Intégration - Académie en ligne

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Séquence 7 – MA02
Séquence 7
Intégration
Dans ce chapitre, on introduit une nouvelle
notion mathématique : l’intégration.
Après une première approche géométrique,
l’introduction de la notion de primitive per-
met d’élargir la définition et les possibilités
de calcul. Quelques exemples d’applications
sont donnés.
Sommaire
1. Prérequis
2. Aire et intégrale d’une fonction continue et positive sur [
a ; b ]
3. Primitives
4. Primitives et intégrales d’une fonction continue
5. Synthèse de la séquence
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Séquence 7 – MA02
1Prérequis
Aires
1. Aires usuelles
On considère des figures dans un plan où une unité de longueur a été choisie.
On sait calculer les aires déterminées par différentes figures géométriques:
t aire d’un triangle: base hauteur×
2 ;
t aire d’un rectangle: longueur largeur×(remarque: quand un rectangle aura
un côté parallèle à l’axe des ordonnées, on appellera ce côté la «hauteur» du
rectangle, et l’autre côté sera appelé sa «largeur»);
t aire d’un trapèze: petite base grande base hauteur+
()
×
2;
t aire d’un disque: rayon .
2
π×
2. Propriétés des aires
t Additivité
Pour calculer l’aire de figures moins simples que les précédentes, on peut décom-
poser celles-ci en un certain nombre de figures dont on sait calculer l’aire. Par
exemple, pour calculer l’aire d’une surface délimitée par un polygone, on peut
décomposer celui-ci en un certain nombre de triangles. La somme des aires des
triangles donne alors le résultat souhaité. La propriété utilisée s’appelle l’«addi-
tivité de l’aire», elle est énoncée dans la propriété suivante.
On a l’habitude d’appeler «domaines» les ensembles de points du plan dont on
calcule les aires.
Propriété
Si E1 et E2 sont deux domaines du plan dont
l’intersection a une aire nulle alors l’aire de
EE
12
∪ est égale à la somme des aires de E1
et E2: Aire Aire AireEE E E
12 1 2
∪
()
=
()
+
()
.
Dans la figure ci-contre:
Aire ABCD Aire ABD Aire BCD
()
=
()
+
()
.
A
Vocabulaire
D
C
B
A
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Séquence 7 – MA02
t Inclusion
Soit E1 et E2 deux domaines du plan tels que
EE
12
⊂ alors Aire ireEE
12
()
≤
()
A .
t Translation, symétrie
3. Domaines, aires et mesures
On confond parfois un domaine (une surface) avec une aire, ou une aire avec une
de ses mesures.
On précise ici par un exemple la différence entre ces notions.
Un domaine est un ensemble de points du plan.
Des domaines, qui sont des ensembles de points différents, sont des domaines
différents, mais ces domaines peuvent avoir la même aire comme trois des
domaines ci-dessous qui ont chacun une aire égale à 12 carreaux.
E1
E2
Propriété Invariance par translation
Soit une translation
tv
 et deux domaines du plan
E1 et E2 tels que E2 soit l’image de E1 par la
translation tv
 (c’est-à-dire que tous les points du
domaine E2 sont obtenus par translation de tous
les points du domaine E1). Alors les domaines
E1 et E2 ont la même aire:
Aire AireEE
12
()
=
()
.
E2
v
E1
Propriété Invariance par symétrie
Soit
s
Ᏸ une symétrie axiale d’axe Ᏸ et deux
domaines du plan E1 et E2 tels que E2 soit
l’image de E1 par la symétrie
s
Ᏸ (c’est-à-dire que
tous les points du domaine E2 sont obtenus par
symétrie de tous les points du domaine E1). Alors
les domaines E1 et E2 ont la même aire:
Aire AireEE
12
()
=
()
.
E2
E1
Ᏸ
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Séquence 7 – MA02
Mesurer une aire, c’est lui associer un nombre en utilisant une aire de référence, l’unité.
Prenons l’exemple d’une aire A de 1m
2. On peut écrire l’égalité
=
=
1m
2
A
=
10 000 cm2 mais, bien sûr, les nombres 1 et 10000 ne sont pas égaux.
Le nombre1 est la mesure de l’aire A en m2 et 10000 est la mesure de la même
aire A avec une autre unité, le cm2.
Dans cette séquence, les intégrales sont des nombres et ces nombres sont utilisés pour
mesurer des aires, l’unité étant souvent appelée «unité d’aire» ce que l’on note u.a.
Il arrive que, quelquefois, on confonde une aire avec une de ses mesures (comme
on le fait très souvent pour les angles et leurs mesures en radians ou pour les
longueurs et leurs mesures).
En sciences physiques, pour simplifier l’écriture, on écrit souvent les unités seule-
ment à la fin de calculs qui ont porté sur des nombres.
Dérivation
Comme on le verra, les deux notions de dérivation et d’intégration sont très liées,
on rappelle donc ici les formules essentielles qui doivent être connues.
1. Fonctions usuelles
Expression de
fx () Fonction
f définie
et déribable sur I Expression de ′
fx ()
fx k () ,=
k constante réelle I=′=
fx () 0
fx x ()=I=′= fx () 1
fx x ()=1I*0;
][
==+∞
+ ou
I* ;0
][
==−∞
−′=−
fx x () 1
2
fx x ()=I*0;
][
==+∞
+′=
fx x () 1
2
fx x n () ,
n
=∈
∗I=′=−
fx nx
n
() 1
fx xxn () 1,
n
n
== ∈
−∗ I*0;
][
==+∞
+
ou
I* ;0
][
==−∞
−′=− =−
+−−
fx n
xnx
n
n
() 1
1
fx x () sin=I=′= fx x () cos
fx x () cos=I=′=− fx x () sin
fx x ()=eI=′==
fx fx x () () e
fx x () ln=I*0;
][
==+∞
+′=
fx x () 1
B
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2. Opérations
Dans le tableau ci-dessous, les fonctions u et v sont définies et dérivables sur le
même intervalle I , k est un nombre réel; dans les deux derniers cas, la fonction v
ne s’annule pas. Alors la fonction f est dérivable sur le même intervalle I .
Fonction f
Fonction dérivée
f
‘
fuv =+ ′=′+′
fuv
fuv =′=′+′
fuvuv
fku =′=′
fku
fv =1′=−′
fv
v
2
fu
v
=′=′−′
fuv uv
v
2
3. Composition
Dans le tableau suivant, u est dérivable sur un intervalle I et vérifie éventuelle-
ment certaines conditions. Alors la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.
Fonction f Fonction dérivée f
‘ Remarques éventuelles
fx fx gax b :()()=+ ′′ =′+ f x f x ag ax b :()()
La fonction g étant dérivable sur un
intervalle J, la fonction f est dérivable
en x lorsque
ax b + appartient à J.
u
22′
uu
un
où 
n *∈
nu un
′−1
1
u
−′
u
u
2
u ne s’annule pas sur I
1
uu
n
n
=−où 
n *∈−′=−
+−−
nu
unu u
n
n
1
1
'
u ne s’annule pas sur I
u
′
u
u
2
u est à valeurs strictement positives
sur I
e
u
′
uu e
ln u
′
u
u
u est à valeurs strictement positives
sur I
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Séquence 7 – MA02
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