalle I alors F est une primitive de f.
Le tableau des dérivées usuelles nous permet alors de dresser le tableau des
primitives des fonctions usuelles.
Dans ce tableau, k désigne un nombre réel constant.
Séquence 7 – MA02
29
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I
Expression de f ( x ) sur I
Expression de F ( x ) sur I
f (x ) = 0
I=
F ( x ) = k , k constante réelle
f (x ) = 1
I=
F (x ) = x + k
1
f (x ) = 2
x
I = + * = ]0 ; +∞[
1
F (x ) = − + k
x
ou
I = − * = ]−∞ ; 0[
1
x
f (x ) =
f (x ) = x n , n ∈ f (x ) =
1
x
n
I = + * = ]0 ; + ∞[
F (x ) = 2 x + k
I=
F (x ) =
+
= x −n , n ∈ , n ≥ 2 I = * = ]0 ; +∞[
ou
1 n +1
x
+k
n +1
F (x ) = −
1
(n − 1)x
n −1
+k =
1
x −n + 1 + k
−n + 1
−
I = * = ]−∞ ; 0[
f ( x ) = cos x
I=
F ( x ) = sin x + k
f ( x ) = sin x
I=
F ( x ) = − cos x + k
f ( x ) = ex
I=
F ( x ) = ex + k
I = + * = ]0 ; +∞[
F ( x ) = ln x + k
f (x ) =
1
x
t Opérations et composition
Dans le tableau suivant, f, g, u, v sont des fonctions continues sur un intervalle
I, les fonctions F et G sont des primitives des fonctions f et g sur I. Les notations
α , β , a, b, désignent des nombres réels. et k désigne une constante.
Ce tableau est obtenu à partir des propriétés de la dérivation des fonctions obtenues par opérations ou par composition.
30
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Séquence 7 – MA02
Fonction définie sur I
Les primitives sur I
f +g
F +G + k
αf
αF + k
αf + β g
αF + βG + k
u ′u
1 2
u +k
2
Remarques
1 n +1
u
+k
n +1
u ′u n , n ∈ ff
ff
v′
v
1
− +k
v
2
v′
vn
= v ′v −n , n ∈ *, n ≥ 2
u′
u
−
v ne s’annule pas sur I
1
(n − 1)v
+k =
n −1
1 −n + 1
v
+k
−n + 1
2 u +k
u ′eu
eu + k
u′
u
ln u + k
x f ( x ) = ag (ax + b )
x F ( x ) = G (ax + b ) + k
v ne s’annule pas sur I
La forme est la même que
pour u ′u n , n ∈ u est à valeurs strictement
positives sur I
u est à valeurs strictement
positives sur I
Pour chercher des primitives, on dispose donc de tous ces résultats, issus de ce
qui est connu sur la dérivation, et des indications données par les énoncés des
exercices (comme dans la question de l’activité 5).
Remarque
Il existe des fonctions pour lesquelles on ne peut pas trouver une formule explicite (utilisant les fonctions usuelles précédemment rencontrées et les règles opératoires classiques : addition, multiplication, composition…) pour les primitives,
2
par exemple la fonction définie sur par x e − x . On rencontrera de tels
cas en probabilité et en statistiques dans les séquences 8 et 9, mais, en dehors de
ces séquences, on évitera ces cas en Terminale. Dans la pratique des utilisateurs
des mathématiques, ces cas sont fréquents. On peut alors seulement utiliser des
x
intégrales car on sait que la fonction définie sur [a ; b ] par x ∫ f (t ) dt est
a
la primitive de la fonction f qui s’annule en a. On fait alors seulement des calculs
approchés d’intégrales, mais heureusement les moyens informatiques permettent
maintenant des calculs rapides et d’une très bonne précision.
Séquence 7 – MA02
31
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4. Exemples de recherche de primitives
Remarques
préliminaires
t Pour trouver les primitives, il faut bien connaître les formules sur les dérivées.
t Quand on a trouvé une primitive, il est prudent de vérifier le résultat en dérivant la primitive obtenue.
t Quand on demande une primitive (et non les primitives), on prend souvent
k = 0.
t On ne trouvera pas toujours une formule du cours qui s’adapte exactement : il
faudra souvent choisir une ou plusieurs constantes multiplicatives.
Exemple 8
왘
왘
Solution
Commentaire
Exemple 9
왘
왘
Solution
On considère la fonction f définie sur
mitive de f sur .
On a : f ( x ) =
par f ( x ) = x 2 + x + 1. Trouver une pri-
( )
1
1
1
1
3x 2 + (2x ) + 1, d’où F ( x ) = x 3 + x 2 + x sur
3
2
3
2
(ici, on ne
demande qu’une primitive).
1
1
On dit que et sont des constantes multiplicatives.
2
3
3
5
On considère la fonction f définie par f ( x ) = 2 +
sur I = ]0 ; +∞[ . Donner
x
2x
toutes les primitives de f sur I.
3 1   1 
, donc les primitives de f sur I sont les fonctions F
On a f ( x ) =  2  + 5 
2  x   x 
(
)
3  1
telles que F ( x ) =  −  + 5 2 x + k , k étant une constante (ici on demande
2 x 
toutes les primitives).
왘
Exemple 10
왘
Solution
On considère la fonction f définie sur
toutes les primitives de f sur I.
par f ( x ) = 3e3x + 2 − e2x +1. Donner
On reconnaît ou on met en évidence la forme u ′eu : f ( x ) = 3e 3x + 2 −
Donc les primitives de f sur
sont les fonctions F telles que
(
)
1 2x + 1
2e
.
2
1
F ( x ) = e 3 x + 2 − e 2x + 1 + k .
2
왘
Exemple 11
왘
32
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Solution
On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = cos x − sin(5x − 4 π ). Déterminer la primitive de f qui s’annule en 0.
1
Comme f ( x ) = cos x + (−5sin(5x − 4 π )) , la primitive cherchée est de la forme
5
1
F ( x ) = sin x + cos(5x − 4 π ) + k , le réel k étant tel que F (0 ) = 0.
5
1
1
−1
Or F (0) = 0 ⇔ sin0 + cos(5 × 0 − 4 π ) + k = 0 ⇔ 0 + × 1+ k = 0 ⇔ k = .
5
5
5
1
1
1
1
Donc F ( x ) = sin x + cos(5x − 4 π ) − = sin x + cos(5x ) − .
5
5
5
5
Séquence 7 – MA02
D
Exercices d’apprentissage
Exercice 6
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de la fonction f sur l’intervalle I.
5
f ( x ) = 5x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 4 x + 2 sur I = f ( x ) =
sur I = ]0 ; +∞[
2
x
2
f (x ) = −
f ( x ) = ( x + 1)3 sur I = sur I = ]−∞ ; 0[
3
x
2x + 1
f (x ) =
f ( x ) = cos( 2x ) sur .
sur I = ]1; +∞[
2
x +x −2
Exercice 7
Dans chaque cas, sur l’intervalle I, déterminer la primitive F de la fonction f telle
que F ( x 0 ) = y 0 .
f ( x ) = 2x + 3
I=
x0 = 2
y0 = 0 ;
f ( x ) = ( x − 1)3
f ( x ) = ex
I=
x0 = 1
y0 = 2 ;
I=
x0 = 0
y 0 = −4 ;
I = ]0 ; +∞[
x0 = 1
y0 = 2 ;
I = ]0 ; +∞[
x0 = 0
y 0 = 1.
f (x ) =
f (x ) =
Exercice 8
1
x
1
3x + 1
Les fonctions suivantes sont toutes définies sur
toutes ses primitives sur .
f ( x ) = e x + 3e2x + e − x
x
f (x ) = e
2 + ex
Exercice 9
. Pour chacune d’elles, donner
2
f ( x ) = 2x e( x )
f (x ) =
(
)
f ( x ) = ex ex + 1
2
1
.
ex + 1
Déterminer toutes les primitives de f sur I.
f ( x ) = cos x + sin x sur I = f ( x ) = cos( 3x + 2) − sin( 5x − 4 ) sur I = f (x ) =
Exercice 10
sin x
 π
sur I = 0 ;  .
cos x
 4
Soit f la fonction définie sur
par f ( x ) = x e x .
Déterminer la fonction dérivée de f et exprimer f ( x ) en fonction de f ′( x ).
En déduire l’expression d’une primitive de f.
Exercice 11
Voici les courbes représentatives de quatre fonctions f1, f2 , f3 et f4 .
Séquence 7 – MA02
33
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O
O
1
2
3
4
O
O
Des primitives de chacune des fonctions
dessous. Pour chacune des fonctions f1,
représente une de ses primitives.
f1, f2 , f3 et f4 sont représentées cif2 , f3 et f4 , indiquer quelle courbe
J
O
O
34
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O
I
Séquence 7 – MA02
a
b
c
d
O
4
A
Primitives et intégrales
d’une fonction continue
sur un intervalle
Objectifs du chapitre
Dans le chapitre 2, on a défini l’intégrale d’une fonction continue et positive sur
un intervalle [a ; b ] en utilisant les aires. La notion de primitive vue au chapitre 3
permet de généraliser la définition de l’intégrale aux fonctions continues de
signe quelconque sur un intervalle en conservant les propriétés déjà rencontrées.
B
Activité 6
Pour débuter
On rappelle la propriété 10 : soit f une fonction continue et positive sur [a ; b ] et
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
F une de ses primitives. On a alors :
On considère ici deux fonctions f et g continues et positives sur un intervalle
[a ; b ] . Soit F une primitive de f sur [a ; b ] et G une primitive de g. Démontrer
que
a
b
b
∫b (f + g )(t ) dt = ∫a f (t ) dt + ∫a g (t ) dt .
a
b
Soit α un nombre réel, montrer que
∫b (αf )(t ) dt = α ∫a f (t ) dt .
Activité 7
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I. On souhaite pouvoir
généraliser la relation de Chasles quel que soit l’ordre des nombres réels a, b
et c de l’intervalle I.
c
On a donc besoin de définir ∫ f (t ) dt la borne c étant inférieure à la borne a.
Proposer une définition de
a
c
∫a f (t ) dt
avec c ≤ a. Calculer
1
∫3 4t
3
dt .
j
O
c
i
a
b
Démontrer alors que, pour tous les nombres a, b et c de l’intervalle I, on a :
c
b
b
∫a f ( x ) dx + ∫c f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx .
Séquence 7 – MA02
35
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C
Cours
1. Intégrale d’une fonction continue
de signe quelconque
Dans le chapitre précédent, on a vu que si f est une fonction continue et positive
sur [a ; b ] ,
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ). Cette égalité va nous servir pour généraliser
la notion d’intégrale à des fonctions qui ne sont pas positives sur I.
Définition 4
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux nombres réels
de I. Soit F une des primitives de la fonction f sur I. On appelle « intégrale de
a à b de la fonction f » le nombre F (b ) − F (a ) et on note
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
Remarques
t On rappelle que la fonction f possède une infinité de primitives sur I, mais que
la différence F (b ) − F (a ) ne dépend pas de la primitive choisie.
t Il n’y a pas ici de condition sur le signe de f (t ) ni sur l’ordre de a et b.
t Bien sûr, dans le cas des fonctions positives sur I et lorsque a ≤ b , les définitions 1 et 4 coïncident grâce au théorème 1.
t La différence F (b ) − F (a ) est souvent notée [F (t )]a , ce qui se lit « F (t ) pris
entre a et b ».
b
왘
Exemple 12
왘
Solution
Calculer 2
∫1
−t 2 dt ; La fonction f définie sur
0
∫ π cost
dt .
par f (t ) = −t 2 est continue sur et une de ses
−t 3
primitives est la fonction f définie par F (t ) =
(remarque : la fonction f est
3
une fonction négative). On a :
2
 −t 3   −8   −1 −7
−
t
t
=
d

 =   −  = .
∫1
 3 1  3   3  3
2
On a
0
∫ π cost
2
0
dt = [sint ] π = sin0 − sin π = 0 ; on remarque ici que l’intégration
se fait de π à 0, c’est la borne située en bas du symbole d’intégration qui a la
plus grande valeur ; on remarque aussi que l’intégrale est nulle mais qu’il ne
s’agit pas de l’intégrale de la fonction nulle.
36
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Séquence 7 – MA02
2. Propriétés
On peut maintenant généraliser le théorème 1 à des fonctions dont les valeurs sont
de signes quelconques. On en donne un énoncé utilisant la notion de primitive.
Théorème 3
Soit f une fonction continue sur [a ; b ] , la fonction G définie sur [a ; b ] par
x
G : x G ( x ) = ∫ f (t ) dt est la primitive de f qui s’annule en a.
a
Démonstration
Soit F une primitive de f sur [a ; b ]. D’après la définition 4, on a G ( x ) = F ( x ) − F (a ).
On en déduit que G est dérivable sur [a ; b ] et que, pour tout x de [a ; b ] ,
G ′( x ) = F ′( x ) = f ( x ) et G (a ) = F (a ) − F (a ) = 0 : G est bien la primitive de f qui
s’annule en a.
Dans les propriétés suivantes, les fonctions sont continues sur un intervalle I, les
nombres réels a, b et c sont dans I, les nombres α et β sont deux réels quelconques.
Propriété 12
a
b
b
a
On a : ∫ f (t ) dt = − ∫ f (t ) dt .
Démonstration
On applique la définition 4 et on obtient :
a
b
∫b f (t ) dt = F (a ) − F (b ) = − (F (b ) − F (a )) − ∫a f (t ) dt .
Propriété 13
On a :
Linéarité de l’intégrale
a
b
b
∫ b (αf +βg ) (t ) dt = α ∫ a f (t ) dt +β ∫ a g (t ) dt .
Démonstration
On procède comme dans l’activité 6.
Dans le chapitre 2, la définition de l’intégrale de a à b d’une fonction positive a
permis d’établir plusieurs propriétés en utilisant les propriétés des aires.
Nous allons ici retrouver ces propriétés dans le cas général, le cas particulier des
fonctions positives vous permettant d’en avoir une image géométrique.
Propriété 14
a
On a : ∫ f (t ) dt = 0.
a
Séquence 7 – MA02
37
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Propriété 15
On a :
c
Relation de Chasles
b
b
∫a f ( x ) dx + ∫c f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx .
Démonstration
On procède comme dans l’activité 7 .
Propriété 16
Positivité
Soit f une fonction continue et positive sur l’intervalle I. Pour tous nombres
b
a et b de l’intervalle I tels que a ≤ b , on a alors : 0 ≤ ∫ f ( x ) dx .
a
Démonstration
La démonstration a déjà été faite dans le chapitre 2, puisqu’on se retrouve dans
le cas d’une fonction positive.
Pour aller plus loin, nous vous proposons ici une deuxième démonstration pour
montrer qu’une autre méthode est possible avec la nouvelle définition : comme
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ) où F est une fonction dont la dérivée F ′ = f
est à valeurs
positives, alors la fonction F est croissante sur I et F (b ) − F (a ) est positif car on
a supposé que a ≤ b.
Remarque
La condition a ≤ b est essentielle.
Propriété 17
Comparaison
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et telles que f ≤ g ,
c’est-à-dire telles que f ( x ) ≤ g ( x ) pour tout x de I. Soit a et b dans I tels que
b
b
a
a
a ≤ b , alors ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx .
Démonstration
Méthode : on se ramène au cas précédent et on applique la propriété de linéarité.
Comme f ( x ) ≤ g ( x ) pour tout x de I, on a aussi 0 ≤ g ( x ) − f ( x ) et on applique
la propriété de positivité à la fonction g − f , les nombres a et b vérifiant a ≤ b.
Donc 0 ≤ ∫
b
a
38
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Séquence 7 – MA02
( g ( x ) − f ( x )) dx .
b
b
D’où, d’après la linéarité, 0 ≤ ∫ g ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx , soit
a
b
a
b
∫a f ( x ) dx ≤ ∫a g ( x ) dx .
Remarque
Dans cette propriété aussi la condition a ≤ b est essentielle.
Remarque
Cette propriété sera très utile pour trouver des valeurs approchées d’intégrales
de fonctions qu’on ne sait pas intégrer mais qu’on peut encadrer.
Définition 5
La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle [a ; b ] est
égale au nombre
1 b
f (t ) dt .
b − a ∫a
Propriété 18
Inégalités de la moyenne
Soit une fonction f continue sur l’intervalle [a ; b ] avec a ≠ b , et
deux nombres m et M tels que, pour tout x de l’intervalle [a ; b ] , on a
m ≤ f ( x ) ≤ M . Alors m ≤ µ ≤ M , µ étant la valeur moyenne de la fonction
f sur [a ; b ].
Démonstration
Elle est analogue à celle faite pour une fonction f positive dans le chapitre 2.
3. Calcul et encadrement d’intégrales
a) Les calculs exacts d’intégrales sont faits avec les primitives ou en utilisant les
différentes propriétés du cours (linéarité, relation de Chasles…).
b) Pour encadrer une intégrale, on utilise la positivité, la propriété de comparaison ou les inégalités de la moyenne.
Voici un exemple où on encadre l’intégrale d’une fonction dont on ne connaît pas
de primitives mais qui est encadrée par des fonctions polynômes.
Séquence 7 – MA02
39
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왘
Exemple 13
On considère les fonctions f, g et h définies sur par :
1
x
x2
,
(
)
1,
(
)
f (x ) =
g
x
=
−
+
h
x
=
−
+ 1.
2
2
1+ x 2
Établir que pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1] on a :
g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ).
En déduire un encadrement de l’intégrale :
1
∫0f ( x )dx .
왘
Solution
Déterminons les valeurs pour lesquelles g ( x ) ≤ f ( x ).
t On a : x
1
g ( x ) ≤ f ( x ) ⇔ − + 1≤
2
1+ x 2
⇔ (1+ x 2 )( − x + 2) ≤ 2
⇔ − x 3 + 2x 2 − x + 2 ≤ 2
⇔ x 3 − 2x 2 + x ≥ 0
⇔ x ( x 2 − 2x + 1) ≥ 0
⇔ x ( x − 1)2 ≤ 0.
Cette dernière inégalité est toujours vérifiée sur [0 ; 1], d’où : pour tout x de
[ 0 ; 1] on a : g ( x ) ≤ f ( x ).
t À présent, pour avoir f ( x ) ≤ h ( x ) :
x2
≤
−
+ 1 ⇔ 2 ≤ ( − x 2 + 2)(1+ x 2 ) ⇔ 0 ≤ − x 4 + x 2
2
2
1+ x
1
soit 0 ≤ x 2 (1− x 2 ) toujours vérifié sur [0 ; 1].
Pour tout x ∈ [0 ; 1] : g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )
Par la propriété d’encadrement, puisque 0 ≤ 1, on a :
1
1
1
∫ 0 g ( x )dx ≤ ∫ 0f ( x )dx ≤ ∫ 0 h ( x )dx
soit :
1
x

1
1
x

∫ 0 − 2 + 1 dx ≤ ∫ 0f ( x )dx ≤ ∫ 0 − 2 + 1 dx
 x3
1
 x2
1
1
d’où − + x  ≤ ∫ f ( x )d x ≤ − + x  d’où
0
 6
 4

0
0
1 1
3
5
≤∫
dx ≤ .
2
0
4
6
1+ x
c) Ce qui a été vu dans le chapitre 2, à propos des calculatrices et des logiciels
de calcul formel, s’applique aussi dans le cas général des fonctions continues
de signes quelconques.
40
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Séquence 7 – MA02
5. Utiliser le calcul intégral pour
déterminer une aire
a) Aire d’un domaine limité par l’axe des abscisses
et la courbe représentative d’une fonction
Par définition, l’aire du domaine sous la courbe d’une fonction continue positive
b
définie sur un intervalle [a ; b ] a pour mesure
∫a f (t ) dt
en unités d’aire.
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b ] , continue et négative sur [a ; b ].
Soit E1 le domaine du plan limité par la courbe
Ꮿf représentant f, l’axe des abscisses et les
droites d’équation x = a et x = b.
Ꮿ–f
La symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses donne l’égalité
aire(E1) = aire(E2 ) =
E2
j
b
∫ a −f ( x ) dx u.a.
O
i
où E2 est l’ensemble des points limité par la
courbe représentant la fonction −f (qui est positive), l’axe des abscisses et les droites d’équation
x = a et x = b.
E1
Ꮿf
Propriété 19
Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle [a ; b ]. L’aire du
domaine E limité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et
b
∫a f (t )
les droites d’équation x = a et x = b mesure
dt en unités d’aire.
En pratique, on décompose l’intervalle [a ; b ] en une union d’intervalles sur chacun desquels f a un signe constant.
왘
Exemple 14
왘
Solution
Soit f la fonction définie sur [ −2 ; 3] par f ( x ) = x 2 − x − 2. Déterminer la mesure
en unités d’aire du domaine E limité par la
courbe représentative de f, l’axe des abscisses
et les droites d’équation x = −2 et x = 3.
La fonction f est une fonction du second degré
qui a deux racines, –1 et 2, et dont le coefficient de x 2 vaut 1 qui est positif. On sait alors
que f (t ) est négatif sur [ −1; 2] et positif ailleurs.
j
–2
–1
0
i
2
3
La mesure, en unités d’aire, de l’aire du
domaine E est donc l’intégrale I :
3
−1
2
3
−2
−2
−1
2
I = ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt − ∫ f (t ) dt + ∫ f (t ) dt .
Séquence 7 – MA02
41
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Une primitive de f est F définie par F (t ) =
On a :
−1
2
t3 t2
− − 2t .
3 2
3
I = [F (t )]−2 − [F (t )]−1 + [F (t )]2
= (F (−1) − F (−2)) − (F (2) − F (−1)) + (F (3) − F (2)) =
Le domaine E a donc pour aire
Remarque
L’intégrale
b
∫a f (t ) dt
49
.
6
49
u.a.
6
est appelée aire algébrique du domaine limité par la
courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b , pour
une fonction f de signe quelconque, définie et continue sur [a ; b ].
Remarque sur la parité
La courbe représentative d’une fonction f définie, continue sur I et paire, est une
courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. L’interprétation d’une intégrale comme l’« aire sous la courbe » si la fonction f est positive, ou comme une
« aire algébrique » si f est de signe quelconque, permet d’obtenir des égalités
d’intégrales :
−a
b
∫a f ( x ) dx = ∫−b f ( x ) dx .
On a représenté ici la courbe de la fonction f définie sur
(
)(
)
par
f (x ) = x 2 − 1 x 2 − 4 .
–b
–a
On a aussi :
b
j
b
O
b
∫−b f ( x ) dx = 2∫0 f ( x ) dx
a
i
pour tout nombre b positif dans I.
b) Aire entre deux courbes
Propriété 20
Soit f et g deux fonctions définies, continues sur l’intervalle [a ; b ] , telles
que, pour tout t de [a ; b ] , f (t ) ≤ g (t ). L’aire du domaine E limité par la
courbe représentative de f, celle de g et les droites d’équation x = a et
x = b mesure
42
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Séquence 7 – MA02
b
∫ a (g (t ) − f (t ))
dt en unités d’aire.
Ꮿg
y
E
Ꮿf
1
Ef
j
a
0
x
i
b
1
Démonstration
On considère d’abord le cas des fonctions positives. En notant Ef (respectivement
Eg ) le domaine situé sous la courbe représentant f, on a : Ef ∪ E = Eg . D’après
les propriétés des aires, on obtient
( )
Aire ( Ef ) + Aire ( E ) = Aire Eg , d’où
( )
b
 b

Aire ( E ) = Aire Eg − Aire ( Ef ) =  ∫ g (t ) dt − ∫ f (t ) dt  u.a.
 a

a
Et la linéarité de l’intégrale donne :
Aire ( E ) = ∫
b
a
( g (t ) − f (t ))
dt u.a.
Dans le cas où il ne s’agit pas de
fonctions positives, pour justifier que
l’égalité est la même, on translate les
courbes suffisamment dans
la direction et le sens du vecteur j pour que
les courbes aient tous leurs points
d’ordonnées positives.
hj
j
O
i
On est alors ramené au cas précédent
et, la translation conservant les aires,
l’aire cherchée est aussi l’aire entre
les nouvelles courbes.
Le vecteur de
la translation est λ j avec λ > 0, les nouvelles courbes ont pour équations
y = f ( x ) + λ et y = g ( x ) + λ , et l’aire est :
b
b
∫a (( g (t ) + λ ) − (f (t ) + λ )) dt u.a. = ∫a ( g (t ) − f (t )) dt u.a.
왘
Exemple 15
On considère un repère orthogonal où l’unité est 1 cm sur l’axe des abscisses
et 0, 5 cm sur l’axe des ordonnées. Soit f et g les fonctions définies sur par
f ( x ) = x 2 − 3x − 1 et g ( x ) = − x 2 − x + 3. Déterminer, en cm2 , l’aire A du
domaine E formé des points M( x ; y ) tels que x est compris entre −1 et 2, et
y entre f ( x ) et g ( x ).
Séquence 7 – MA02
43
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왘
Solution
On commence par étudier la position des deux
paraboles en étudiant le signe de la différence
f ( x ) − g ( x ).
Comme f ( x ) − g ( x ) = 2x 2 − 2x − 4 = 2( x 2 − x − 2),
on obtient que cette différence est nulle pour
x = −1 et x = 2, et elle est négative entre ces deux
valeurs (puisque la parenthèse est un polynôme du
second degré pour lequel le coefficient de x 2 est
positif).
j
O
i
En unités d’aire, l’aire du domaine E est donc mesurée par :
 x3 x2
2
2
2
2
∫ −1(g ( x ) − f ( x )) dx = 2 ∫ −1 −x + x + 2 dx = 2− 3 + 2 + 2x 


(
)
−1
= 9.
D’où A = 9 u.a. = 9 × 1× 0, 5 cm2 = 4 , 5 cm2.
Remarque
D
Exercice 12
Si la différence g (t ) − f (t ) n’est pas de signe constant, on décompose l’intervalle
[a ; b ] en une union d’intervalles sur chacun desquels le signe est constant.
Exercices d’apprentissage
Calculer les intégrales suivantes :
A = 2 2x 3 d x ;
∫−3
D=
e
1
∫1  x + x 
π
d x ;
B = 2 eq dq ;
C = 2 1 dt ;
E = 1 e −4 x dx ;
F=
∫1 t 2
∫0
∫−1
e lnt
∫1
t
dt .
π
Exercice 13
On pose I = ∫ cos2 x d x et J = ∫ sin2 x d x . Calculer I + J et I − J. En déduire
0
0
I et J.
Exercice 14
Déterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [ 0 ; 3] sachant que
f ( x ) = e −2x .
Exercice 15
Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f ( x ) = ln x + 3x 2.
]
primitive de la fonction ln sur ]0 ; + ∞[ .
[
Vérifier que la fonction G définie sur 0 ; + ∞ par G ( x ) = x ln x − x est une
44
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Séquence 7 – MA02
Calculer l’intégrale A =
Exercice 16
∫1 (ln x + 3x
e
2
) dx .
x2
1
e 2 et soit C sa courbe repré−
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) =
2π
sentative dans un repère orthogonal.
y
Ꮿ
0,1
0
b
1
x
Dire pourquoi la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Que peut-on en déduire pour les intégrales ?
On appelle I( b ) l’intégrale définie par I( b ) =
b
∫0 f ( x ) dx
où b est un réel positif
ou nul. Sur la figure, l’aire colorée mesure I(b ) en unités d’aire.
On ne sait pas calculer exactement l’intégrale I(b ).
On donne dans le tableau suivant des valeurs approchées de l(b) pour quelques
valeurs de b :
b
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
I(b)
0,191 46
0,341 34
0,433 20
0,477 25
0,493 79
0,498 65
0,499 77
0,499 97
En déduire des valeurs approchés des intégrales suivantes :
0
2
3,5
−1
−2
1,5
A = ∫ f ( x )dx ; B = ∫ f ( x )dx ; C = ∫
1
0
−3
−4
f ( x )dx ;
D = ∫ f ( x )dx ; E = 1∫ f ( x )dx .
Calculer G =
Exercice 17
4
∫ −4 f ( x ) dx et commenter le résultat obtenu.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x + 3)e − x et représentée par la
courbe C dans un repère orthonormé.
Étudier le sens de variation de f.
Déterminer les réels a et b pour que la fonction f définie sur par
F ( x ) = (ax + b )e − x soit une primitive de f.
Calculer, en unités d’aires, la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2
près par défaut de l’aire du domaine du plan limité par la courbe C , l’axe des
abscisses et les droites d’équation x = −3 et x = 4.
Séquence 7 – MA02
45
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Calculer f ( −2). En déduire que f ( x ) ≤ e2 pour tout réel x. Calculer, en unités
d’aires, la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2 près par défaut de
l’aire du domaine du plan limité par la courbe C, la droite d’équation y = e2
et les droites d’équation x = −3 et x = 4.
Exercice 18
Une valeur moyenne en sciences physiques
Un objet se déplace en étant animé d’un mouvement uniformément accéléré.
Démontrer que sa vitesse moyenne pendant l’intervalle de temps [t 1 ; t 2 ] est
t +t
égale à sa vitesse instantanée à l’instant 1 2 .
2
Exercice 19
Un artisan bijoutier fabrique chaque mois un nombre x de bijoux, où x est un
entier compris entre 0 et 80.
Le coût unitaire de production d’un objet lorsqu’on fabrique x objets est noté
f ( x ). La courbe ci-jointe représente la fonction f dans un repère orthogonal.
Le coût unitaire est exprimé en euros.
f (x) en euros
2040
2000
1400
P
1000
O
200
104
10
20
30
40
50
60
70
80
x
36
Déterminer graphiquement le nombre n de bijoux que l’artisan doit fabriquer
pour que le coût de production d’un objet soit minimal.
La fonction f est de la forme f ( x ) = x 2 + bx + c . À l’aide d’informations gra-
phiques, déterminer b et c.
Calculer le coût moyen de production d’un objet lorsque l’artisan fabrique :
t 40 bijoux par mois ;
t 80 bijoux par mois.
46
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Séquence 7 – MA02
5 Synthèse
A
Synthèse de la séquence
1. Aire et intégrale d’une fonction continue
et positive sur [a ; b]
y
¡
Ꮿ
1
x
1 ua
a
0
1
b
Définition
L’intégrale de a à b d’une fonction f continue et positive sur [a ; b ] est la
mesure de l’« aire sous la courbe » en unités d’aire.
b
aire(E ) = ∫ f ( x ) dx u.a.
a
Théorème
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b ] , la fonction définie sur
x
[a ; b ] par x ∫a f (t ) dt
est dérivable sur [a ; b ] et sa fonction dérivée est
la fonction f.
2. Primitives
Définition
La fonction F est une primitive de la fonction f, continue sur I, si et seulement si f est la fonction dérivée de F sur I.
Séquence 7 – MA02
47
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Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Propriété
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit x 0 un élément
de I et y 0 un nombre réel. Alors il existe une et une seule primitive de f sur
I qui prend la valeur y 0 en x 0 .
O dét
On
détermine
i lles primitives
i iti ddes ffonctions
ti
usuelles
ll par llecture
t iinverse ddu ttableau
bl
des dérivées.
Primitive et intégrale
Propriété
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b ] et F une de ses primitives.
On a alors :
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
3. Primitives et intégrales d’une fonction
continue
On définit l’intégrale de a à b d’une fonction f continue de signe quelconque en
généralisant l’égalité précédente qui sert alors de définition de l’intégrale à partir
d’une primitive.
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une de ses primitives
sur I, les nombres a et b sont dans I. L’intégrale de a à b de la fonction f est
définie par :
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
Théorème
Soit f une fonction continue sur [a ; b ] , la fonction G définie sur [a ; b ] par
x
G : x G ( x ) = ∫ f (t ) dt est la primitive de f qui s’annule en a.
a
Dans les propriétés suivantes, les fonctions sont continues sur un intervalle I,
les nombres réels a, b et c sont dans I, les nombres α et β sont deux réels
quelconques.
Pour la relation de Chasles, la positivité, les comparaisons et les inégalités de la
moyenne, il est utile d’avoir une vision géométrique en pensant aux « aires sous
les courbes ».
48
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Séquence 7 – MA02
Propriétés
a
b
∫b f (t ) dt = − ∫a f (t ) dt .
a
b
b
∫ b (αf +βg ) (t ) dt = α ∫ a f (t ) dt +β ∫ a g (t ) dt
a
∫a f (t ) dt = 0.
c
b
b
∫a f ( x ) dx + ∫c f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx (relation de Chasles).
b
Pour f ≥ 0 sur I et a ≤ b , on a : ∫ f ( x ) dx ≥ 0 (positivité).
a
b
b
Pour f et g telles que f ≤ g et a ≤ b , on a ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx
a
a
(com-
paraison).
Définition
La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle [a ; b ] est
1 b
égale à
f (t ) dt .
b − a ∫a
Inégalités de la moyenne
Soit une fonction f continue sur l’intervalle [a ; b ] , et deux nombres m et
M tels que, pour tout x de l’intervalle [a ; b ] , on a m ≤ f ( x ) ≤ M . Alors
m ≤ µ ≤ M , µ étant la valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b ].
3. Applications
Propriété
Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle [a ; b ]. L’aire du
domaine E limité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et
les droites d’équation x = a et x = b mesure
b
∫a f (t )
dt en unités d’aire.
Séquence 7 – MA02
49
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Aire entre deux courbes
Propriété
Soit f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b ] , telles que, pour
tout t de [a ; b ] , f (t ) ≤ g (t ). L’aire du domaine E limité par la courbe
représentative de f, celle de g et les droites d’équation x = a et x = b ,
mesure
b
∫ a (g (t ) − f (t ))
dt en unités d’aire.
Ꮿg
y
E
Ꮿf
1
Ef
j
a
B
Exercice I
0
x
i
b
1
Exercices de synthèse
Soit f la fonction définie sur
par f ( x ) = x sin x .
Déterminer la fonction dérivée et la fonction dérivée seconde de f. Exprimer
f ( x ) en fonction de f ′′( x ).
En déduire l’expression d’une primitive de f.
Exercice II
Lors d’une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des
messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de 5 minutes.
Pendant ces 5 minutes, les appels arrivent avec un débit variable en fonction du
temps. Si x est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers d’appels
par minute, est donné par la fonction f telle que :
t f ( x ) = −4 x 2 + 8 x pour x ∈[ 0 ; 1] ;
t f ( x ) = ln x − x + 5 pour x ∈ [1; 5] .
On veut calculer le nombre total d’appels reçus pendant ces 5 minutes, et on
admet que ce nombre d’appels est donné par
5
∫0 f ( x ) dx .
Représenter graphiquement la courbe C représentant la fonction f dans un
repère orthogonal.
Vérifier que la fonction f est continue en 1.
50
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Séquence 7 – MA02
[ ]
a) Donner une primitive F de la fonction f sur 0 ; 1 .
b) Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe C,
l’axe des abscisses et la droite d’équation x = 1.
]
[
a) Montrer que la fonction L définie sur 0 ; + ∞
par L( x ) = x ln x − x est
une primitive de la fonction ln sur ]0 ; + ∞[ . Donner une primitive G de la
fonction f sur [1; 5].
b) Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe
C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 5.
Déterminer le nombre total d’appels reçus pendant ces 5 minutes.
Exercice III
La courbe P est la parabole d’équation
y = x 2 dans un repère orthonormé
O ; i, j .
(
)
P
a2
A
Soit a un nombre réel strictement positif.
On note A le point de P d’abscisse a et
a
M le point de P d’abscisse .
2
On appelle AP la mesure de l’aire,
en unités d’aire, du domaine limité par
la parabole P et le segment [OA]. (Le
domaine est colorié sur la figure.)
On note A(OAM) la mesure de l’aire, en
unités d’aire, du triangle OAM.
Le but de l’exercice est de montrer que le
AP
est constant lorsque le
rapport
A(OAM)
réel a varie dans ]0 ; + ∞[ .
M
Quelle est l’équation réduite de la
droite (OA) ?
On appelle B et K les projetés ortho-
1
j
K
B
gonaux respectifs des points A et M
O
1 a
i
a
2
sur l’axe des abscisses. Exprimer, en
fonction de a, la mesure de l’aire, en
unités d’aire, des triangles OAB et
OMK ainsi que du trapèze ABKM. En déduire A(OAM) en fonction de a.
Exprimer AP en fonction de a.
Vérifier la propriété annoncée au début.
Séquence 7 – MA02
51
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Exercice IV
Exercice V
1 xn
Majorer et minorer l’intégrale I n définie par In =
d x pour n de
0 1+ x 2
En déduire que la suite (I n ) converge vers 0.
∫
∗ .
Soit λ un nombre réel strictement positif et C la courbe représentative dans un
repère orthogonal de la fonction définie sur [ 0 ; + ∞[ par f (t ) = λe − λt .
Calculer, en fonction de λ , l’intégrale
2
∫0 λe
− λt
dt .
Déterminer, en fonction de λ , l’expression de la fonction F définie sur
x − λt
0 ; + ∞ par
[
[
Déterminer
Exercice VI
F ( x ) = ∫ λe
dt .
0
lim F ( x ) et en donner une interprétation graphique.
x →+∞
On considère la fonction F définie sur
x
par : F ( x ) = ∫0
1
dt .
1+t 2
Montrer que F est une fonction impaire. Étudier les variations de F.
1 1
Prouver que ∫
dt ≤ 1.
0 1+t 2
x 1
Prouver que, pour x > 1, on a ∫
dt < 1 (on pourra montrer que, pour
1 1+t 2
1
1
tout t ≥ 1,
≤
). En déduire que F est majorée.
1+ t 2 t 2
À l’aide de la calculatrice, donner des valeurs approchées à 10−1 près de F(0),
F(0,25), F(0,5),…, F(1,75) et F(2).
[
]
Représenter F sur −2 ; 2 dans un repère orthogonal.
Exercice VII
Une suite qui converge vers e
Pour tout entier naturel n, on définit la fonction fn sur [ 0 ; 1] par f0 ( x ) = e x et,
1
pour n ≠ 0, fn ( x ) = (1− x )n e x (on rappelle que n ! = 1× 2 × 3 × ... × (n − 1) × n ,
n!
et que ce nombre se lit « factorielle n »).
Et on pose u = 1f ( x ) d x pour tout n de
n
0n
Calculer u 0 .
∫
.
[ ]
Démontrer que, pour tout x de 0 ; 1 , f1′ ( x ) = −f0 ( x ) + f1( x ). En déduire que
u1 − u0 = −1 et donner la valeur de u1.
[ ]
Démontrer que, pour tout x de 0 ; 1 , f 'n +1( x ) = −fn ( x ) + fn +1( x ). En déduire
1
.
(n + 1)!
En déduire que, pour tout n de
que un +1 = un −
Montrer que, pour tout n de
En déduire que
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Séquence 7 – MA02
n
1
p!
p =1
,on a : un = e − 1− ∑ .
∗
∗ , 0 ≤ u n ≤
n

1
lim  1+ ∑  = e.
n →+∞  p =1 p !
e −1
.
n!
Exercice VIII
Une moyenne en sciences physiques : l’intensité efficace
On considère un courant alternatif dont l’intensité est i (t ) = Im sin(ωt ), l’intensité
2π
maximale est Im , sa période T est T = .
ω
La valeur efficace de l’intensité d’un courant variable est égale à l’intensité du
courant continu qui produirait pendant une période le même dégagement de
chaleur que le courant variable à travers une résistance R.
On note Ie l’intensité efficace.
T
On a donc : RIe2T = ∫ Ri 2 (t )dt .
0
2
Montrer que Ie est la valeur moyenne de la fonction i 2 sur 0 ; T .
[
Calculer
T
2
∫0 sin (ωt ) dt
]
I
et en déduire que Ie = m .
2
Séquence 7 – MA02
53
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